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专项 05 一线三等角模型的综合应用
模型一 一线三垂直全等模型
如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA
模型二 一线三等角全等模型
如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA
B
A
D E
C
图一 图二
应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【类型一：标准“K”型图】
【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点
E，CF⊥AD于点F．
求证：△ABE≌△CAF．
【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的
垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝ ，分别求出线段BD、CE和DE
的长；
（2）规律探究：
（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转 （0＜ ＜45°），请探究线段
BD、CE和DE的数量关系并说明理由； α α
（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转 （45°＜ ＜90°），与线
段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说α明理由；α
（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求
S△BFC ．
【类型二：做辅助线构造“K”型图】
【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝
AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．
（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；
（2）求证：∠BEC＝135°；
（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 ．（用含a，b，c
的式子表示）
【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a
＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．
（1）当a＝2时，则C点的坐标为 ；
（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；
若发生变化，请说明理由．
【变式3】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直
角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．
（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．
①求证：AC＝OD；
②求D点坐标．
（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．
【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过
点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的
数量关系，请直接写出；
（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改
为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC＝ （其中 为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明
理由； α α
（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，
D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段
DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，
并说明理由．
【变式4】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，
∠BDA＝∠AEC＝∠BAC
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 ，CE与AD的数量关系
为 ；
（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与 DE的数量关系；
（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s
的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，
它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应
的t的值；若不存在，请说明理由．1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）试探究线段AD，DE，BE之间有什么样的数量关系，请说明理由．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝
∠BAC＝ ，若DE＝10，BD＝3，求CE的长．
α
3．如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC中，∠C
＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：
（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝ 4 5 度；
（2）在三角尺 ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转过程中，分别作 AM⊥MN 于 M，
BN⊥MN与N，若AM＝6，BN＝2，求MN．
（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则
AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN
于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给
出证明；若不成立，说明理由．
5.已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．
（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；
（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，m），B（m，0），C（0，﹣m），其中m＞0，点P为线段OA上任意一点，连接BP，CE⊥BP于E，AD⊥BP于D．
（1）求证：AD＝BE；
（2）当m＝3时，若点N（﹣3，0），请你在图1中连接CD，EN交于点Q．求证：
EN⊥CD；
（3）若将“点P为线段OA上任意一点，”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”，
其他条件不变，连接CD，EN⊥CD，垂足为F，交y轴于点H，交x轴于点N，请在图2
中补全图形，求点N的坐标（用含m的代数式表示）．
7．如图1，在平面直角坐标系内，A（﹣6，0），B（0，9），C（0，4），连接AB、
AC，点D为x轴正半轴上一点，且S△ACD ＝ S△ABC ．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，延长DC交AB于点E，AE＝AC，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第三象限，连接AP、BP、CP，若∠CAP＝
90°，∠BAC＝2∠PCO，BP交x轴于点K，求点K的坐标．
8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如，我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地
联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线
段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足
为 M，且 MN＝DM．设 OM＝a，请你利用基本活动经验直接写出点 N 的坐标
（ 2+ a ， a ） （用含a的代数式表示）；
（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁
移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，
这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且 MN＝DM”，加上“交
∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD＝MN．如何突破这种定势，获得问题的
解决，请你写出你的证明过程．
（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM
的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．
