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专项 17 幂运算（三大类型）
类型一 正向运用幂的运算的性质
1，
2，
3，
类型二 逆向运用幂的运算性质
方法：将指数相加二点幂转化为同底数幂的积，即 （m、n都是正整数）；
将指数相乘的幂转化为幂的乘方，即 （m、n都是正整数）；将相同指数幂的
积转化为积的乘方，即 （n为正整数）。
类型三 来灵活运用幂的运算性质
方法：若幂的底数不同，要先化为同底数幂，再灵活运用幂的运算性质求解‘若求指数中
所含字母的值，则通常需要利用指数关系构造方程求解。
【典例1】（2022秋•崇川区期中）下列计算正确的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a＝a3
【答案】D
【解答】解：A、（3a）2＝9a2，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；
D、a2•a＝a3，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2022秋•思明区校级期中）计算m3•m2的结果，正确的是（ ）
A．m2 B．m3 C．m5 D．m6
【答案】C
【解答】解：m3•m2＝m3+2
＝m5．
故选：C．
【变式1-2】（2020•黔南州）下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
【答案】A
【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3•a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
【典例2】（2021春•广陵区校级期末）计算：
（1）（x2y）3•（﹣2xy3）2； （2）（xny3n）2+（x2y6）n；
（3）（x2y3）4+（﹣x）8•（y6）2 （4）a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．
【答案】（1）4x8y9 （2）2x2ny6n （3）2x8y12 （4）4a6．
【解答】解：（1）原式＝x6y3•4x2y6
＝4x8y9；
（2）原式＝x2ny6n+x2ny6n
＝2x2ny6n；
（3）原式＝x8y12+x8y12
＝2x8y12；
（4）原式＝a6+4a6﹣a6
＝4a6．
【变式2-1】（2022秋•思明区校级期中）计算：x4•x2﹣（3x3）2．
【解答】解：x4•x2﹣（3x3）2
＝x6﹣9x6
＝﹣8x6．
【变式2-2】（2022秋•闵行区期中）计算：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3．
【解答】解：﹣（﹣x2）3•（﹣x2）2﹣x•（﹣x3）3
＝﹣（﹣x6）•x4﹣x•（﹣x9）＝x10+x10
＝2x10．
【变式2-3】（2022秋•东城区校级期中）计算：x2•x4+（x3）2+（﹣3x2）3．
【解答】解：x2•x4+（x3）2+（﹣3x2）3
＝x6+x6﹣27x6
＝﹣25x6．
【典例3】（2021春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．
【答案】0
【解答】解：原式＝x6•x3﹣x2•x9÷x2
＝x9﹣x9
＝0．
【变式3】（2021春•莱山区期末）计算：
（1）（﹣x2）5÷x+2x6x3． （2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．
【答案】（1） x9 （2）y﹣3x
【解答】解：（1）原式＝﹣x10÷x+2x9
＝﹣x9+2x9
＝x9；
（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2
＝9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2
＝y﹣3x
【典例4-1】（2021春•苏州期末）若am＝3，an＝5，则am+n的值是（ ）
A． B． C．8 D．15
【答案】D
【解答】解：因为am＝3，an＝5，
所以am•an＝3×5，
所以am+n＝15，
故选：D．
【典例4-2】（2022秋•城厢区月考）已知xm＝4，xn＝5，则xn﹣m的值为 ．【答案】
【解答】解：当xm＝4，xn＝5时，
xn﹣m
＝xn÷xm
＝5÷4
＝ ．
故答案为： ．
【变式4-1】（2022秋•双阳区校级月考）已知2x＝6，2y＝7，那么2x+y的值是 ．
【答案】42
【解答】解：∵2x＝6，2y＝7，
∴2x+y＝2x×2y＝6×7＝42．
故答案为：42．
【变式4-2】（2022春•历下区校级期中）已知3m＝2，3n＝4，则3m+n＝ ．
【答案】8
【解答】解：当3m＝2，3n＝4时，
3m+n
＝3m×3n
＝2×4
＝8．
故答案为：8．
【变式4-3】（2022秋•儋州校级月考）计算：am+n÷am＝ ；a5÷a2•a2＝ ．
【答案】an；a5．
【解答】解：am+n÷am
＝am+n﹣m
＝an；
a5÷a2•a2
＝a3•a2
＝a5．
故答案为：an；a5．【典例 5】（2021 春•石景山区校级期中）已知 3m＝a，3n＝b，则 33m+2n的结果是
．
【答案】a3b2
【解答】解：∵3m＝a，3n＝b，
∴33m+2n＝33m•32n＝（3m）3•（3n）2＝a3b2．
故答案为：a3b2．
【变式5-1】（2019•绵阳）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+6n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．a2b3 D．a2+b3
【答案】A
【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，
∴22m+6n＝22m×26n
＝（22）m•（23）2n
＝4m•82n
＝4m•（8n）2
＝ab2，
故选：A
【变式5-2】（2021春•广陵区校级期中）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值．
（1）若2×8x×16x＝222，求x的值．
【答案】（1）18 （2）3
【解答】解：（1）因为xm＝2，xn＝3，
所以xm＝2，x2n＝9，
所以xm•x2n＝18，
xm+2n＝18；
（2）因为2×8x×16x＝222，
所以2×23x×24x＝222，
所以21+3x+4x＝222，
所以1+3x+4x＝22，
所以7x＝21，
所以x＝3．
【典例7】（2021春•罗湖区期中）已知x+y﹣3＝0，则2x×2y的值为（ ）
A．64 B．8 C．6 D．12【答案】B
【解答】解：由x+y﹣3＝0得x+y＝3，
∴2x×2y＝2x+y＝23＝8．
故选：B．
【变式7-1】（2021春•海陵区校级月考）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【答案】（1）8 （2）6
【解答】解：（1）因为2x+5y﹣3＝0，
所以2x+5y＝3，
所以4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8；
（2）因为2×8x×16＝2×23x×24＝223，
所以1+3x+4＝23，
解得x＝6
【变式7-2】（2021春•邗江区月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．
（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值
【答案】（1）27 （2）4
【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，
∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；
（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
【典例8】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小
关系是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【答案】A
【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；
b＝2741＝（33）41＝3123；
c＝961＝（32）61＝3122；
∴3124＞3123＞3122，
即a＞b＞c．故选：A．
【变式8-1】（2018秋•渝中区校级期中）比较350，440，530的大小关系为（ ）
A．530＜350＜440 B．350＜440＜530
C．530＜440＜350 D．440＜350＜530
【答案】A
【解答】解：350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，
∵125＜243＜256，
∴530＜350＜440，
故选：A．
【典例9】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．
【答案】
【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，
∴2x+3y﹣4z＝﹣1，
∴9x•27y÷81z
＝32x×33y÷34z
＝32x+3y﹣4z
＝3﹣1
＝
【变式9】（2021春•泰兴市月考）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；
（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．
【答案】（1） （2）16
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2
＝3÷52×2
＝ ；
（2）∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8
＝2×8．
＝16．
【典例10】（2021春•未央区月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．
（1）求（3a）2的值．
（2）求3a﹣b+c的值．
（3）字母a，b，c之间的数量关系为 ．
【答案】（1）25 （2）100 （3）c＝a+2b
【解答】解：（1）∵3a＝5，
∴（3a）2＝52＝25；
（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，
∴3a﹣b+c＝3a÷3b×3c＝5÷4×80＝100；
（3）∵3a•32b＝5×42＝80＝3c，
∴c＝a+2b；
故答案为：c＝a+2b．
【变式10】（2021春•未央区校级月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．
（1）求（3a）2的值．
（2）求3a﹣b﹣c的值．
（3）字母a，b，c之间的数量关系为 ．
【答案】（1）25 （2） （3）c＝a+2b．
【解答】解：（1）∵3a＝5，
∴（3a）2＝52＝25；
（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，
∴3a﹣b﹣c＝3a÷3b÷3c＝ ＝ ；
（3）∵3a•32b＝3c
∴c＝a+2b；
故答案为：c＝a+2b．1．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【答案】C
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
2．（2022秋•思明区校级期中）（ ）2020×（﹣3）2021的计算结果是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【答案】B
【解答】解：（ ）2020×（﹣3）2021
＝（ ）2020×（﹣3）2020×（﹣3）
＝（﹣ ）2020×（﹣3）
＝（﹣1）2020×（﹣3）
＝1×（﹣3）
＝﹣3．
故选：B．
3．（2022春•甘孜州期末）已知am+1•a2m﹣1＝a9，则m＝ ．
【答案】3
【解答】解：∵am+1•a2m﹣1＝a9，
∴am+1+2m﹣1＝a9，
∴m+1+2m﹣1＝9，
解得：m＝3．
故答案为：3．
4．（2022春•三元区校级月考）（x﹣y）3⋅（x﹣y）2⋅（x﹣y）4＝ ．
【答案】 （ x ﹣ y ） 9
【解答】解：（x﹣y）3⋅（x﹣y）2⋅（x﹣y）4＝（x﹣y）3+2+4
＝（x﹣y）9，
故答案为：（x﹣y）9．
5．（2021秋•长沙期末）已知33x+1＝81，则x＝ ．
【答案】1
【解答】解：∵33x+1＝81，
∴33x+1＝34，
∴3x+1＝4，
x＝1，
故答案为：1．
6．（2022秋•榆树市月考）已知xm＝6，xn＝3，则xm﹣2n的值为 ．
【答案】
【解答】解：xm﹣2n
＝xm÷x2n
＝xm÷（xn）2，
∵xm＝6，xn＝3，
∴xm﹣2n＝6÷32＝ ，
故答案为： ．
7．（2022春•青山区期中）计算：若am＝8，an＝2，则a2m﹣3n的值是 ．
【答案】8
【解答】解：∵am＝8，an＝2，
∴a2m﹣3n＝（am）2÷（an）3
＝82÷23
＝64÷8
＝8．
故答案为：8．
8．（2022秋•东方校级月考）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y+3的值．
【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y+3＝2x•2y•23＝3×5×8＝120．9．（2022秋•永春县期中）（1）若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝ ．
（2）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值．
（2）已知x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，求﹣a100+2101的值．
【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，
∴2x+y＝2x•2y＝3×5＝15．
故答案为：15．
（2）∵ax＝5，
∴ax+y＝ax•ay＝5ay＝25．
∴ay＝5．
∴ax+ay＝5+5＝10．
（3）∵x2a+b•x3a﹣b•xa＝x12，
∴x6a＝x12．
∴6a＝12．
∴a＝2．
∴﹣a100+2101＝﹣2100+2101＝﹣2100+2×2100＝2100．
