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专题 01 高分必刷题-三角形重难点题型分类（解析版）
专题简介：本份资料包含《三角形》这一章在各次月考、期末中除压轴题之外的全部主流题型，所选题目源
自各名校月考、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：三角形的边长问题、多边形的内角和与对角
线、三角形的三个角平分线模型、三角形的角度计算、8字模型、燕尾模型、折叠模型，本专题资料适合于培
训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。
题型1：三角形的边长问题
1．（2022·四川·成都）已知三角形两边长分别为4和9，则此第三边x的取值范围是（ ）
A．5＜x＜13 B．4＜x＜9 C．18＜x＜26 D．14＜x＜22
【详解】解：由三角形的三边关系得： ，即 ，故选：A．
2．（2021·河南周口）一个三角形的三边长分别为3，5，x，若x为偶数，则这样的三角形有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：根据题意得： ，即 ，∵x为偶数，∴x取4，6，即这样的三角形有2
个．故选：A
3．（2022·辽宁·沈阳）三角形两边长分别为4和7，若第三边的长为偶数，则这个三角形的周长可能是（
）
A．15或12 B．15或19 C．16或17 D．19或23
【详解】解：设三角形第三边的长为a，∵三角形的两边长分别为4和7，∴7−4＜a＜7＋4，即3＜a＜
11，
∵a为偶数，∴a＝4或a＝6或a＝8或a＝10，当a＝4时，这个三角形的周长＝4＋4＋7＝15；
当a＝6时，这个三角形的周长＝6＋4＋7＝17；当a＝8时，这个三角形的周长＝8＋4＋7＝19；
当a＝10时，这个三角形的周长＝10＋4＋7＝21；综上所述，这个三角形的周长可能是15或17或19或
21．故选：B．
4．（2022·四川成都）已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足 ，且 为方程
的解，则 的周长为（ ）
A． B． C． 或 D．
【详解】解： ， 且 ， 、 ， 为方程 的解，
或 ，又 ，即 ， ，则 的周长为 ，故选：D．
5.已知实数x，y满足|x﹣6|+ ＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（ ）A．27或36 B．27
C．36 D．以上答案都不对
【解答】解：∵实数x，y满足|x﹣6|+ ＝0，∴x＝6，y＝15．∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰
三角形的三边长分别为6、15、15，∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．故选：C．
6．（2022·辽宁沈阳）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简
_________．
【详解】解： ， ， 是一个三角形的三条边长， ， ， ，
，故答案为： ．
7．已知a，b，c分别为三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．a+b+c B．﹣a+b﹣3c C．a+2b﹣c D．﹣a+b+3c
【解答】解：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|＝﹣a+b+c﹣b+c+a+c﹣a+b＝﹣a+b+3c，故选：D．
题型2：多边形的内角和、对角线
8．（2022·广西·兴安）正多边形的一个内角等于 ，则该多边形是正（ ）边形．
A． B． C． D．
【详解】解：设正多边形是n边形，由题意得（n-2）×180°=144°n．解得n=10，故选：C．
9．（2022·浙江·温州）若n边形的内角和等于外角和的4倍，则边数n是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【详解】解：根据题意得： ，解得： ，即边数n是10．故选：C
10．（2022·浙江杭州）如果一个多边形的内角和等于外角和的 倍，那么这个多边形的边数 ________．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ，依题意，得： ，解得： ．
故答案为： ．
11．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝
．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：
（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°．
12．（2020·四川·宜宾）如果一个多边形从一个顶点出发可以做7条对角线，则它的内角和是______．
【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，∴n−3＝7，解得n＝10．
十边形的内角和为： ，故答案为：1440°．
13．一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，
（1）求此正多边形的边数；（2）它有多少条对角线？
【解答】解：（1）设多边形的一个外角为 ，则与其相邻的内角等于3 +20°，
由题意，得（3 +20）+ ＝180°，解得 ＝4α0°．即多边形的每个外角为α40°．
α α α
又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝ ＝9．∴多边形的边数为9；
（2）∵n边形的对角线条数为： n（n﹣3），
∴当n＝9时， n（n﹣3）＝ ×9×6＝27，故有27条对角线．
题型3：三角形的三个角平分线模型
1、三角形的两内角角平分线模型
14．（2022·山东滨州）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝88°，则∠BOC＝_____．
【详解】∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，∠A＝88°，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠4=46°，
∵∠2+∠4+∠BOC=180°，∴∠BOC=180°-46°=134°，故答案为：134°．15．（2022·山东济南）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，
如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（ ）
A．97° B．117° C．63° D．153°
【详解】∵BD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣ ∠ABC﹣ ∠ACB＝180°﹣ (∠ABC+∠ACB)，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝126°，∴∠BOC＝180°﹣ ×126°＝
117°，故选：B．
16．（2021·江苏·麒麟）如图，BI，CI分别是△ABC的角平分线，∠BIC=130°，则∠A=_______．
【详解】解：∵BI，CI分别是△ABC的角平分线，∴∠IBC＝ ∠ABC，∠ICB＝ ∠ACB，∵∠BIC＝
130°，
∴∠IBC＋∠ICB＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠A＝180°−100°＝80°．故答案为：80°．
17．（2021·福建·莆田）在 ABC中，∠B、∠C的平分线相交于O，∠BOC＝125°，则∠A的度数为___．
【详解】解：如图，∵∠B△OC=125°，∴∠OBC+∠OCB=180°-125°=55°，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交
于O点，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=110°，
∴∠BAC=180°-110°=70°．故答案为：70°．2、三角形两外角角平分线模型
18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝
．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC＝ ∠DAC，∠ECA＝
∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴ ∠DAC+ ∠ACF＝ （∠B+∠2）+ （∠B+∠1）＝ （∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（ ∠DAC+ ∠ACF）＝70°．故答案为：70°．
19．（2022·山东烟台）如图，已知 ， ， 平分外角 ， 平分外角 ，
平分 ， 平分外角 ，则 _________．
【详解】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°，∵BF平分外角∠DBC，CF平
分外角∠ECB，∴∠FBC ∠DBC，∠FCB ∠ECB，∴∠FBC+∠FCB （∠DBC+∠ECB）＝130°，
∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，∴∠GBC ∠FBC，∠GCB ∠FCB，∴∠GBC+∠GCB
（∠FBC+∠FCB）＝65°，∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115°．
3、三角形一个内角一个外角角平分线模型
20．（2022·河南南阳）已知△ABC中，①如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠P＝
90°＋ ∠A；②如图2，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；③如图3，
若点P是外角∠CBF和外角∠BCE的平分线的交点，则∠P＝90°－ ∠A；上述说法正确的是
__________________．
【详解】解：①正确． 点是 和 的角平分线的交点，
，
；
②错误． 是 中 的平分线， 是 的外角的平分线， ，
， 是 的外角， 是 的外角， ，
， ， ，即∠P= ∠A；
③正确， 、 为 两外角的平分线，
， ，
由三角形内角和定理得：
；．故答案为：①③．
21．（2022·山东泰安）如图①、②中， ， ， ，则 的度数为（ ）A．111 B．174 C．153 D．132
【详解】解：∵①②中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，∴①中，
，故∠O=180°−69°=111°；
1
②中，∠O=∠4−∠2= [(∠3+∠4)−(∠1+∠2)]= ∠A=21°；∴∠O+∠O=111°+21°=132°，故选：D．
2 1 2
22．（2021·江苏无锡）如图， 为直角三角形， ，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的
平分线BE交于点E，BG是 A△BC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（
） △
A．120° B．135° C．150° D．160°
【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AE，BE分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA= ∠CAB+ ∠CBA=45°，∵BG平分∠CBF，∴∠CBG= ∠CBF，∵∠CBE= ∠CBA，
∴∠CBE=∠CBG+∠CBE= ∠CBF+ ∠CBA=90°，∴∠G=90°-45°=45°，∵∠ADC=∠BDG，
∴∠ADC+∠GBF=∠BDG+∠DBG=180°-∠G=135°，故选：B．
23．（2022·山东泰安）如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A，得∠A；
1
∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A，得∠A；…；∠A 与∠A CD的平分线相交于点A ，得
1 1 2 2 2021 2021 2022
∠A ，则∠A 是（ ）度．
2022 2022A． x B． x C． x D． x
【详解】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠ACD是△ABC的外角，∴∠A=∠ACD-∠ABC，
1 1
∠A=∠ACD-∠ABC，∵BA 和CA 分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠ABC= ∠ABC，∠ACD=
1 1 1 1 1 1 1
∠ACD，∴∠A= ∠ACD- ∠ABC= ∠A= x°，同理可得，∠A= ∠A= × x°，∠A= ∠A= × ×
1 2 1 3 2
x°，…，∴∠A = x°，故选：C．
2022
题型4：三角形的角度计算
24．（2022·浙江绍兴）如图， ，AE平分∠BAC，且与CD相交于点E，若∠C＝50°，则∠AEC
的度数为___________．
【详解】解：因为 ， ，又 ， ， 平分 ，
， ．故答案为： ．
25．（2022·江苏无锡）将一副三角板（含30°、45°的直角三角形）如图摆放，则图中∠1的度数为
_______．
【详解】解：由三角形的外角性质得：∠1=30°+90°=120°．故答案为：120°．
26．（2022年江苏）一副三角板如图放置， ， ， ，则 _________ ．【详解】解：如图，∵ ，∴ ， ， ， ，
，故答案为：105．
27．（2022·江苏·江阴）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，点B在AE上，那么图中
∠ABC=_____°．
【详解】解：∵∠BAC=45°，∠BCA=60°，∴∠ABC＝180°−（∠BAC＋∠BCA）＝75°．故答案为：75．
28．（2022·江苏·江阴）如图，已知△ABC中， 于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则
∠DAE=_________度．
【详解】解：∵∠B=80°，∠C=40°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°，故答案为：20．
29．（2018·山东德州）如图，在 ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠△DAE的度数．
【详解】解：（1）∵在 ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，∴∠B△AE=30°；
（2）∵AD是 ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-
30°=20°． △
30．（2021·北京）如图，在 内， 是 边上的高， 平分 交 边于 ， ，
，求 的度数．
【详解】解： 平分 ， ， ，
， 是 边上的高， ，则在 中，
， ， ，
．
31．（2020·黑龙江）如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．【详解】∵AC⊥DE，∴∠APE=90°．∵∠1是△AEP的外角，∴∠1=∠A+∠APE．∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，∵∠B=27°，
∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°．
32．（2021·湖北）如图，在 ABC中，∠A=40°，∠B=76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于
点F，求∠CDF的度数． △
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=76°∴∠ACB=180°﹣40°﹣76°=64°，∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=32°，
∴∠CED=∠A+∠ACE=72°∵CD⊥AB，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=∠CED
=72°．
33．如图，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝
70°．
（1）求∠CAD的度数．（2）求∠BOA的度数．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，∴∠BAO＝30°，∠ABC＝50°，∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
题型5：8字模型
34．（2021·黑龙江）如图， ，若 ，则 ______°.【详解】解：∵ ， ,∴ 故答案为：59
35．（2022·重庆）如图，已知 ，则 ______度．
【详解】解：连接BC，∵ ， ，∴
，
∴ ．
∵ ，∴ ．∵ ，
∴ ．
故答案为：270．
36．如图，AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．若∠D＝40°，∠B
＝30°，则∠E的度数为______．
【详解】解：∵AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，∴ ，
，∵∠D=40°，∠B=30°，∠D+∠DCB=∠B+∠BAD①，∴∠BAD-∠DCB=10°，
∴∠DAE-∠DCE=5°，∵∠D+∠DCE=∠E+∠DAE②，由①+②，得：2∠D+∠DCB+∠DCE=∠E+∠B+∠BAD+∠DAE，80°+3∠DCE=30°+∠E+3∠DAE，∴50°-3（∠DAE-∠DCE）=∠E，
∴∠E=35°．故答案为：35°．
37．（2022·山西吕梁）如图，已知AB∥CD，AE和CF分别平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC=57°，
∠AFC=63°，则∠BAF的度数为____________________ ．
【详解】解：过点F作FG AB，如图所示，
∵AB CD，∴AB CD FG，∴∠DCF=∠GFC，∠BAF=∠GFA，∵CF平分∠DCE，
∴设∠DCF=∠FCE=x，则∠GFC=x，∠GFA=∠AFC-∠GFC=63°-x，∴∠BAF=∠AFG =63°-x，
在∆CFH中，∠CHF=180°-∠FCE-∠AFC=180°-x-63°=117°-x，∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠EAF= ，在∆AEH中，∠EHA=180°-∠EAH-∠E=180°- -57°=123°- ，
∵∠EHA=∠FHC，∴117°-x=123°- ，解得：x=17°，∴∠BAF=63°-17°=46°，故答案为：46°．
38．（2020·安徽）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图①的图形称之为
“8字形”．如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的角平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB
分别相交于点M，N，试解答下列问题：
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
(2)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(3)如果图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系
(直接写出结论即可)．【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）38°；（3）2∠P=∠B+∠D
【详解】解：（1）在 中， ，在 中， ，
（对顶角相等）， ， ；
（2） ， ， ， ，
、 分别是 和 的角平分线， ， ，
又 ， ；
（3）根据“8字形”数量关系， ， ，
所以， ， ，
、 分别是 和 的角平分线， ， ，
，整理得， ．
39．（2020·河北·保定）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8
字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相
交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；
（2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.【详解】解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P=∠D+∠B=50°+40°，∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.
题型6：燕尾模型
40．（2018·云南·腾冲）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并
证明；
（3）如图3，在 （2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关
系并证明．
【详解】（1）如图1,延长AD交BC于E，在 ABE中，∠AEC=∠A+∠B＝28º+72º=100º，在 DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C＝100º+11º=111º ；
（△2）∠A－∠C=2∠P，理由如下：如图2， △
∠5=∠A+∠1,∠5=∠P+∠3，∴∠A+∠1=∠P+∠3 ，∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C ，∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C
∴∠A－∠C=2∠P；
（3）∠A+∠C=2∠P,理由如下:如图3,
同（2）理知∠A+∠1=∠P+∠3,∠C+∠4=∠P+∠2 ，∴∠A+∠C+∠1+∠4=2∠P+∠2+∠3，
∵PB平分∠ABC,PD平分∠ADC，∴ ∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3 ，∴∠A+∠C=2∠P
41．如图（1），由三角形的内角和或外角和可知：∠ABC＝∠A+∠C+∠O在图（2）中，直接利用上述
的结论探究：
①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O＝80°∠B＝120°，求∠ADC的度数
②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．
【解答】解：①根据题意得：∠OAB+∠OCB＝∠B﹣∠O＝120°﹣80°＝40°，
∵AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，∴∠OAD+∠OCD＝ ×40°＝20°，∴∠ADC＝∠O+∠OAD+∠OCD＝80°+20°＝100°；
②由题意得：∠ADC＝∠OAD+∠OCD+∠O，∠ABC＝∠OAB+∠OCB+∠O，
∵AD、CD是∠OAB、∠OCB的平分线，∴∠BAD＝∠OAD、∠OCD＝∠BCD，
∴∠ABC＝2∠ADC﹣∠O．
42．（2022·全国）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规
形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解
决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若
∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G 、G 、G ，若∠BDC=140°，∠BG C=77°，则∠A
1 2 9 1
的度数=__________°．
【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC= ∠ADB,∠AEC= ∠AEB，∴∠DCE＝ (∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG C＝ (∠ABD+∠ACD)+ ∠A，∵∠BG C＝77°，∴设∠A为x°，
1 1
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴ (140﹣x)＋x＝77，∴14﹣ x+x＝77，∴x＝70，∴∠A为70°．
故答案是：70．
题型7：折叠模型
43．（2021·江西）如图，Rt ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，
折痕为CD，则∠A′DB＝___△．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B=90°-50°=40°，由折叠可知∠DA′C=∠A＝50°，
∴∠A′DB=∠DA′C-∠B=50°-40°=10°，故答案为：10°．
44．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝
25°，则∠EFC'的度数为（ ）
A．122.5° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，∴∠AEB＝65°；由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，∴∠BEF＝57.5°；易知∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，
∴BE∥C′F，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．
故选：A．
45．（2022·四川宜宾）如图，将四边形纸片 沿 折叠，点 落在 处，若 ，则
的度数是_______．
【详解】解：如下图，
∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A 处，∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°-
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（∠1+∠2），
∵∠1+∠2=88°，∴∠3+∠4=180°- ×88°=180°-44°=136°，在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-
136°=44°，
故答案为：44°．
46．（2021·湖北·咸丰）如图，在三角形纸片ABC中， ．将三角形纸片的一角折叠，
使点C落在 内，如果 ，那么 ___________．【详解】解：如图延长AE、BF交于点 ，连接C ．
在 AB 中，∠A B＝180°−74°−70°＝36°，∵∠ECF＝∠A B＝36°，∠1＝∠EC ＋∠E C，∠2＝
∠△FC ＋∠F C，∴∠1＋∠2＝∠EC ＋∠E C＋∠FC ＋∠F C＝2∠A B＝72°，
∵∠1＝30°，∴∠2＝42°，故答案为：42°．
47．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度．
【解答】解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．
故答案为：40°．
