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专题01 已知k求面积
1．如图，在同一平面直角坐标系中，P是y轴正半轴上的一点，过点P作直线AB//x轴，分别与双
曲线y＝﹣ （x＜0）、y＝ （x＞0）相交于点A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积．
【答案】S AOB＝ ．
△
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S OAP＝ ，S OBP＝ ＝2，
△ △
∴S AOB＝S OBP+S OAP＝ +2＝ ．
△ △ △
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是理解反比例函数的比例系数k的几
何意义，属于中考常考题型．
2．如图，点A在反比例函数 的图象上，点C在x轴负半轴上， ，求△ACO
的面积．
【答案】9
【分析】作 于点B，设点 ，根据题意可得 ， ，且 ，最后根据三角形的面积公式 计算求解即可．
【详解】解析：如图，过点A作 轴，垂足为点B，
设点A坐标为 ，
则 ．
又∵ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵点A在反比例函数 的图象上，
∴代入得 ，
∴ ．
故答案为9．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、
等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，边
1
AB与函数y＝ （x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积．
2【答案】3
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可
以求出阴影部分ODBC的面积．
【详解】解：∵点D是函数y＝ （x＞0）图象上的一点，
2
∴△AOD的面积为 ，
∵点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形，
1
∴矩形ABCO的面积为4，
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积- AOD的面积＝4-1＝3，
故选：B． △
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义．
4．如图，点M是反比例函数 图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函
数 图像于点N．(1)若点M（ ，3），求点N的坐标；
(2)若点P是x轴上的任意一点，那么 PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？
若变化，请说明理由． △
【答案】(1)
(2)不变，5
【分析】（1）将y=3代入 ，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得 MOH和
NOH的面积，得到 MON的面积，由MN∥x轴得到 MON和 MNP的面积相等，从而△得到
△PMN的面积不变．△ △ △
△（1）
∵MN y轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入 ，
得 ，
∴ ；
（2）
不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，∵MN x轴，点M和点N分别在函数 和函数 图象上，
∴ ，
∴ ，
∴S PMN=5，
∴△△PMN的面积不变，且 PMN的面积为5．
【点睛】本题考查了反比例△函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到 MON和
PMN的面积相等． △
△
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=ax+b与双曲线 交于A（1，3），B（3，
m）两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接OA，OB．
(1)求a，b，k的值；
(2)求 OAB的面积；
(3)在△x轴上是否存在点P，使 PCD的面积等于 OAB的面积的3倍，若存在，请直接写出所有符
合条件的点P的坐标；若不存△在，请说明理由．△
【答案】(1)a=-1，b=4，k=3
(2)4(3)存在，P（-2，0）或（10，0）
【分析】（1）把A点的坐标代入反例函数解析式即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，
把A、B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）先由直线解析式求得D（0，4），C（4，0），根据△AOB的面积= BOD的面积- AOD的
面积求得△AOB的面积； △ △
（3）根据题意得到 PC•OD=12，即 =12，即可求得PC的长，从而求得P的坐标．
（1）
将点A（1，3）代入y= 得：3= ，
解得k=3，
故反比例函数的表达式为：y= ，
将点B（3，m）代入y= 得：m=1，
故点B（3，1），
将点A（1，3），B（3，1）代入y=ax+b，得 ，
解得 ；
故a=-1，b=4，k=3；
（2）
由一次函数y=-x+4可知，D（0，4），C（4，0），
则△AOB的面积= BOD的面积- AOD的面积= - =4；
△ △
（3）
∵△PCD的面积等于△OAB的面积的3倍．
∴ PC•OD=12，即 =12，
∴PC=6，
∴P（-2，0）或（10，0）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
6．已知点 为函数 （ ）图象上任意一点，连接 并延长至点 ，使 ，过点
作 轴交函数图象于点 ，连接 ．
(1)如图1，若点 的坐标为 ，求 及点 的坐标；
(2)如图2，过点 作 ，垂足为 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先由反比例函数解析式求出A点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于
轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求出
点C的横坐标，即可解决；
（2）设出A点坐标，由 得到B点坐标，由于 轴， ，可以得到 轴，
由此写出点D坐标，由于 轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得到BC和BD
的长度，进而求得 和 的面积，进而求解．
（1）
解：将点 坐标代入到反比例函数 中得，
，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
∵ ， ，∴点 的坐标为 ．
∵ 轴，
∴点 的纵坐标为2，
令 ，
则 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）
解：设 ．
∵ ，
∴点 的坐标为 ．
∵ 轴，
∴ 轴，
又∵ ，
∴ 轴，
∴点 的坐标为 ．
∵ 轴，且点 在函数图象上，
∴
∵ ，．
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐
标特征，是解决本题的关键．
7．如图，点B在函数y＝ （x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝
（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝ （x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四
边形OABC的面积．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）由 轴， 轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入 即可得出点
A、C的坐标；（2）设 ，由（1）同理得 ，即可得出△ABC的面积；
（3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证
Rt OCD≌Rt OCB'（HL），得S OCD＝S OBC，从而解决问题．
'
△ △
（△1） △
解：（1）∵ 轴，B（1，2），
∴当x＝1时，y＝1，
即C（1，1），
∵ 轴，
∴当y＝2时，x＝ ，
即 ；
（2）
解：当点B是 （x＞0）的图象上任意一点时，
设 ，
由（1）同理得 ，
∴S ABC＝ AB×BC＝ ；
△
（3）
解：延长BC交x轴于D点，∵ 轴， 轴，则∠ABC＝90°，
∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴CD⊥x轴，
∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，
∴∠CB'O＝∠ABC＝ 90°，
∴CB'⊥OA，
∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA，
∴CD＝CB'，
在Rt OCD和Rt OCB'中，
△ △
，
∴Rt OCD≌Rt OCB'（HL），
△ △
∴ ，
由（2）知，S OCD＝ ，S ABC＝ ，
△ △
∴四边形OABC的面积为 ．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，坐标与图形
的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练的运用反比例函数的性质是解
本题的关键．
8．如图，点C在反比例函数y 的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y 的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y 的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积．
【答案】4
【分析】设A（a， ），则C（a， ），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，
1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S ABO＝S AOD＋
△ △
S ABED﹣S BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S ABO＝S ABED，即可求得结果．
梯形 梯形
△ △
【详解】解：设A（a， ），则C（a， ），
∵CA＝2，
∴ ，
解得a＝1，
∴A（1，3），C（1，1），
∴B（3，1），
作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，
∵S ABO＝S AOD＋S ABED﹣S BOE，S AOD＝S BOE ，
梯形
△ △ △ △ △
∴S ABO＝S ABED= （1＋3）（3﹣1）＝4；
梯形
△
故答案为：4.
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，准确计算是解题的关键．
9．如图是反比例函数 与反比例函数在第一象限中的图象，点P是 图象上一动点，PA⊥X轴于点A，交函数 图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的
横坐标为a．
（1）用字母a表示点P的坐标；
（2）求四边形ODPC的面积；
（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．
【答案】（1）P（2a， ）；（2）2；（3）见解析
【分析】（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标；
（2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用 ，即可
求出答案；
（3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数 图象上，
∴点D的纵坐标 ，
又PB⊥y轴，且点P在 图象上，
∴点P的纵坐标 ，
∴点P的横坐标为x＝2a，
∴P（2a， ）；
（2）∵ ， ，∴ ；
（3）∵PA⊥x轴于点A，交函数 图象于点C，
∴点C的坐标为（2a， ），
又P（2a， ），
∴PC＝CA＝ ，
∵DP∥AE，
∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE，
∴△DPC≌△EAC，
∴DP＝AE，
∴四边形DAEP是平行四边形．
【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反
比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．
10．如图所示，点 在双曲线 上，点 在双曲线 之上，且 轴， ， 在 轴
上，若四边形 为矩形，求它的面积．
【答案】
【分析】根据点A的坐标， 轴，确定,A，B的纵坐标相等，借助反比例函数解析式确定点B
的坐标，利用坐标与线段的关系求出AB，AD的长即可求解．
【详解】解： ， 轴，
、 两点的纵坐标相同，点 在双曲线 之上，
，
， ，
．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式，坐标与图像的关系，坐标与线段的关系，熟练
运用点的坐标与函数解析式的关系确定点的坐标是解题的关键．
11．如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C 和C ，设点P（1，4）在
1 2
C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B（1，m），求k，m的值及 POB的面积．
1 2
△
【答案】k=4，m=2， ．
【详解】试题分析：将点P的坐标代入C 的解析式即可求出k的值；将点B的横坐标代入C 的解
1 2
析式即可求出m的值；S POB=S POA－S BOA，由反比例函数k的几何意义可以分别求出
S POA、S BOA的值. △ △ △
试△题解析：△
∵P（1，4），∴k=4；
∵B（1，m），C 解析式为：y= ，∴m=2；
2
S POB=S POA－S BOA=2－1=1.
点△睛：掌握△反比例函△数k的几何意义.
12．已知，反比例函数 和 的部分图象如图所示，点P在 上，PC垂直x轴于点
C，交 于点A（2，1），PD垂直y轴于点D，交 于点B，连接OA，OB．
（1）求B点和P点的坐标；（2）求四边形AOBP的面积．
【答案】（1）B点的坐标为（ ，3），P点的坐标为（2，3）；（3）4
【分析】（1）由题意可知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，分别代入反比例
解析式，得到点P和点B的坐标；
（2）由题意，利用矩形的面积减去两个三角形的面积，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意知，P点的横坐标与A（2，1）相同，纵坐标与B相同，
∵P点在 上，把 代入得 ，
∴P点的坐标为（2，3），B点的纵坐标为3．
又∵B点在 上，把 代入得 ，
∴B点的坐标为（ ，3），P点的坐标为（2，3）．
（2）如图，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD= ，
用S表示图形的面积，由题意得：
，
，
，
=4．【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，以及利用间接法求四边形的面积，
解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．
13．如图，过 轴上的一个动点 作 轴的平行线，交双曲线 与点 ，交双曲线 于
点 ，点 、点 在 轴上运动，且始终保持 ，求平行四边形 的面积？
【答案】14
【分析】先作AP⊥x轴，BQ⊥x轴，把平行四边形ABCD的面积转化成矩形ABQP的面积，然后
利用k值的几何意义求解即可.
【详解】解：作AP⊥x轴，BQ⊥x轴，
∵S =AB•AP，S = AB•AP，
平行四边形ABCD 矩形ABQP
∴S =S ，
平行四边形ABCD 矩形ABQP
∵点A在 上，点B在 上，
∴S =4，S =10，
矩形APOM 矩形BQOM
∴S = S + S =4+10=14，
矩形ABQP 矩形APOM 矩形BQOM
∴S =14.
平行四边形ABCD
【点睛】本题考查反比例函数中k值的几何意义，熟练应用k值的几何意义是解题的关键.
14．如图，函数y＝﹣x与函数y＝﹣ 的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，
垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为多少？．【答案】8
【分析】由反比例函数比例系数k的几何意义可求出S AOC＝S ODB＝2，再根据等底等高的三
角形的面积相等可得S AOC＝S ODA＝S ODB＝S △OBC＝2，△从而四边形ACBD的面积可求.
△ △ △ △
【详解】解：∵过函数y＝﹣ 的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴S ＝S ＝ |k|＝2
AOC ODB
△ △
又∵OC＝OD，AC＝BD，
∴S ＝S ＝S ＝S ＝2，
AOC ODA ODB OBC
∴四△边形AB△CD的面△积为：S△ +S +S +S ＝4×2＝8．
AOC ODA ODB OBC
故答案为8． △ △ △ △
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数 （k为常数，
k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩
形的面积等于常数 ，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于 .
15．如图，直角三角板 放在平面直角坐标系中，直角边 垂直 轴，垂足为 ，已知
，点 ， ， 均在反比例函数 的图象上，分别作 轴于 ，
轴于 ，延长 ， 交于点 ，且点 为 的中点．求点 的坐标；
求四边形 的面积．
【答案】（1）点 的坐标是 ；（2） ．
【分析】①因为 ，设点 ，根据反比例函数解析式可得出A,C,B的坐标;
②由点A的坐标可得出EF,AQ的长度，又点 为 的中点，所以PF= ，设点P坐标，因为P
在图像上，所以可得出△ 面积，同理得出△ 的面积，四边形AOPE的面积=
OPF AOD
，即可得出答案.
【详解】解： ∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，
则 ，
解得： 或 （不合题意，舍去）
∴点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是
∵点 的坐标是 ，
∴ ，∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
设点 的坐标是 ，则
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数与直角三角形的结合，熟悉掌握面积的表达式以及正切的定义是
解决本题的关键.
16．如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数 的图象于点A，交
函数 的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交 于点C，边接AC．
（1）当点P的坐标为（1，0）时，求 ABC的面积；
（2）当点P的坐标为（1，0）时，在△y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形
QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
△（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时， OAC的面积是否随t的值的变化而变化？
请说明理由． △【答案】（1） ；（2）Q的坐标为（0，﹣ ），（0， ），（0，2）或（0，1）;（3）见解
析.
【分析】（1）根据P点坐标先求出A，B两点坐标，然后求出C点坐标，得到AB=3，BC= ，再
利用三角形面积公式求解即可；
（2）如图①，先求得OA= ，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三种情况，分别求出Q点坐标即
可；
（3）如图②过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，因为点P的坐标为（t，0），所以点A
的坐标为（t， ），点B（t， ），点C（ ， ），由图②可知S =S +S ﹣S
OAC 矩形CDOE 梯形APEC OCD
△ △
﹣S ，进而可得到关于t的方程，然后解方程即可.
OAP
△
【详解】解：（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，
∵点A在反比例函数y= 上，点B在反比例函数y= 上，
∴点A（1，1），点B（1，4），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为4，
又∵点C在y= 上，
∴点C的坐标为（ ，4），
∴AB=3，BC= ，
∴S = ×BC×AB= ；
ABC
△（2）如图①所示：OA= = ，
①若OA=OQ，点Q位于Q 或Q 位置，此时Q（0，﹣ ），Q（0， ）；
1 2 1 2
②若AQ=AO，点Q位于Q 位置，此时Q（0，2）；
3 3
③若QO=QA，点Q位于Q 位置，此时Q（0，1）；
4 4
则Q的坐标为（0，﹣ ），（0， ），（0，2）或（0，1）；
（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：
∵点P的坐标为（t，0），
∴点A的坐标为（t， ），点B（t， ），点C（ ， ），
∴S =S +S ﹣S ﹣S =1+ （ + ）×（t﹣ ）﹣ ﹣ = ；
OAC 矩形CDOE 梯形APEC OCD OAP
△ △ △
故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．17．平面直角坐标系中，点A在函数y＝ （x＞0）的图象上，点B在y＝－ （x＜0）的图象
1 2
上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b：
（1）当|a|＝|b|＝5时，求△OAB的面积；
（2）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；
（3）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求a·b的值.
【答案】2；2；－2.
【详解】试题分析：根据题意分析得出点A和B的坐标，然后计算面积；分别设出点A和B的坐
标，根据平行得出a和b的关系，然后进行计算面积；根据题意得出点A、B的坐标，根据等腰直
角三角形的性质和勾股定理得出等式，然后求出a·b的值.
试题解析：（1）∵a＞0，b＜0，当|a|＝|b|＝5时，可得A（5, ）,B(－5, )
∴S ＝ ×10× ＝2
OAB
△
（2）设A（a, ）,B(b, )，当AB∥x轴时， ＝ ，∴a＝－b
∴S ＝ ×（a－b）× ＝ ×2 a× ＝2
OAB
△
（3）设A（a, ）,B(b, )，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形, OA＝OB
由OA2＝a2＋( )2 , OB2＝a2＋( )2，∴a2＋( )2＝b2＋( )2
整理得：（ a2―b2）（1 ）＝0
∵AB与x轴不平行，∴|a|≠| b|,∴1 ＝0 ∴a·b＝±2
∵a＞0，b＜0，∴a·b＝－2
考点：反比例函数的性质.
18．如图，直线 与反比例函数 的图象只有一个交点 ．
(1)求反比例函数的解析式；(2)在函数 的图象上取异于点 的一点 ，作 轴于点 ，连接 交直线于点 .设直
线与 轴交于点 ，若 的面积是 面积的 倍，求点 的坐标．
【答案】(1) (2) ，
【详解】分析：(1)直线与双曲线只有一个交点，则把它们的解析式联立整理为一元二次方程后，
方程的判别式为0；(2)由k的几何意义求得S OBC，得到S EOF，又OE＝4，根据△EOF的面积
△ △
求F有横坐标.
详解：(1)根据题意得 ，整理得4x2－12x＋3k＝0，
△＝(－12)2－4×4×3k＝0，解得k＝3，
所以反比例函数的解析式为 ；
(2)设F(a， )，则E(0，4).
∵S OBC＝ ，∴S EOF＝ ，
△ △
∴ ×4×a＝ ，解得a＝ ，
则 ＝1，所以F( ，1).
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数只有一个交点，意味着
将它们的解析式联立整理成为一元二次方程后的根的判别式为0.过反比例函数 (k≠0)，图像上
一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足，原点，P点组成一个矩形，矩形的面积
．过反比例函数上一点，作垂线，三角形的面积为 ．19．平面直角坐标系xOy中，已知函数 （x＞0）与 （x＜0）的图象如图所示，点
A、B是函数 （x＞0）图象上的两点，点P是 （x＜0）的图象上的一点，且
轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
(1)求△APQ的面积；
(2)若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；
(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．
【答案】(1)S=4；
(2) ；
(3)mn=4；
【分析】（1）由点A的横坐标为m，则A（m， ），P( m， )，过点P、A、Q分别作PM
x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP交AP轴于点R，可得出S PMNA＝8，由
矩形
四边形PMQR和四边形ARQN是矩形可得：S PQM＝S PRQ，S ANQ＝S ARQ，所以S APQ
△ △ △ △ △
＝S PRQ+ S ARQ＝ S PMNA；
矩形
△ △
(2)分情况讨论，当PQ x轴时，求得 ，当PQ＝AQ时 ；
(3)由OA＝OB，然后列出等式，即可解得mn=4；
（1）
解：过点P、A、Q分别作PM x轴交x轴于点M，PN x轴交x轴于点N，QR AP轴交AP
轴于点R，则四边形APMN、四边形PMQR、四边形ARQN是矩形，如图所示：∵点A的横坐标为m,且在函数 上， 轴,且点P在函数 上，
∴点A（m， ）,点P（－m， ）,
∴MN=m ( m)=2m，PM= ，
∴S PMNA＝ =8，
矩形
∵四边形PMQR、四边形ARQN是矩形,
∴S PQM＝S PRQ，S ANQ＝S ARQ，
△ △ △ △
∴S APQ＝S PRQ+ S ARQ＝ S PMNA=4；
矩形
△ △ △
（2）
解：∵△APQ是等腰直角三角形，
∴①当∠APQ=90°时，
∴PQ⊥x轴，
∴PQ= ，
∵AP=2m，
∵AP=PQ，
∴2m= ，
∴m= （舍）或m= ，
∴P（ ，2 ），
∴Q（ ，0）；
②当∠PAQ=90°，∴AQ⊥x轴，
∴AQ= ，
∵AP=2m，
∵AP=PQ，
∴2m= ，
∴m= （舍）或m= ，
∴A（ ，2 ），
∴Q（ ，0）；
③当∠AQP=90°时，AQ=PQ，
∵AP∥x轴，
∴点Q是AP的垂直平分线上，
∵函数y 与y 关于y轴对称，
1 2
∴点Q（0，0），此时，
，即m= 2（舍）或m=2，
综上所述，满足条件的点Q为（ ，0），（0，0），（ ，0）；
（3）
解：∵△OAB是以AB为底的等腰三角形，
∴OA＝OB，
∵A（m， ），B(n， )，
∴
∴解得：mn=4；
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，等
腰三角形的性质，解（1）的关键是表示出AP，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键是利
用等腰三角形的两腰建立方程求解，是一道中等难度的中考常考题．
