文档内容
专题 01 计算重难题型分类练（五大考点）
实战训练
一．易错计算强化
1．计算：
1 5 1
（1）( − + )×(−36)；
3 2 6
1 1
（2）(−1) 2022×3−23+(− ) 2÷|− |．
4 25
试题分析：（1）根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可．
1 5 1
答案详解：解：（1）( − + )×(−36)
3 2 6
1 5 1
= ×（﹣36）− ×（﹣36）+ ×（﹣36）
3 2 6
＝﹣12+90+（﹣6）
＝72；
1 1
（2）(−1) 2022×3−23+(− ) 2÷|− |
4 251 1
＝1×3﹣8+ ÷
16 32
1
＝1×3﹣8+ ×32
16
＝3﹣8+2
＝﹣3．
2．计算：
1 1 1 3
（1）−14−(−2) 3× −16×( − + )．
4 2 4 8
1
（2）−22−2×[(−3) 2−3÷ ]．
2
试题分析：（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减法即可；
（2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后算减法即可．
1 1 1 3
答案详解：解：（1）−14−(−2) 3× −16×( − + )
4 2 4 8
1 1 1 3
＝﹣14﹣（﹣8）× −16× +16× −16×
4 2 4 8
＝﹣14+2﹣8+4﹣6
＝﹣22；
1
（2）−22−2×[(−3) 2−3÷
]
2
＝﹣4﹣2×（9﹣3×2）
＝﹣4﹣2×（9﹣6）
＝﹣4﹣2×3
＝﹣4﹣6
＝﹣10．
3．计算：
（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；
7 11 1
（2）[50−( − + )×(−6) 2 ]÷(−7) 2．
9 12 6
试题分析：（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可；
（2）先算乘方，再根据乘法分配律计算括号内的式子，最后算括号外的除法．
答案详解：解：（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|＝﹣9÷9+3×（﹣2）+4
＝﹣1+（﹣6）+4
＝﹣3；
7 11 1
（2）[50−( − + )×(−6) 2 ]÷(−7) 2
9 12 6
7 11 1
＝[50﹣（ − + ）×36]÷49
9 12 6
7 11 1
＝（50− ×36+ ×36− ×36）÷49
9 12 6
＝（50﹣28+33﹣6）÷49
＝49÷49
＝1．
1 1 3 1
4．计算：（1）（− ）﹣（﹣3 ）+（+2 ）﹣（+5 ）；
2 4 4 2
（2）﹣8+12﹣（﹣16）﹣|﹣23|；
2 3
（3）42×（− ）﹣（− ）÷（﹣0•25）；
3 4
3 7 7 7 8
（4）（1 − − ）÷（− ）+（− ）；
4 8 12 8 3
试题分析：按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，
计算过程中注意正负符号的变化．
1 13 11 22
答案详解：解：（1）原式＝（− ）+ + −
2 4 4 4
1 2
＝（− ）+
2 4
＝0；
（2）原式＝（﹣8）+12+16﹣23
＝﹣3；
（3）原式＝（﹣28）﹣3
＝﹣31；
42 21 14 8 8
（4）原式＝（ − − ）×（− ）−
24 24 24 7 3
1 8
＝（− ）−
3 3＝﹣3．
5．计算下列各题：
5
①−14÷(−5) 2×(− )+|0.8−1|
3
3
②−52−[(−2) 3+(1−0.8× )÷(−22 )×(−2)]．
4
试题分析：①原式第一项被除数表示1四次幂的相反数，除数表示两个﹣5的乘积，再利用除
以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，最后一项利用绝对值的代数意义化
简，计算即可得到结果；
②原式第一项表示5平方的相反数，中括号中第一项表示三个﹣2的乘积，第二项算计算括号
中的运算，再利用乘法法则计算，即可得到结果．
5 1 5 1 1 4
答案详解：解：①原式＝﹣1÷25×（− ）+0.2＝﹣1× ×（− ）+0.2= + = ；
3 25 3 15 5 15
3 2 1
②原式＝﹣25﹣[﹣8+（1− ）÷（﹣4）×（﹣2）]＝﹣25﹣（﹣8+ × ×2）＝﹣25+8
5 5 4
1
− =−17.2．
5
二．二进制与十进制的转化
6．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可
以互相换算，如将（101） ，（1011） 换算成十进制数为：
2 2
（101） ＝1×22+0×21+1＝4+0+1＝5；（1011） ＝1×23+0×22+1×21+1＝11；
2 2
两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减．与十进制中的“逢十进一”、
“退一还十”相类似，应用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则，如：（101） +（11） ＝
2 2
（1000） ；（110） ﹣（11） ＝（11） ，用竖式运算如右侧所示．
2 2 2 2
（1）按此方式，将二进制（1001） 换算成十进制数的结果是 9 ．
2
（2）计算：（10101） +（111） ＝ （ 1110 0 ） （结果仍用二进制数表示）；（110010） ﹣
2 2 2 2
（1111） ＝ 3 5 （结果用十进制数表示）．
2试题分析：（1）根据例子可知：若二进制的数有n位，那么换成十进制，等于每一个数位上的
数乘以2的（n﹣1）方，再相加即可；
（2）关于二进制之间的运算，利用“逢二进一”、“退一还二”的运算法则计算即可．
答案详解：解：（1）（1001） ＝1×23+0×22+0×21+1＝9；
2
（2）（10101） +（111） ＝（11100） ；
2 2 2
（110010） ﹣（1111） ＝（100011） ＝1×25+1×21+1＝35．
2 2 2
所以答案是：9；（11100） ；35．
2
7．我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可
以互相换算，如将（101） ，（1011） 换算成十进制数应为：（101） ＝1×22+0×21+1×20＝
2 2 2
4+0+1＝5；（1011） ＝1×23+0×22+1×21+1×20＝8+0+2+1＝11．
2
按此方式，将二进制（1001） 换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（
2
）
A．9，（1101） B．9，（1110） C．17，（1101） D．17，（1110）
2 2 2 2
试题分析：首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果，然后根据题意把 13
化成按2的整数次幂降幂排列，即可求得二进制数．
答案详解：解：（1001） ＝1×23+0×22+0×21+1×20＝9．
2
13＝8+4+1＝1×23+1×22+0×21+1×20＝（1101）
2
所以选：A．
8．计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），是逢2进1的计数制，二进制数与常用的十
进制数之间可以互相换算，如将（10） ，（1011） 换算成十进制数应为：（10） ＝1×21+0×20
2 2 2
＝2，（1011） ＝1×23+0×22+1×21+1×20＝11．按此方式，则（101） +（1101） ＝ 1 8 ．
2 2 2
试题分析：仿照所给的方式进行求解即可．
答案详解：解：（101） +（1101）
2 2
＝1×22+0×21+1×20+1×23+1×22+0×21+1×20
＝4+0+1+8+4+0+1＝18．
所以答案是：18．
三．数值转化机
9．按如图所示的程序运算：当输入的数据为﹣1时，则输出的数据是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
试题分析：把x＝﹣1代入程序中计算，判断结果与0的大小，即可确定出输出结果．
答案详解：解：把x＝﹣1代入程序中得：（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0，
把x＝﹣2代入程序中得：（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0，
则输出的数据为4．
所以选：B．
10．下图是计算机计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 ﹣ 1 7 ．
试题分析：把﹣2按照如图中的程序计算后，若＜﹣5则结束，若不是则把此时的结果再进行计
算，直到结果＜﹣5为止．
答案详解：解：根据题意可知，（﹣2）×4﹣（﹣3）＝﹣8+3＝﹣5，
所以再把﹣5代入计算：（﹣5）×4﹣（﹣3）＝﹣20+3＝﹣17＜﹣5，
即﹣17为最后结果．
故本题答案为：﹣17
11．按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为 5 5 ．试题分析：把﹣3代入操作步骤中计算即可确定出输出结果．
答案详解：解：把﹣3代入得：（﹣3）2＝9＜10，
则有（9+2）×5＝55．
所以答案是：55．
四．类比推理--规律类的钥匙
12．观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 2
+ =（ − ）+（ − ）＝1− = ．
1×2 2×3 1 2 2 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =（ − ）+（ − ）+（ − ）＝1− = ．
1×2 2×3 3×4 1 2 2 3 3 4 4 4
…
1 1 1 1
（1）试求 + + + 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5
1 1 1 1
（2）试计算 + + +⋯+ （n为正整数）的值．
1×2 2×3 3×4 n×(n+1)
试题分析：（1）根据已知等式得到拆项规律，原式变形后计算即可得到结果；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．
1 1 1 1 1 1 4
答案详解：解：（1）原式＝1− + − + − =1− = ；
2 2 3 4 5 5 5
1 1 1 1 1 1 n
（2）原式＝1− + − +..+ − =1− = ．
2 2 3 n n+1 n+1 n+1
13．阅读下面的文字，完成后面的问题．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
我 们 知 道 ， =1− ， = − ， = − ， 那 么 = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
1 1 1
= − ．
2005×2006 2005 2006
1 1
（1）用含有n的式子表示你发现的规律 − ；
n n+1（2）依上述方法将计算：
1 1 1 1 1002
+ + +⋯+ =
1×3 3×5 5×7 2003×2005 2005
1 1 1 1
（3）如果n，k均为正整数，那么 = ⋅( − ) ．
n(n+k) k n n+k
试题分析：观察发现，每一个等式的左边都是一个分数，其中分子是1，分母是连续的两个正整
数之积，并且如果是第n个等式，分母中的第一个因数就是n，第二个因数是n+1；等式的右边
是两个分数的差，这两个分数的分子都是1，分母是连续的两个正整数，并且是第n个等式，被
减数的分母就是n，减数的分母是n+1．然后把n＝4，n＝2005代入即可得出第5个等式；
1 1 1
（1）先将（1）中发现的第n个等式的规律 = − 代入，再计算即可；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1
（2）先类比（1）的规律，得出 = （ − ），再计算即可．
n(n+2) 2 n n+1
（3）根据（2）的规律即可得出结论．
1 1
答案详解：解：∵第一个式子： =1− ；
1×2 2
1 1 1
第二个式子： = − ；
2×3 2 3
1 1 1
第三个式字： = − ，
3×4 3 4
…
1 1 1 1 1 1
∴ = − ， = − ．
4×5 4 5 2005×2006 2005 2006
1 1 1 1
所以答案是： − ， − ；
4 5 2005 2006
1 1 1
（1）由以上得出的规律可知，第n个等式的规律 = − ；
n(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1
（2）原式= （1− + − ⋯+ − ）
2 3 3 4 2003 2005
1 1
= （1− ）
2 2005
1002
=
20051 1 1
（3）由（2）可知n，k均为正整数， ⋅( − )．
k n n+k
14．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也
可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加
1 1 3 2 3−2 1
减 ， 例 如 ： − = − = = ， 我 们 将 上 述 计 算 过 程 倒 过 来 ， 得 到
2 3 2×3 3×2 6 6
1 1 1 1 1
= = − ，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于 可以用裂项的方
6 2×3 2 3 4×6
1 1 1 1
法变形为： = ( − )．类比上述方法，解决以下问题．
4×6 2 4 6
1 1 1
【类比探究】（1）猜想并写出： = − ；
n×(n+1) n n+1
1 1 1 1
【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算： + + +⋯+ ；
1×2 2×3 3×4 99×100
1 1 1 1 1
【迁移应用】（3）探究并计算： + + + +⋯+ ．
−1×3 −3×5 −5×7 −7×9 −2021×2023
试题分析：（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题；
（3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．
1 1 1
答案详解：解：（1） = − ，
n×(n+1) n n+1
1 1
所以答案是： − ；
n n+1
1 1 1 1 1 1 1
（2）由（1）易得：(1− )+( − )+( − )+⋯+( − )
2 2 3 3 4 99 100
1 1 1 1 1 1 1
=1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 99 100
1
=1−
100
99
= ；
100
1 1 1 1 1
（3） + + + +...+
−1×3 −3×5 −5×7 −7×9 −2021×20231 2 2 2 2 2
=− ×（ + + + +⋯+ ）
2 1×3 3×5 5×7 7×9 2021×2023
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=− ×（1− + − + − + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 5 7 7 9 2021 2023
1 1
=− ×（1− ）
2 2023
1 2022
=− ×
2 2023
1011
=− ．
2023
15．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图
① ， 可 以 把 算 式 1+3+5+7+9+11 转 化 为 62 ＝ 36 ． 请 你 观 察 图 ② ， 可 以 把 算 式
1 1 1 1 1 1 1 127
+ + + + + + 转化为 ．
2 4 8 16 32 64 128 128
1
试题分析：根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成1− ，再求出
128
答案即可．
1 1 1 1 1 1 1
答案详解：解： + + + + + +
2 4 8 16 32 64 128
1
＝1−
128
127
= ，
128
127
所以答案是： ．
128
16．观察下列等式：
1 1
第1个等式：a = =1− ；
1
1×2 21 1 1
第2个等式：a = = − ；
2
2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = − ；
3
3×4 3 4
1 1 1
第4个等式：a = = − ⋯
4
4×5 4 5
请解答下列问题：
1 1 1
（1）按以上规律写出：第n个等式a ＝ = − （n为正整数）；
n n(n+1) n n+1
（2）求a +a +a +a +…+a 的值；
1 2 3 4 100
1 1 1 1
（3）探究计算： + + +⋯+ ．
1×4 4×7 7×10 2020×2023
试题分析：（1）对所给的等式进行分析，不难总结出其规律；
（2）利用所给的规律进行求解即可；
（3）仿照所给的等式，对各项进行拆项进行，再运算即可．
1 1
答案详解：解：（1）∵第1个等式：a = =1− ；
1
1×2 2
1 1 1
第2个等式：a = = − ；
2
2×3 2 3
1 1 1
第3个等式：a = = − ；
3
3×4 3 4
1 1 1
第4个等式：a = = − ；
4
4×5 4 5
…，
1 1 1
∴第n个等式：a = = − ，
n n(n+1) n n+1
1 1 1
所以答案是： = − ；
n(n+1) n n+1
（2）a +a +a +a +…+a
1 2 3 4 100
1 1 1 1 1
= + + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 4×5 100×101
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 4 5 100 101
1
＝1−
101100
= ；
101
1 1 1 1
（3） + + +⋯+
1×4 4×7 7×10 2020×2023
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − +⋯+ − ）
3 4 4 7 7 10 2020 2023
1 1
= ×(1− )
3 2023
1 2022
= ×
3 2023
674
= ．
2023
五．阅读类--化归思想
1 1 1
17．阅读下列材料：计算5÷（ − + ）
3 4 12
1 1 1
解法一：原式＝5÷ −5÷ +5÷
3 4 12
＝5×3﹣5×4+5×12
＝55
4 3 1
解法二：原式＝5÷（ − + ）
12 12 12
1
＝5÷
6
＝5×6
＝30
1 1 1
解法三：原式的倒数＝（ − + ）÷5
3 4 12
1 1 1 1
＝（ − + ）×
3 4 12 5
1 1 1 1 1 1
= × − × + ×
3 5 4 5 12 5
1
=
30
∴原式＝30
（1）上述的三种解法中有错误的解法，你认为解法 一 是错误的1 1 3 2 3
（2）通过上述解题过程，请你根据解法三计算（− ）÷（ − − + ）
42 6 14 3 7
试题分析：（1）根据运算律即可判断；
（2）类比解法三计算可得．
答案详解：解：（1）由于除法没有分配律，
所以解法一是错误的，
所以答案是：一；
1 3 2 3 1
（2）原式的倒数＝（ − − + ）÷（− ）
6 14 3 7 42
1 3 2 3
＝（ − − + ）×（﹣42）
6 14 3 7
1 3 2 3
= ×（﹣42）− ×（﹣42）− ×（﹣42）+ ×（﹣42）
6 14 3 7
＝﹣7+9+28﹣18
＝12，
1
∴原式= ．
12
18．先阅读下面材料，再完成任务：
【材料】
3 3 3 3
下列等式：4− =4× +1，7− =7× +1，…，具有a﹣b＝ab+1的结构特征，我们把满足这
5 5 4 4
3 3
一特征的一对有理数称为“共生有理数对”，记作（a，b）．例如：（4， ）、（7， ）都是
5 4
“共生有理数对”．
【任务】
1 1
（1）在两个数对（﹣2，1）、（2， ）中，“共生有理数对”是 （ 2 ， ） ；
3 3
1
（2）请再写出一对“共生有理数对” （− ，﹣ 3 ） ；（要求：不与题目中已有的“共生有
2
理数对”重复）
（3）若（x，﹣2）是“共生有理数对”，求x的值；
（4）若（m，n）是“共生有理数对”，判断（﹣n，﹣m） 是 “共生有理数对”．（填“是”或“不是”）
试题分析：（1）读懂题意，根据新定义判断即可；
（2）随意给出一个数，设另一个数为x，代入新定义，求出另一个数即可；
（3）根据新定义列等式，求出x的值；
（4）第一对是“共生有理数对”，列等式，通过等式判断第二对数是否符合新定义．
答案详解：解：（1）（﹣2，1），
∵（﹣2）﹣1＝﹣3，（﹣2）×1+1＝﹣1，﹣3＝﹣1，
∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”；
1
（2， ），
3
1 5 1 5 5 5
∵2− = ，2× +1= ， = ，
3 3 3 3 3 3
1
∴（2， ）是“共生有理数对”；
3
1
所以答案是：（2， ）；
3
（2）设一对“共生有理数对”为（x，﹣3），
∴x﹣（﹣3）＝﹣3x+1，
1
∴x=− ，
2
1
∴这一对“共生有理数对”为（− ，﹣3），
2
1
所以答案是：（− ，﹣3）；
2
（3）∵（x，﹣2）是“共生有理数对”，
∴x﹣（﹣2）＝﹣2x+1，
1
∴x=− ；
3
（4）∵（m，n）是“共生有理数对”，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝（﹣n）（﹣m）+1，
∴（﹣n，﹣m）是“共生有理数对”，
所以答案是：是．
19．阅读材料，解决下列问题：【阅读材料】求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记为an．若10n＝m（n＞0，m≠1，m＞
0），则n叫做以10为底m的对数，记作：lgm＝n．如：104＝10000，此时，4叫做以10为底
10000的对数，记作：lg10000＝lg104＝4，（规定lg10＝1）．
【解决问题】
（1）计算：lg100＝ 2 ；lg1000＝ 3 ；lg100000＝ 5 ；lg1020＝ 2 0 ；
（2）计算：lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010；
【拓展应用】
（3）由（1）知：lg100+lg1000与lg100000之间的数量关系为： l g 100+ l g 100 0 ＝ l g 10000 0 ；
猜想：lga+lgb＝ lga b （a＞0，b＞0）．
试题分析：（1）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）应用题目所给的计算方法和有理数乘方法则进行计算即可得出答案；
（3）应用题目所给的计算方法进行计算即可得出答案．
答案详解：解：（1）根据题意可得，
lg100＝2；lg1000＝3；lg100000＝5；lg1020＝20；
所以答案是：2，3，5，20；
（2）lg10+lg100+lg1000+⋅⋅⋅+lg1010
＝1+2+3+……+10
＝55；
（3）∵lg100+lg1000＝2+3＝5，
lg100000＝5，
∴lg100+lg1000＝lg100000；
所以答案是：lg100+lg1000＝lg100000；
lga+lgb＝lgab．
所以答案是：lgab．
20．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…
回答下列三个问题：
1 1
（1）验证：（2× ）100＝ 1 ，2100×（ ）100＝ 1 ；
2 2
（2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝ a n b n ； （abc）n＝ a n b n c n ．
（3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2017×22016×42015．
试题分析：（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法；②根据有理数乘方的定义求出即可；
③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．
1 1
答案详解：解：（1）（2× ）100＝1，2100×（ ）100＝1；
2 2
②（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
③原式＝（﹣0.125）2015×22015×42015×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2]
1
＝（﹣0.125×2×4）2015×
32
1
＝（﹣1）2015×
32
1
＝﹣1×
32
1
=− ．
32
所以答案是：1，1；anbn，anbncn．
