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专题 02 二次根式的乘法与除法
（六大题型）
【题型1 二次根式的乘法运算】...........................................................................................1
【题型2 二次根式的除法运算】...........................................................................................3
【题型3 二次根式的乘除法运算】.......................................................................................7
【题型4 最简二次根式的判定】..........................................................................................12
【题型5 化为最简的二次根式】..........................................................................................13
【题型6 已知最简二次根式求参数】..................................................................................15
【题型1 二次根式的乘法运算】
1．计算下列各式：
(1)❑√3×❑√2； (2)❑√8×❑√32； (3)❑√20×❑√50．
【答案】(1)❑√6
(2)16
(3)10❑√10
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．
（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可；
（3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：❑√3×❑√2=❑√6
（2）解：❑√8×❑√32
=2❑√2×4❑√2
=16
（3）解：❑√20×❑√50
=2❑√5×5❑√2=10❑√10
2．计算：
❑√2 √1 √1
(1) ×❑√8． (2)❑√24×4❑ ． (3)2❑√3×(−3❑√15)×❑ ．
2 2 5
【答案】(1)2
(2)8❑√3
(3)−18
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法法则
❑√a⋅❑√b=❑√ab（a≥0,b≥0）是解题的关键．
❑√2
（1）本题需要计算 ×❑√8，根据二次根式乘法法则，将两个二次根式相乘后再化简
2
求值．
√1
（2）本题要计算❑√24×4❑ ，利用二次根式乘法法则，先将系数与根式分别相乘，再
2
化简．
√1
（3）本题计算2❑√3×(−3❑√15)×❑ ，依据二次根式乘法法则，把系数和根式部分分
5
别相乘后化简求值．
❑√2
【详解】（1）原式= ×2❑√2
2
1
= ×2×❑√2×2
2
=2．
√1
（2）原式=2❑√6×4❑
2
√ 1
=2×4×❑6×
2
=8❑√3．
√ 1
（3）原式=−6×❑3×15×
5
=−6×3
=−18．
3．计算：3 ( 1 )
(1) ❑√20×(−❑√15)× − ❑√48 ； (2)
2 3
2 ( 3 √a)
❑√ab3· − ❑√a3b·3❑ (a>0，b>0)．
b 2 b
【答案】(1)60
(2)−9a2❑√ab
【分析】本题考查二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别将系数相乘，根号下的数相乘，再开方，最后再相乘即可；
（2）将二次根式的系数和被开方数分别相乘，然后开方，再相乘即可．
3 ( 1)
【详解】（1）解：原式= ×(−1)× − ×❑√20×15×48
2 3
1
= ×120
2
=60；
（2）解：原式= 2 × ( − 3) ·3·❑ √ ab3·a3b· a
b 2 b
9
=− ·❑√a5b3
b
=−9a2❑√ab
【题型2 二次根式的除法运算】
1．计算：
(1)❑√75÷❑√15 (2)❑√80÷❑√2 (3)❑√108÷3❑√6
√ 1 √ 1 ❑√9 √54 ( √ 4)
(4)❑3 ÷❑1 (5) ÷❑ ÷❑√6 (6)4❑√5÷ −5❑1
3 2 ❑√12 12 5
【答案】(1)❑√5
(2)2❑√10
(3)❑√2
2❑√5
(4)
31
(5)
6
4
(6)−
3
【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关
键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（3）化为❑√108÷❑√54，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
√10 √3
（4）化为❑ ÷❑ ，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
3 2
（5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解；
（6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解．
【详解】（1）解：❑√75÷❑√15 =❑√5
（2）解：❑√80÷❑√2 =❑√40=2❑√10
（3）解：❑√108÷3❑√6
=❑√108÷❑√54
√108
=❑
54
=❑√2
√ 1 √ 1
（4）解：❑3 ÷❑1
3 2
√10 √3
=❑ ÷❑
3 2
√10 2
=❑ ×
3 3
√20
=❑
9
2❑√5
=
3
❑√9 √54
（5）解： ÷❑ ÷❑√6
❑√12 12
√ 9 54
=❑ ÷ ÷6
12 12√ 9 12 1
=❑ × ×
12 54 6
√ 1
=❑
36
1
=
6
( √ 4)
（6）解：4❑√5÷ −5❑1
5
4❑√5
=−
√9
5❑
5
4 ❑√5
=−
5 3
❑√5
4 5
=− ×
5 3
4
=−
3
2．计算
√27 3 √ 2
(1)❑√12÷❑ ； (2)3❑√20÷ ❑2 ．
2 2 3
2❑√2
【答案】(1)
3
(2)❑√30
【分析】本题考查了二次根式运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式；
（2）利用二次根式的除法法则进行计算，结果化为最简二次根式．
√27
【详解】（1）解：❑√12÷❑
2
√ 27
=❑12÷
2
√ 2
=❑12×
27
√8
=❑
92❑√2
= ；
3
3 √ 2
（2）解：3❑√20÷ ❑2
2 3
( 3) √ 8
= 3÷ ×❑20÷
2 3
√ 3
=2❑20×
8
√30
=2❑
4
❑√30
=2×
2
=❑√30．
3．计算：
❑√32 ❑√7
(1) ． (2)❑√1.6． (3) ．
❑√2 ❑√6a
(4)❑√3a． (5) √ 1 √ 2． (6)1 √b 1 √ b ．
−❑4 ÷❑2 ❑ ÷ ❑
❑√8a 2 3 a a b a3
【答案】(1)4
2
(2) ❑√10
5
❑√42a
(3)
6a
❑√6
(4)
4
3❑√3
(5)−
4
b
(6) |a)
a
【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）进行二次根式的除法运算即可；
（2）先将小数化为分数，然后将二次根式化为最简即可；
（3）进行二次根式的除法运算即可；
（4）直接进行二次根式的除法运算，然后将二次根式化为最简即可；（5）将带分数化为假分数，然后进行二次根式的除法运算，继而化简二次根式可得出
答案；
（6）直接进行二次根式的除法运算，将所得二次根式化为最简．
【详解】（1）解：❑√32 √32 ；
=❑ =❑√16=4
❑√2 2
√16 4 2
（2）解：❑√1.6=❑ = ❑√10= ❑√10；
10 10 5
（3）解： ❑√7 √ 7 √ 7·6a ❑√42a；
=❑ =❑ =
❑√6a 6a 6a·6a 6a
（4）解：❑√3a √3a √3 ❑√3 ❑√6；
=❑ =❑ = =
❑√8a 8a 8 2❑√2 4
√ 1 √ 2 √9 3 3❑√3
（5）解：−❑4 ÷❑2 =−❑ × =− ；
2 3 2 8 4
（6）解：1
❑
√b
÷
1
❑
√ b
=
b
❑
√b
⋅
a3
=
b
❑√a2=
b
|a)
．
a a b a3 a a b a a
4．计算：
【题型3 二次根式的乘除法运算】
1．计算：
(1)√ 2 ÷3 √ 3 (2) ÷2 (3)2❑√x2y (4) a+2 ．
❑ ❑1 ❑√12x ❑√y
45 2 5 5 3❑√xy 2❑√a+2
1
【答案】(1)
9
5❑√3xy
(2)
y
2❑√x
(3)
3
❑√a+2
(4)
2
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则计算即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可；（4）利用二次根式的性质化简即可．
√ 2 √9 8
【详解】（1）解：原式=❑ ÷❑ ×
45 4 5
√ 2 √18
=❑ ÷❑
45 5
√ 2 √ 5
=❑ ×❑
45 18
√ 2 5
=❑ ×
45 18
1
= ；
9
5 √1
（2）原式=2❑√3x× ❑
2 y
5 ❑√y
=2❑√3x× ×
2 y
5❑√3xy
= ；
y
（3）2❑√x2y
3❑√xy
2x❑√y
=
3❑√xy
2x
=
3❑√x
2❑√x
= ；
3
a+2
（4）
2❑√a+2
(❑√a+2) 2
=
2❑√a+2
❑√a+2
= ．
2
【点睛】题目主要考查二次根式乘除法运算及二次根式的化简，熟练掌握运算法则是
解题关键．
2．计算：(1) ❑√125； (2)4 ÷2 ． (3)3❑√ab3 (4) √a3 1 √a．
❑√5 ❑√10 2❑√6a7÷4❑ ÷ ❑
❑√5 2❑√ab2 3 2 2
【答案】(1)5
(2)❑√2
3❑√b
(3)
2
(4)6a❑√a
【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可；
（2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可；
（3）根据二次根式的性质直接化简即可；
（4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可．
❑√125
【详解】（1）解：
❑√5
√125
=❑
5
=❑√25
＝5；
（2）4❑√5÷2❑√10
4❑√5
=
2❑√10
√1
=2❑
2
=❑√2
3b❑√ab
（3）原式=
2b❑√a
3❑√b
= ；
2
（4）原式 1 √ 3 2
=2× ×2❑6a7· ·
4 a3 a
=❑√36a3
=6a❑√a．
【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．3．计算：
❑√32 ❑√3
(1)❑√32÷❑√4÷❑√2． (2)❑√12× ÷ ．
3 3
【答案】(1)2
(2)8❑√2
√a
【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则❑√a÷❑√b=❑ (a≥0，b>0)，逐步化
b
简计算；
（2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算．
【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算：
原式=❑√32÷4÷❑√2
=❑√8÷❑√2
=❑√8÷2
=❑√4
=2．
❑√32 3
（2）解：原式=❑√12× ×
3 ❑√3
❑√32
=❑√12×
❑√3
√12×32
=❑
3
=❑√4×32
=❑√128
=8❑√2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用❑√a·❑√b=❑√ab、
√a
❑√a÷❑√b=❑ (a≥0，b>0)的性质，将式子统一化简后计算．
b
4．计算：
(1) (−8❑√35)× ( − 1 ❑ √ 1 3)． (2)2 ❑√ab3 ⋅ ( − 3 ❑√ab )（ a≥0 ， b≥0 ）．
4 7 3 4
√ 1 ❑√2a
(3)❑√75×❑√32÷❑√12． (4)a❑√8a2÷a2❑ ⋅ ．
2a a
【答案】(1)10❑√2ab2
(2)−
2
(3)10❑√2
(4)4❑√2
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化
简；
（2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算；
（3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算；
（4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简．
【详解】（1）解： 原式 ( 1) √ 3
=(−8)× − ×❑35×1
4 7
=2×5❑√2
=10❑√2．
（2）解：原式 = 2 × ( − 3) ×❑√ab3×ab
3 4
1
=− ab2．
2
（3）解：原式=5❑√3·4❑√2÷2❑√3
=(5×4÷2)×(❑√3×❑√2÷❑√3)
=(5×4÷2)×❑√2
=10❑√2．
（4）解：先化简各根式：
√ 1 ❑√2a
❑√8a2=2a❑√2(a>0)，❑ = ，
2a 2a
❑√2a ❑√2a
原式=2❑√2a2÷a2
⋅
2a a
2a ❑√2a
=2❑√2a2
⋅ ⋅
a2❑√2a a
❑√2a ❑√2a
=2❑√2a2
⋅ ⋅
a2 a
=4❑√2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算．
5．计算：
(1)√ 2 √ 1 √ 2． (2) √a ( 2 √2) ．
❑1 ÷❑2 ×❑1 4❑√4a2÷2❑ ⋅ − ❑ (a>0)
3 3 5 2 3 a
【答案】(1)1
16
(2)−
3
【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺
序和根式的约分是解题的关键．
（1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简；
（2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可．
√5 √7 √7
解：（1）原式=❑ ÷❑ ×❑
3 3 5
❑√5 ❑√3 ❑√7
= × ×
❑√3 ❑√7 ❑√5
=1．
（2）原式 =− ( 4× 1 × 2) ×❑ √ 4a2 ⋅ 2 ⋅ 2
2 3 a a
4
=− ×❑√16
3
16
=− ．
3
【题型4 最简二次根式的判定】
1．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
√3
A．❑√8 B．❑ C．❑√21 D．❑√27
2
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
最简二次根式的被开方数不含能开尽方的因数或因式，且不含分母，据此逐项判断即
可．
【详解】解：选项A、❑√8=❑√4×2，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；√3
选项B、❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
2
选项C、❑√21，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式；
选项D、 ❑√27=❑√9×3，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：C．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
√x
A．❑√0.12 B．❑√132−122 C．❑√mn(a2+b2)(m≠n) D．❑
2
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能
开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的条件进行判断即可．
√ 3 ❑√3
【详解】解：A、❑√0.12=❑ = ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
25 5
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
❑√132−122=❑√52=5
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
❑√mn(a2+b2)(m≠n)
√x ❑√2x
D、❑ = ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
2 2
故选：C
3．若整数x能使二次根式❑√14−x为最简二次根式，则x的值可以是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式．将各个选项x的值代入二次根式验证即可．
【详解】解：A：当x=2时，❑√14−x=❑√12=2❑√3，不符合题意；
B：当x=5时，❑√14−x=❑√9=3，不符合题意；
C：当x=6时，❑√14−x=❑√8=2❑√2，不符合题意；
D：当x=8时，❑√14−x=❑√6，符合题意；
故选：D．
√1 1
4．在二次根式❑√45，❑ ，❑√2，❑√21， ，❑√1.5中，是最简二次根式的（ ）
3 ❑√3−1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽
方的因数或因式，进而分别判断得出答案．
√1 ❑√3
【详解】解：❑√45=3❑√5，不是最简二次根式；❑ = ，不是最简二次根式；❑√2
3 3
1 ❑√3+1
是最简二次根式；❑√21是最简二次根式； = ，不是最简二次根式；
❑√3−1 2
√3 ❑√6
❑√1.5=❑ = ，不是最简二次根式．
2 2
∴是最简二次根式的有2个，
故选：A．
【题型5 化为最简的二次根式】
1．化简： ．
❑√25ab2(a≥0，b>0)=
【答案】5b❑√a
【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为
各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 b>0 简化表达式．
【详解】解：因为 ，所以 ，
b>0 ❑√b2=b
则 ，
❑√25ab2 = ❑√25 × ❑√a × ❑√b2 = 5 × ❑√a × b = 5b❑√a
故答案为 5b❑√a．
2．将❑√1.2化为最简二次根式为 ．
❑√30
【答案】
5
【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不
含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式．
6 √6
【详解】解：先把1.2化为分数：1.2= ，则❑√1.2=❑ ．
5 5
根据二次根式的性质，将分母有理化：√6 ❑√6 ❑√6×❑√5 ❑√30．
❑ = = =
5 ❑√5 ❑√5×❑√5 5
❑√30
故答案为 ．
5
【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分
母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式．
3．化简：
√27
（1）❑ = ．
49
√−144
（2）❑ = ．
−64
√ 15
（3）❑1 = ．
49
3❑√3 3 8
【答案】
7 2 7
【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二
次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽
方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质√a ❑√a ，将其转化为分数形式的二次根式，
❑ = (a≥0，b>0)
b ❑√b
即可化简；
（2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质√a ❑√a ，
❑ = (a≥0，b>0)
b ❑√b
将其转化为分数形式的二次根式，即可化简；
（3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质√a ❑√a ，将
❑ = (a≥0，b>0)
b ❑√b
其转化为分数形式的二次根式，即可化简．
√27 ❑√27
【详解】解：（1）∵ ❑ = ，而 ❑√27=❑√9×3=3❑√3，❑√49=7，
49 ❑√49
3❑√3
∴原式 = .
73❑√3
故答案为： .
7
−144 144
（2）∵ = ，
−64 64
√−144 √144 ❑√144 12 3.
∴❑ =❑ = = =
−64 64 ❑√64 8 2
3
故答案为： ．
2
15 49 15 64
（3）∵1 = + = ，
49 49 49 49
√ 15 √64 ❑√64 8.
∴❑1 =❑ = =
49 49 ❑√49 7
8
故答案为： ．
7
4．将二次根式 化为最简二次根式，结果是 ．
❑√33−5×(−5)
【答案】2❑√13
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解： ，
❑√33−5×(−5)=❑√52=2❑√13
故答案为：2❑√13．
【题型6 已知最简二次根式求参数】
1．若A=❑√12×❑√n，其中❑√n为最简二次根式，A为有理数，n= ．
【答案】3
【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化
简等知识，先得到❑√12=2❑√3，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最
简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键．
【详解】解：∵❑√12=2❑√3，
∴若A=❑√12×❑√n，其中❑√n为最简二次根式，A为有理数，则n=3，
故答案为：3．
2．若❑√24与最简二次根式❑√2t−1可以合并，则t的值为 ．7
【答案】
2
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义和二次根式的化简，先把❑√24化简成最
简的二次根式，即可得到关于t的一元一次方程，求出t即可．
【详解】解：化简：❑√24=2❑√6，
∵❑√24与最简二次根式❑√2t−1可以合并，
∴2t−1=6，
7
解得：t=
2
3．若n是正整数，❑√2n是最简二次根式，则n可以是 （写出一种情况即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能
开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的概念解答即可．
【详解】解：当n=1时，❑√2n=❑√2，
❑√2是最简二次根式，符合题意，
故答案为：1（答案不唯一）．
4．若最简二次根式❑√7a−1与❑√6a+1可以合并，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的
关键．根据题意得出最简二次根式❑√7a−1与❑√6a+1是同类二次根式，由此得出
7a−1=6a+1，即可求出a的值．
【详解】解：依题意，7a−1=6a+1，
解得：a=2，
且7×2−1=13>0，6×2+1=13>0符合题意，
故答案为：2．
5．若❑√8x为整数，则x的最小正整数值为 ．
【答案】2
【分析】对被开方数进行分解，得8=4×2=22×2，要使❑√8x为整，则x最小要保证
被开方式能开尽，得出答案．
【详解】解：∵ 8=4×2=22×2∴❑√8x=❑√22×2x
∴x的最小正整数值是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键．
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√0.3 B．❑√6 C．❑ D．❑√12
2
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，被开方数不含分母且不含能开得尽方
的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可．
√ 3
【详解】解：A．❑√0.3=❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
10
B．❑√6是最简二次根式；
√1 ❑√2
C．❑ = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
2 2
D．❑√12=❑√4×3=2❑√3，被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．
❑√(−6) 2=−6
B．
❑√25=±5
C．
(❑√−4) 2=−4
D．
(−❑√3) 2=3
【答案】D
【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方．
根据运算性质，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：A． ，不符合题意；
❑√(−6) 2=❑√36=6≠−6
B．❑√25=5≠±5， 不符合题意；
C．在实数范围内，❑√−4无意义，不符合题意；
D．
(−❑√3) 2=(−1) 2×(❑√3) 2=1×3=3
，符合题意．故选：D．
3．计算：3 ( 1 )＝ ．
❑√20×(−❑√15)× − ❑√48
2 3
【答案】60
【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式乘法法则，先确定符号为正，再计算数值部分．
3 1
【详解】原式 = ❑√20×(−❑√15)×(− ❑√48)
2 3
3 1
= ×❑√20×❑√15× ❑√48
2 3
(3 1)
= × ×❑√20×❑√15×❑√48
2 3
1
= ×❑√20×15×48
2
1
= ×❑√14400
2
1
= ×120
2
=60．
故答案为：60．
4．计算 3 √1的结果为 ．
÷2❑
2❑√3 8
❑√6
【答案】
2
【分析】先化简除式中的根式，再转化为乘法，最后有理化分母；
本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键．
【详解】解： 3 √1
÷2❑
2❑√3 8
∵ √1 √1 1 2 1
2❑ =2×❑ =2× = =
8 8 ❑√8 2❑√2 ❑√2
3 1 3 3❑√2 3❑√2×❑√3 3❑√6 3❑√6 ❑√6
∴原式= ÷ = ×❑√2= = = = =
2❑√3 ❑√2 2❑√3 2❑√3 2❑√3×❑√3 2×3 6 2❑√6
故答案为： ．
2
5．计算：
√ 8 √ 1
(1)−5❑ ×❑1 ×3❑√54．
27 4
(2)2 ❑√ab2 ⋅ ( − 2 ❑√a2b ) ÷ 1 ❑ √b．
b 3 3 a
【答案】(1)−30❑√5
(2)−4a2
【分析】（1）先将系数部分相乘，再将被开方数部分相乘，合并后化简二次根式得到
结果；
（2）先计算系数的乘除，再将被开方数部分进行乘除运算，化简后得到结果．
√ 8 5
【详解】（1）解：原式=−5×3×❑ × ×54
27 4
=−15×❑√20
=−30❑√5．
（2）解：由题意得：a>0，b>0，
2 2 1 √ b
原式=[ ·(− )÷ ]·❑(ab²·a²b÷ )
b 3 3 a
= ( − 2 × 2 ×3 ) ⋅❑ √ ab2 ⋅a2b⋅ a
b 3 b
4
=− ❑√a4b2
b
4
=− ·a²b
b
=−4a2．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，掌握二次根式乘除时，系数与系数运算、
被开方数与被开方数运算，再化简结果是解题的关键．
6．计算：2 ( 2 ) 1 ．
❑√32÷ − ❑√6 × ❑√24
5 3 6
4❑√2
【答案】−
5【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的乘除混合运算，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
先根据二次根式的性质化简，再结合二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作
答．
【详解】解：2 ( 2 ) 1
❑√32÷ − ❑√6 × ❑√24
5 3 6
2 ( 2 ) 1
= ×4❑√2÷ − ❑√6 × ×2❑√6
5 3 6
8❑√2 ( 3 ) ❑√6
= × − ×
5 2❑√6 3
4❑√2
=−
5
7．计算：
(1)( √1 ) ；
❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
(2) (√1 )．
(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
8
8
【答案】(1) ；
3
(2)27+12❑√3．
【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式除法，二次根式乘法，平方差公式，熟
练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式性质，二次根式除法法则化简，然后合并即可；
（2）通过二次根式性质，平方差公式，二次根式乘法法则进行运算即可．
【详解】（1）解：( √1 )
❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3
3
√1
=❑√12÷2❑√3−2❑ ÷2❑√3+❑√48÷2❑√3
3
√1
=2❑√3÷2❑√3−❑ ÷3+❑√48÷12
31
=1− +2
3
8
= ；
3
（2）解： (√1 )
(4❑√3−3❑√2)(4❑√3+3❑√2)−6❑√2 ❑ −❑√6
8
=(4❑√3) 2 −(3❑√2) 2 −6❑ √ 2× 1 +6❑√2×6
8
1
=48−18−6× +6×2❑√3
2
=48−18−3+12❑√3
=27+12❑√3．
