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专题 02 有理数的运算
【思维导图】
◎题型1：有理数的加法
（1）定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
（2）法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
3）一个数同0相加，仍得这个数．
备注：利用法则进行加法运算的步骤：①判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
②确定和的符号(是“+”还是“－”)．
③求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
（3）有理数加法的运算律
1）加法交换律：a+b=b+a
2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
例．（2022·江苏南京·二模）计算 的结果是（ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
变式1．（2022·河北唐山·七年级期末）如图在数轴上有M、N两点，则两点表示的数字之和不可能（
）
A．2 B．－4 C．－3.45 D．－7
变式2．（2022·重庆实验外国语学校七年级期末）为了欢庆2022年春节，汪老师购买了一条18米长的彩
带来装饰房间，用剪刀剪了a次，把彩带剪成了一段5米长、一段7米长和若干段相同长度（长度为整
数）的彩带，则a的所有可能取值的和为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
变式3．（2019·全国·七年级课时练习）下列各式中正确使用了加法运算律的是( )
A．(＋5)＋(－7)＋(－5)＝(＋5)＋(－5)＋(－7)
B． ＋ ＝ ＋
C．(－1)＋(－2)＋(＋3)＝(－3)＋(＋l)＋(－2)
D．(－1.5)＋(＋2.5)＝(－2.5)＋(＋1.5)
◎题型2：有理数的减法
（1）定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？
减法是加法的逆运算．
备注：1）任意两个数都可以进行减法运算．
2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
aba(b)
减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：
（2）法则：例．（2022·浙江杭州·九年级期末）计算结果等于2022的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2020·河南·开封市第二十七中学七年级期中）点A距原点2个单位，将点A向左移4个单位长度到
B，点B表示的数是 （ ）
A．－2 B．－6 C．2或－6 D．－2或－6
变式2．（2022·河南平顶山·七年级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2021·广西北海·七年级期中）式子 ＋……＋2019－2020＋2021的结果不可能是
（ ）
A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数
◎题型3：有理数的乘法
（1）.有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
②任何数同0相乘，都得0．
备注：① 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
②当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写
成-2×-3．
（2） 有理数的乘法运算律：
①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc
＝(ab)c＝a(bc)．
③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即：a(b+c)＝ab+ac．
备注：
①在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
②乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几
个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相
乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
③运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
例．（2022·山东泰安·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列计算结果是负数的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2021·安徽宿州·七年级期末）某客运列车行驶于北京、宿州、上海这 个城市之间，火车站应准
备（ ）种不同的车票．
A． B． C． D．
变式3．（2021·全国·七年级专题练习）一部手机原价2400元，先提价 ，再降价 出售．现价和原价相
比，结论是（ ）
A．现价高 B．原价高 C．价格相同 D．无法比较
◎题型4：有理数的除法
有理数除法法则：
1
aba (b0)
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 b .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
备注：①一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
②因为0没有倒数，所以0不能当除数．
③法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
例．（2022·内蒙古赤峰·七年级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021·上海·青教院附中期中）下列各数中，既能被2整除又能被5整除的是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
变式2．（2021·山东泰安·期中）计算 的结果是（ ）A．－18 B．2 C．18 D．－2
变式3．（2022·福建三明·七年级期末）“干支纪年法”是中国历法上使用的纪年方法，“甲，乙，丙，丁，
戊，己，庚，辛，壬，癸”被称为“十天干”，“子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戊，亥”
被称为“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，其相
配顺序为：甲子，乙⋯癸酉，甲戊，乙亥，…，癸亥；甲子…，这样60年一个循环，周而复始，此为干支
纪年法．十三届全国人大四次会议审查的《国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要
（草案）》提出，展望2035年，中国将基本实现社会主义现代化．已知1901年是“干支纪年法”中的辛
丑年，那么2035年是“干支纪年法”中的（）
A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．丁巳年
◎题型5：倒数
乘积是1的两个数互为倒数．
1 1
备注：①“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是 2 ，-2和 2 是互相依存的；
②0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
③倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
④互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
例．（2022·全国·七年级）-3的倒数为（ ）
A． B． C．-3 D．3
变式1．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学模拟预测）如果一个负数大于它的倒数，那么，这个负数是（
）
A．真负分数 B．分数 C．整数 D．假分数
变式2．（2022·山东·日照市新营中学三模）若 ，则x的倒数等于（ ）
A． B． C．3 D．-3
变式3．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）下列各数中，2022的倒数是（ ）
A． B．－2022 C． D．
◎题型6：有理数的乘方（1）乘方的概念
n
求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
（2）乘方的性质
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。
例．（2021·辽宁大连·七年级期末） 表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2020·广西·南丹县八圩瑶族乡初级中学七年级阶段练习）对乘积 记法正确
的是( )
A．-34 B．(-3)4 C．-(+3)4 D．-(-3)4
变式2．（2021·北京师范大学亚太实验学校七年级期中）若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．1 C．1 D．5
变式3．（2022·云南大理·一模）计算3的正整数次幂： ， ， ， ， ，
， ， …观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得 的个位数字是
（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
◎题型7：科学计数法
n
把一个大于 10 的数表示成a×10 的形式（其中1≥a≥10 ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。
例．（2022·广西·贺州市平桂区教育科学研究所七年级期中）下列各数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022年湖南省永州市中考数学真题）水州市大力发展“绿色养殖”，单生猪养殖2021年共出栏
7791000头，同比增长29.33%，成为湖南省生猪产业发展高地和标杆、将数7791000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·福建泉州·二模）据央视军事报道，临近春节，神舟十三号航天员乘组从400km外的太空
向全国人民发来祝福，则400km用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·福建三明·二模）中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积
约为750000千米2．将750000用科学记数法表示为( )
A．75×104 B．7.5×104 C．75×105 D．7.5×105
◎题型8：新定义题型
正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合
运算算式进行计算.
例．（2021·天津市北仓第二中学七年级期中）观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（
）
A．0 B．3 C．4 D．5
变式1．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）如图是一个数值转换机，例如输入a＝5，第一步52＝25，第
二步25﹣4×5＝5，第三步5×（﹣3），输出结果为﹣15．若输入a＝﹣5，则输出结果应为（ ）
A．15 B．135 C．-135 D．15
变式2．（2022·全国·七年级单元测试）如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 15，则第 1 次输
出的结果为 18，第 2 次输出的结果为 9，…， 第 2021 次输出的结果为（ ）A．3 B．4 C．6 D．9
变式3．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为25的是
（ ）
A．x＝7，y＝2 B．x＝6，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝6 D．x＝4，y＝1
◎题型9：近似数
例．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期中）在近似数0.2017中，共有（ ）有效数字．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
变式1．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）某市参加毕业考试的学生人数约为8.63× 人．关于这
里的近似数8.63× ，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字； B．精确到百位，有3个有效数字；
C．精确到百分位，有5个有效数字； D．精确到百位，有5个有效数字．
变式2．（2021·河北石家庄·七年级期中）近似数4.50所示的数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2022·全国·七年级）一个无理数为x，四舍五入后 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
