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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 20 累加、累乘、构造法求数列通项公式（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
二、累乘法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
三、构造法
1.第一种形式：形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为
首项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为累加法便可求出
2.第二种形式：形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首
项，以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通
项整理可得法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为第一种形式，求出 ，再用累加法便
可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化
为第一种形式便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型第一种形式的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为累加法，求出 之后得 ．
二、题型精讲精练
【典例1】在数列 中， ， .求 的通项公式.
【分析】利用累加法以及等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】因为 ，
所以当 时，
，
又 适合上式，所以 .
【典例2】已知数列{a }，a =1，(n＋1)a ＝na ，求通项公式a .
n 1 n+1 n n
【答案】a ＝
n
【分析】由题得 ＝ ，再利用累乘法求解.
【详解】∵(n＋1)a ＝na ，，∴ ＝ .
n+1 n
∴ ＝ (n≥2)．
以上各式相乘，得 .∵a ＝ (n≥2)
n
又a ＝1满足上式，∴a ＝ (n∈N*)．
1 n
【典例3】已知数列 中， ，且对任意 ，都有 ．求数列 的通项公式；【分析】(1)构造等比数列求通项；
【详解】（1）由 得
又 ，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以
.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【题型训练2-刷模拟】1 . 累加法
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．30 B．31 C．22 D．23
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项为( )
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足 且 ，则数列 的第100项为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 是数列 的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：
，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，且 ，则
（ ）
A．6065 B．6064 C．4044 D．4043
8．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ， ，则
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．10.5 B．10.6 C．10.4 D．10.7
二、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，则数列 中最大项的数值为
．
11．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，则 = .
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ，且对任意的 都有 ，则数列
的前100项的和为 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的各项均不为零，且满足 ， （ ，
），则 的通项公式 ．
14．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， 且 ，则 .
三、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 的首项为 ，公差为2.数列 满足(1)求 取得最小值时 的值；
(2)若 ，证明： .
16．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在数列 中， ， .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
17．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们刺绣最
简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方
形的摆放规律相同)，设第 个图形包含 个小正方形.
(1)求出 ；
(2)归纳出 与 的关系式，并根据你得到的关系式求 的表达式；
(3)求证： .19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）设各项都为正数的数列 的前n项和为 ，且 ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设函数 ，且 ，求数列 的前n项和 ．
20．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的任意 与 项之间，都插入 个相同的数 ，组成数列 ，记数列 的
前 项的和为 ，求 的值.
2 . 累乘法
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则数列 的通项公式是
（ ）
A． B． C． D．n
3．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， （ 为正整数），则 的值为（ ）A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）若数列 满足 且
，则满足不等式 的最大正整数 为（ ）
A．20 B．19 C．21 D．22
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为
．
7．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中，若 ， ，则 的通项公式为 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足： ， ，
则通项 ．
三、解答题
9．（2023·浙江金华·校考三模）已知等差数列 的各项均为正数， ， .
(1)求 的前 项和 ；
(2)若数列 满足 ， ，求 的通项公式.
10．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 .
11．（2023春·山西吕梁·高二统考阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)若 是等比数列，且 成等差数列，求 的通项公式；
(2)若 是公差为2的等差数列，证明： ．
12．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)求数列 的前 项积．
3 . 构造法
一、单选题
1．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）在数列 中， ，且 ，则 的通
项为（ ）
A． B．
C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中, , ,则（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的前10项
和 （ ）
A． B． C． D．2
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．2023
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
.
8．（2023·全国·高三对口高考）数列 中， ， ，则 ．9．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}满足 ， ，则数列{an}的通项公式为
.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，若 ，则正整数
的值为 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项
公式 ．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则 的通
项公式是 ．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ．
三、解答题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，求 ．
15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知数列 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ， .(1)求证： ；
(2)令 ，写出 、 、 、 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 .
17．（2023春·云南昭通·高三校考阶段练习）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列 ， ，使得 成立．
19．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
20．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
