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专题 03 反比例函数几何图形综合
例1．（等腰三角形）已知反比例函数 （m为常数）的图象在第一、三象限．
(1)求m的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过 ▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．
①求出函数解析式；
②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，
则满足条件的点P的个数为______个．
例2．（直角三角形）如图，在平面直角坐标系中，直线 与坐标轴交于点 与 ，点
是 轴上一点，连接 ，且 ， 是线段 上一点，反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值．
(2)求线段 所在直线的函数表达式．(3)延长 ，与反比例函数 的图象在第三象限交于点 ， 是 轴上的一点，当以 、 、 三点
构成的三角形为直角三角形时，直接写出 点的坐标．
例3．（平行四边形）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数 的图象过点A．
(1)求k的值．
(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐
标．
(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的
平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
例4．（菱形）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝ （x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点
C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，
(1)试确定反比例函数的关系式；
(2)求点C的坐标；
(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且 AMB的面积为8，求点M的坐标；
②点N是平面直角坐标系中△的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的
坐标，
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正
半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从
点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0 < t <
5）
(1)当t= 时，DC BO；
(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；
(3)在（2）的条件下；
①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四
边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
② 过点C作直线 ⊥x轴，过点B作直线 ⊥y轴，直线 与直线 交于点P，反比例函数 （k>0，
x>0）的图像与直线 、 分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，
若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，已知矩形OABC中，OA＝6，AB＝8，双曲线 （k＞0）与矩形两边AB，BC分
别交于点D，E，且BD＝2AD．(1)求k的值和点E的坐标；
(2)点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存
在，请说明理由．
【变式训练3】如图，抛物线L： （常数 ）与x轴从左到右的交点为B，A，过
线段 的中点M作 轴，交双曲线 （ ， ）于点P，且 ．
(1)求k的值．
(2)当t=1时，求 的长，并求直线 与L的对称轴之间的距离．
(3)把L在直线 左侧部分的图像（含与直线 的交点）记为G，用t表示图像G最高点的坐标．
(4)设L与y轴的交点为N，当 时，在x轴上是否存在一点Q，使 与 相似，若存在，求出
Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练4】如图，在平面直角坐标系中，点 ， 分别在反比例函数 和
的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， 是线段 的中点， ， ．(1)求反比例函数 的表达式；
(2)连接 ， ， ，求 的面积；
(3) 是线段 上的一个动点， 是线段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角
三角形？若存在，求所有符合条件点 的坐标；若不存在，请说明理由．
