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2022-2023 学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编
专题 03 有理数的混合运算
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021七上·驻马店期末）若 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数
等于它本身的自然数，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．2021 D．2022
【答案】A
【完整解答】解：∵ 是最大的负整数， 是绝对值最小的有理数， 是倒数等于它本身的自然数，
∴a=-1，b=0，c=1，
∴
=
=1+0+1
=2
故答案为：A.
【思路引导】由题意可得a=-1，b=0，c=1，然后根据有理数的混合运算法则计算即可.
2．（2分）（2021七上·遵化期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【完整解答】解：A． ，不符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】根据含乘方的有理数的混合运算的计算方法求出各选项的结果再判断即可。
3．（2分）（2021七上·拱墅月考）下列计算正确的是（ ）
A． ﹣ ×4＝0×4＝0
B．9÷（﹣8）×（﹣ ）＝9÷1＝9
C．﹣32﹣（﹣2）3＝9﹣8＝1
D．
【答案】D
【完整解答】解：A、原式＝ ﹣ ＝ ，故此选项错误，不符合题意；
B、原式＝9×（﹣ ）×（﹣ ）＝ ，故此选项错误，不符合题意；
C、原式＝﹣9﹣（﹣8）＝﹣9+8＝﹣1，故此选项错误，不符合题意；
D、原式＝ ，故此选项错正确，符合题意.
故答案为：D.
【思路引导】对于A中的式子，先计算乘法，再计算减法，据此判断；对于B中的式子，首先将除法化为乘法，然后利用有理数的乘法法则进行计算即可判断；对于C中的式子，根据有理数的乘方法则可得原式
=-9+8，据此判断；对于D中的式子，首先计算出括号内的值，然后利用有理数的除法法则计算出结果，
据此判断.
4．（2分）（2021七上·秀洲月考）对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算：a※b＝a2﹣b2+1，例如
3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）
A．﹣40 B．﹣32 C．18 D．10
【答案】D
【完整解答】解：（-5）※4＝（﹣5）2﹣42+1＝10.
故答案为：D.
【思路引导】根据定义的新运算可得(-5)※4＝(-5)2-42+1，然后结合有理数的混合运算法则进行计算.
5．（2分）（2021七上·达州期中）若a=-3×42，b=（-3×4）2，c=-（3×4）2，则a，b，c的大小关系正确的
是（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【答案】A
【完整解答】解：∵a=-3×42=-48，b=（-3×4）2=144，c=-（3×4）2=-144，
-144＜-48＜144，
∴b＞a＞c.
故答案为：A.
【思路引导】根据有理数的乘方、乘法法则分别计算出a、b、c的值，然后进行比较即可.
6．（2分）（2020七上·运城期中）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0
和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：
1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（ ）
A．101 B．110 C．111 D．1101
【答案】C
【完整解答】解：∵7=4+2+1，∴1×22+1×21+1×20=7，∴十进制数7换算成二进制数应为111．
故答案为：C．
【思路引导】首先7=4+2+1，由此即可把7变为1×22+1×21+1×20=7，从而得出十进制数7换算成二进制数
的结果.
7．（2分）（2019七上·乌鲁木齐月考）为了求1+2+22+23+…+22016的值,可令S=1+2+22+23+…+22016,则
2S=2+22+23+24+…+22017,因此2S-S=22017-1,所以1+2+22+23+…+22016=22017-1. 仿照以上推理计算出
1+5+52+53+…+52016的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52016，
则5S＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017，
∴4S＝52017-1，
则S＝ ，
故答案为：D.
【思路引导】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52016①，两边同乘以5可得5S＝5＋52＋53＋…＋52014＋52017②，利
用②-①可得4S＝52017-1，据此求出S即可.
8．（2分）阅读材料：求值：1+2+22+23+24++22013.
解：设S=1+2+22+23+24+…+22013.将等式两边同时乘以2，得
2S=2+22+23+24+…+22013+22014
将下式减去上式，得2S﹣S=22014﹣1.
即S=1+2+22+23+24++22013=22014﹣1.
请你仿照此法计算1+3+32+33+34+…+32018的值是（ ）
A．32018﹣1 B． C．32019﹣1 D．
【答案】D
【完整解答】设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，得
3S=3+32+33+34+…+32018+32019
将下式减去上式，得3S﹣S=32019﹣1.
即S=1+3+32+33+34++32018= .
故答案为：D.
【思路引导】利用方程的思想设S=1+3+32+33+34+…+22018.将等式两边同时乘以3，可得3S=3+32+33+34+…
+32018+32019，然后将下式减去上式求出S即可.
9．（2分）（2018七上·梁平期末）日常生活中我们使用的数是十进制数 而计算机使用的数是二进制数，即数的进位方法是“逢二进一” 二进制数只使用数字0，1，如二进制数1101记为 ，
通过式子 可以转换为十进制数13，仿照上面的转换方法，将二进制数
转换为十进制数是（ ）
A．4 B．25 C．29 D．33
【答案】C
【完整解答】解： 通过式子 转换为十进制数13，
．
故选：C．
【思路引导】由题意知， 可表示为 ，然后通过计算，所得结果
即为十进制的数．
10．（2分）（2019七上·厦门月考）已知 ，
，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：
∵666>584>-64256
∴
故答案为：D.
【思路引导】根据有理数的混合运算，分别求出 的大小即可.
二．填空题（共9小题，满分18分，每题2分）11．（2分）（2022七上·石阡期末）若 ，则 .
【答案】110
【完整解答】解： ，
， ，
解得： ， ，
.
故答案为：110.
【思路引导】根据绝对值及偶次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0，可得x-3=0、
y+5=0，求出x、y的值，然后代入xy-yx中进行计算.
12．（2分）（2021七上·永州月考）用“⊿”定义运算对于任意有理数m、b都有m⊿b＝ ＋m.例如：
7⊿4＝ ＋7＝23，则（－9）⊿（－2）＝ .
【答案】
【完整解答】解：由题意得： ，
，
，
故答案为： -5 .
【思路引导】根据新定义的计算法则把原式转化为有理数的混合运算，再计算即可.
13．（2分）（2021七上·交城期中）“ ”定义新运算：对于任意的有理数a和b，都有
．例如： ．当m为有理数时，则 等于 ．
【答案】101
【完整解答】解： = = = =101．
故答案为：101．
【思路引导】根据定义新运算转化为有理数的混合运算，再计算即可.14．（2分）（2021七上·平阳期中）计算：(-1)2018-(π-3.14)0+( )-2= .
【答案】4
【完整解答】解：原式=1-1+4
=4.
故答案为：4.
【思路引导】先进行有理数乘方的运算，然后进行有理数加减混合运算，即得结果.
15．（2分）（2021七上·宜兴期中）如果规定这样一种运算法则：a※b＝a2＋2ab，例如：3※（﹣2）＝32
＋2×3×（﹣2）＝﹣3.则（﹣3）※2＝ .
【答案】－3
【完整解答】解：由新定义的运算法则可得：
故答案为：－3.
【思路引导】将a=-3与b=2代入 a※b＝a2＋2ab中得出常规算式，按含乘方的有理数的混合运算法则计算
即可.
16．（2分）（2021七上·绍兴开学考）小明学了计算机运算法则后，编制了一个程序，当他任意输入一个
有理数以后，计算机会计算出这个有理数的平方减去2的差.若他第一次输入 然后将所得结果再次输
入，那么最后得到的结果是 ．
【答案】
【完整解答】解：∵第一次输入
∴第一次输出的数为第二次输入
∴ .
故答案为： .
【思路引导】设这个有理数为x，将x= 代入 进行计算，可求出结果，再将其结果代入 ，
进行计算即可.
17．（1分）（2020七上·蒙山月考）计算：
【答案】-42
【完整解答】解： ；
故答案为 .
【思路引导】根据有理数的除法进行求解即可.
18．（2分）（2021八上·抚顺期末）求 的值，可令 ，
则 ，因此 .仿照以上推理，计算出
的值为 .
【答案】【完整解答】解：令 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
则 .
故答案为：
【思路引导】根据题目所给计算方法，令 ，再两边同时乘以 ，求出
，用 ，求出 的值，进而求出 的值.
19．（2分）如果有4个不同的正整数 、 、 、 满足
，那么 的最大值为 .
【答案】8078
【完整解答】解：∵ 、 、 、 是四个不同的正整数，
∴四个括号内是各不相同的整数，
不妨设 ，
又∵ ，
∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①-4,-1,1,2；②-2,-1,1,4.∵ = ，
∴ =8076- ，
∴当 越小， 越大，
∴当 =-4-1+1+2=-2时，
取最大值=8076-(-2)=8078.
故答案为：8078.
【思路引导】根据 、 、 、 是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结
合乘积为8，进行分类讨论.
三．解答题（共10小题，满分63分）
20．（12分）利用因式分解简便运算.
（1）（3分） ，
（2）（3分）
（3）（3分） ；
（4）（3分） .
【答案】（1）解：
（2）解：原式
（3）解：原式=1000
（4）解：原式
【思路引导】（1）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；
（2）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可；
（3）先提公因式40，再根据完全平方公式进行因式分解，然后进行计算即可；
（4）根据完全平方公式进行因式分解，再进行计算即可.
21．（4分）（2021七上·嘉祥月考）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x=(-2)2，求
的值.
【答案】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x=(-2)2
∴a+b=0，cd=1，x=4
∴原式=
=16+4+1
=21
【思路引导】根据题意得出a+b=0，cd=1，x=4，再代入原式进行计算，即可得出答案.
22．（4分）（2021七上·镇巴期末）已知a的相反数为-2，b的倒数为 ，c的绝对值为2，求
的值.
【答案】解： 的相反数为 ，b的倒数为 ，c的绝对值为2，
， ， ，【思路引导】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数
的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝
对值是它的相反数，0的绝对值是0；根据相反数的定义得， ；由倒数的定义得， ；由绝
对值的性质得， 将它们的值分别代入，即可求出 的值.
23．（5分）（2020七上·卧龙期中）现规定“ ”为一种新的运算：当 时，
；当 时， .试计算： .
【答案】解：原式=
=
=
=5.
【思路引导】根据规定的新运算先计算（-1）△2，再将结果与（-3）进行同样的运算即可求解.
24．（5分）（2020七上·犍为期中）已知a、b互为倒数，c、d互为相反数， ，n是最大的负整
数.求代数式 的值.
【答案】解：由题意得： ，
，
，
，
则 ，
，.
【思路引导】由 a、b互为倒数，c、d互为相反数， ，n是最大的负整数 ，可得 ，
，可求出 ，然后整体代入进行计算即可.
25．（5分）（2020七上·温州月考）若“三角” 表示适算a+b+c，“方框 表
示运算x-y+z+w.
求:表示的速算，并计算结果。
【答案】解：运算：
结果=
【思路引导】利用题目中的新定义列出综合算式，然后根据有理数的运算法则计算即可求出答案.
26．（7分）（2022·武安模拟）有个补充运算符号的游戏：在“ ”中的每个 内，填入＋，
﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．
（1）（1分）计算： （直接写出结果）；
（2）（3分）若 ，请推算 内的符号应是什么；
（3）（3分）请在 内填上×，÷中的一个，使计算更加简便，然后计算．
计算： ．
【答案】（1）0
（2）解：∵1÷2×（-6）□9=6，∴-3□9=6，
∴□内的符号是“+”．
故答案为：+；
（3）解：在 内填上 .
．
【完整解答】解：(1)1+2-（-6）-9
=1+2+6-9
=0．
故答案为：0；
【思路引导】（1）直接计算即可；
（2）根据计算结果确定□内的符号即可；
（3）□填上 ，利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可。
27．（6分）（2021七上·郑州期末）
（1）（3分）计算： .
（2）（3分）化简并求值： ，其中x、y取值的位置如图所
示.【答案】（1）解： ，
，
，
.
（2）解： ，
=3x2-6xy+6xy-y2+x2-2y2
，
=4x2-3y2，
根据数轴得：x=2，y=-1，
∴原式=4×22-3×（-1）2=16-3=13.
【思路引导】（1）首先计算乘方，然后将除法化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）首先根据去括号、合并同类项法则对原式进行化简，由数轴可得x=2，y=-1，然后代入化简后的式子
中计算即可.
28．（6分）（2021七上·温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）（1分）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2）（1分） = ；（用含n的代数式表示）
（3）（3分）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075
【思路引导】（1）根据已知算式的特点，可求出 13+23+33+43+53的值.
（2）根据已知算式得出的规律，可求出结果.
（3）将原式转化为13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)，根据其规律进行计算，可求出结果.
29．（9分）（2021七上·嘉鱼期末）定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，
如 等.类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的下3次方”，一般地，把
个 相除记作 ，读作“ 的下 次方”.
理解：
（1）（1分）直接写出计算结果： .
（2）（1分）关于除方，下列说法正确的有 （把正确的序号都填上）；
① ；
②对于任何正整数 ， ；
③ ；
④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数.
（3）（1分）应用：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？例如： （幂的形式）
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：
； ；
（4）（5分）计算： .
【答案】（1）
（2）①②④
（3） ；
（4）
＝16×（- ）-8+（-8）×2
＝-2-8-16
＝−26.
【完整解答】解：（1）2＝2÷2÷2＝2× × ＝ ，
3
故答案为： ；
（2）当a≠0时，a＝a÷a＝1，因此①正确；
2
对于任何正整数n，1＝1÷1÷1÷…÷1＝1，因此②正确；
n
因为3＝3÷3÷3÷3＝ ，而4＝4÷4÷4＝ ，因此③不正确；
4 3
根据有理数除法的法则可得，④正确；故答案为：①②④；
（3）5＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝5× × × × × ＝（ ）4，
6
同理可得， ＝（−2）7，
故答案为：（ ）4，（−2）7；
【思路引导】（1）根据定义的新运算可得2＝2÷2÷2，然后根据有理数的除法法则进行计算；
3
（2）当a≠0时，a＝a÷a＝1，据此判断①；对于任何正整数n，1＝1÷1÷1÷…÷1＝1，据此判断②；根据定
2 n
义的新运算分别求出3，4 ，据此判断③；根据有理数的除法法则可判断④；
4 3
（3）根据定义的新运算可得5＝5÷5÷5÷5÷5÷5，然后将除法转变为乘法，进而根据乘方的意义即可得出答
6
案，同理可得( )；
9
（4）根据除方及乘方的意义先计算除方及乘方，同时计算绝对值及将除法转变为乘法，再计算乘法，最
后根据有理数的加减法法则算出答案.
