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专题 03 超难考点之角的双中模型与角的动边（五
大考点）
实战训练
一．角的双中模型
1．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝110°，OM平分∠AOC，∠MON＝90°
（1）求∠BOM的度数；
（2）ON是∠BOC的角平分线吗？请说明理由．
试题分析：（1）根据角的平分线的定义求得∠AOM的度数，然后根据邻补角的定义求得
∠BOM的度数；
（2）首先根据∠MON＝90°，∠AOB＝180°，得出∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝
90°，又∠AOM＝∠MOC，根据等角的余角相等即可得到ON是∠BOC的角平分线．答案详解：解：（1）∵OM平分∠AOC，
1
∴∠AOM= ∠AOC＝55°，
2
∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣55°＝125°；
（2）ON是∠BOC的角平分线．理由如下：
∵∠MON＝90°，∠AOB＝180°，
∴∠MOC+∠CON＝90°，∠AOM+∠BON＝90°，
又由（1）可知∠AOM＝∠MOC，
∴∠CON＝∠BON，
即ON是∠BOC的角平分线．
2．如图1，OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，且∠AOB＝76°．
（1）求∠MON的度数；
（2）当OC在∠AOB内另一个位置时，∠MON的值是否发生变化？若不变化，请你在图2中画
图加以说明；
（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当OC在∠AOB外的某一个位置时，你发现的规律还
成立吗？请你在图3中画图加以说明．
试题分析：根据题意（1）根据角平分线定义得出结果；（2）利用角平分线性质证明结论，并
作出图形；（3）需要分类讨论并通过作图得出结论．
答案详解：解：（1）∵OM是∠BOC的角平分线，ON是∠AOC的角平分线，
又∵∠AOB＝76°，
∴2∠COM+2∠CON＝76°，
∴∠MON＝38°．
（2）不发生变化，当C在如图点时，仍满足2∠COM+2∠CON＝76°，∠MON的值不发生变化．
（3）由（1）、（2）发现了OC在∠AOB内任一位置时，∠MON的值不发生变化，当OC在∠AOB外时规律不成立．
3．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．OC是∠AOB内部的一条射线，若∠DOC＝
20°，∠AOE＝25°，则∠BOC的度数为（ ）
A．90° B．100° C．80° D．70°
试题分析：利用角的加减，角平分线的定义求解即可．
答案详解：解：∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．
∴∠BOD＝∠DOA，∠AOE＝∠COE，
∵∠DOC＝20°，∠AOE＝25°，
∴∠DOA＝∠DOC+∠AOE+∠COE＝20°+25°+25°＝70°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠DOC＝∠DOA+∠DOC＝70°+20°＝90°，
所以选：A．
二．角的动边之求度数
4．如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是
∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为
37.5° ；（2）如图3，在（1）的条件下，继续绕着点 O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时，求
∠MON的大小，写出解答过程；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝ 37. 5 或 142. 5 °．
1
试题分析：（1）根据角平分线的定义可以求得∠MON= （∠AOB+∠COD）；
2
（2）根据图示可以求得：∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．然后结合角平分线的定义推知∠CON
1 1
= ∠BOD，∠COM= ∠AOC，即可得到结论；
2 2
（3）根据（1）、（2）的解题思路即可得到结论．
答案详解：解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平
分线，
1 1
∴∠BON= ∠COD＝15°，∠MOB= ∠AOB＝22.5°，
2 2
∴∠MON＝37.5°．
所以答案是：37.5°；
（2）当绕着点O逆时针旋转∠COD，∠BOC＝10°时，∠AOC＝55°，∠BOD＝40°，
1 1
∴∠BON= ∠BOD＝20°，∠MOB= ∠AOC＝27.5°，
2 2
∴∠MON＝37.5°；
（3）∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= （∠AOB+∠BOC），∠CON= ∠BOD﹣∠BOC，
2 2 2
1 1 1 1
∴∠MON= （∠AOB+∠BOC）+ ∠BOD﹣∠BOC= ∠AOB+ （∠BOD﹣∠BOC）
2 2 2 21 1 1 1 1
= ∠AOB+ ∠COD=37.5°， + = （ + ）；
2 2 2 2 2
α β α β
当∠COD在OA、OB的反向延长线形成的角的内部时，
同理，∠MON＝142.5°，
综上所述：∠MON＝37.5°或142.5°，
所以答案是：37.5或142.5．
5．（1）已知OA⊥OC，∠BOC＝30°，且OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，请求出
∠DOE度数．
（2）如果把（1）中“∠BOC＝30°”改成“∠BOC＝x（0°＜x＜90°）”，其他条件都不变，则
∠DOE度数变化吗？请说明理由．
试题分析：（1）根据垂直，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AOB，根据角平分线的
性质，可得∠BOD、∠BOE，根据角的和差，可得答案；
（2）根据垂直，可得∠AOC的度数，根据角的和差，可得∠AOB，根据角平分线的性质，可得
∠BOD、∠BOE，根据角的和差，可得答案．
答案详解：解：（1）OA⊥OC，
∠AOC＝90°，∠BOC＝30°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+30°＝120°
OD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，
1 1
∠BOD= ∠AOB＝60°，∠BOE= ∠BOC＝15°，
2 2
∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝60°﹣15°＝45°；
（2）∠DOE度数不变
OA⊥OC，
∠AOC＝90°，∠BOC＝x，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+x＝90°+xOD、OE分别为∠AOB、∠BOC的角平分线，
1 x 1 x
∠BOD= ∠AOB＝45°+ ，∠BOE= ∠BOC= ，
2 2 2 2
x x
∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝（45°+ ）− =45°．
2 2
6．将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．
（1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；
（2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平
分线．
①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．
试题分析：（1）先根据三角板的度数得到∠DAC的度数，再用180°﹣∠DAC即可；
1 1
（2）①由角平分线的定义可得∠MAE= ∠BAE，∠NAC= ∠CAD，再根据∠MAN＝
2 2
∠MAE+∠NAC+∠CAE，整理可得∠MAN的度数；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，分情况讨论：当∠COE是锐角时，由角平分线的定义可得
1 1
∠MAE= ∠BAE，∠NAC= ∠CAD，再根据∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE，整理可得
2 2
1 1
∠MAN的度数；当∠COE 是钝角时，由角平分线的定义可得∠MAE= ∠BAE，∠NAC=
2 2
∠CAD，再根据∠MAN＝∠MAE+∠NAD﹣∠DAE，得出∠MAN的度数．
答案详解：解：（1）∵∠BAC＝45°，∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝45°﹣30°＝15°，
∴∠FAD＝180°﹣15°＝165°．
（2）①∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，1 1
∴∠MAE= ∠BAE，∠NAC= ∠CAD，
2 2
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC+∠CAE
1
= （∠BAE+∠CAD）+∠CAE
2
1
= （∠BAC+∠DAE﹣2∠CAE）+∠CAE
2
1
= （∠BAC+∠DAE）
2
1
= （45°+30°）
2
＝37.5°；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，分两种情况：
（Ⅰ）如图：
∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
1 1
∴∠MAE= ∠BAE，∠NAC= ∠CAD，
2 2
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE
1
= （∠BAE+∠CAD）﹣∠CAE
2
1
= （∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE
2
1
= （∠BAC+∠DAE）
2
1
= （45°+30°）
2
＝37.5°；
（Ⅱ）如图：∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
1 1
∴∠MAE= ∠BAE，∠NAD= ∠CAD，
2 2
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAD﹣∠DAE
1
= （∠BAE+∠CAD）﹣∠DAE
2
1
= （360°﹣∠BAC+∠DAE）﹣∠CAE
2
1
= （360°﹣45°+30°）﹣30°
2
＝142.5°；
综上所述，∠MAN的值为37.5°或142.5°．
三．角的动边之角的数量关系
7．有公共顶点的两个角，∠AOB＝∠COD，且OE为∠BOC的角平分线．
（1）如图1，请探索∠AOE和∠DOE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，∠AOE和∠DOE是否仍然满足（1）中关系？请说明理由；
（3）若∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，求出∠BOE的度数．
试题分析：（1）根据角平分线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE＝∠COE，进而推断出∠AOE＝∠DOE．
（2）与（1）同理．
（3）根据角的和差关系，由∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，得∠AOB﹣∠AOC＝26°．根据角平分
1
线的定义，由OE为∠BOC的角平分线，得∠BOE= ∠BOC=13°．
2
答案详解：解：（1）∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOE＝∠COD+∠COE．
∴∠AOE＝∠DOE．
（2）∠AOE＝∠DOE，理由如下：
∵OE为∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOE＝∠COD﹣∠COE．
∴∠AOE＝∠DOE．
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝64°，
∴∠AOB﹣∠AOC＝26°．
∵OE为∠BOC的角平分线，
1
∴∠BOE= ∠BOC=13°．
2
8．如图，直线SN与直线WE相交于点O，射线ON表示正北方向，射线OE表示正东方向．已知
射线OB的方向是南偏东m°，射线OC的方向是北偏东n°，且m°的角与n°的角互余
（1）①若m＝50，则射线OC的方向是 北偏东 40 ° ；
②图中与∠BOE互余的角有 ∠ COE 、∠ BO S 与∠BOE互补的角有 ∠ BOW 、∠ CO S ．
（2）若射线OA是∠BON的角平分线，则∠BOS与∠AOC是否存在确定的数量关系？如果存在，
请写出你的结论以及计算过程；如果不存在，请说明理由．试题分析：（1）根据和为90°的两个角互余，可得答案，根据两个角的和为 180°，这两个角互
补，可得答案；
（2）根据OA是∠BON的角分平线，可得∠NOA与∠NOB的关系，根据两角互补，可得∠BON
与∠SOB的关系，再根据角平分线，可得∠NOA与∠NOB的关系，根据两角互余，可得∠NOC
与∠SOB的关系，根据角的和差，可得答案．
答案详解：解：（1）①若m＝50，m+n＝90°，n＝40°，
则射线OC的方向是北偏东40°；
②∠BOS+∠BOE＝90°，图中与∠BOE互余的角有∠BOS，
由m°的角与n°的角互余，∠BOE+COE＝90°，
得图中与∠BOE互余的角有∠COE，
∠BOE+BOW＝180°，∠BOE互补的角有∠BOW．
因为∠NOC＝∠BOE，所以∠NOC的补角∠COS也是∠BOE的补角．
所以答案是：北偏东40°，∠BOS、∠COE，∠BOW，∠COS．
1
（2）∠AOC= ∠SOB．
2
∵射线OA是∠BON的角平分线，
1
∴∠NOA= ∠NOB，
2
∵∠SOB+∠BON＝180°，
∠BON＝180°﹣∠SOB，
1 1
∠NOA= ∠BON＝90°− ∠SOB，
2 2
∵∠NOC+∠SOB＝90°，∠NOC＝90°﹣∠SOB，1
∠AOC＝N0A﹣∠NOC＝90°− ∠SOB−（90°﹣∠SOB）
2
1
∠AOC= ∠SOB．
2
9．数学课上，同学们遇到这一个问题：
如图1，已加∠AOB＝ （90°＜ ＜180°），∠COD＝ （0＜ ＜45°），OE、OF分别是∠AOD
与∠BOC的角平分线，α请同学们α根据题中的条件提出问β 题，大β家一起来解决（本题出现的角均
小于平角）．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小强说：“如图2，若OC与OA重合，且 ＝120°， ＝30°时，可求∠EOF的度数”．
小伟说：“在小强提出问题的前提条件下，α 将∠COβD的OC边从OA边开始绕点O逆时针转动
∠BOE−∠DOF
m°（0＜m＜30），可求出 的值”；
∠EOF
老师说：“在原题的条件下，借助射线OC、OD的不同位置可得出 、 、∠EOF三者之间的数
量关系．” α β
…
（1）请解决小强提出的问题；
（2）在备用图1中，补充完整的图形，并解决小伟提出的问题；
（3）在备用图2中，补充完整的图形，并解决老师提出的问题，即求出 、 、∠EOF三者之间
的数量关系． α β
试题分析：（1）根据角平分线定义即可解决小强提出的问题；（2）在备用图1中，补充完整的图形，根据角平分线定义及角的和差计算即可解决小伟提出的
问题；
（3）在备用图2中，补充完整的图形，分四种情况讨论即可解决老师提出的问题，进而求出
、 、∠EOF三者之间的数量关系．
α 答案β 详解：解：（1）如图2，
∵∠AOB＝120°，OF是∠BOC的角平分线
1
∴∠FOC= ∠AOB＝60°
2
∵∠COD＝30°，OE是∠AOD的角平分线
1
∴∠EOC= ∠COD＝15°
2
∴∠EOF＝∠FOC﹣∠EOC＝45°
答：∠EOF的度数为45°；
（2）如图3，
∵OE、OF分别是∠AOD与∠BOC的角平分线，
1
∴设∠AOE＝∠DOE= ∠AOD＝
2
γ
1
∠BOF＝∠COF= ∠BOC＝
2
θ
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝120°﹣
∵∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD＝γ 150°﹣2
∴∠COF＝75°﹣ γ
γ∴∠DOF＝∠COF﹣∠COD＝75°﹣ ﹣30°＝45°﹣
∴∠BOE﹣∠DOF＝（120°﹣ ）﹣（γ （45°﹣ ）＝γ75°
∵∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝γ30°﹣ γ
∴∠EOF＝∠FOC﹣∠COE＝（75﹣γ ）﹣（30°﹣ ）＝45°
∠BOE−∠DOF 75° 5 γ γ
∴ = =
∠EOF 45° 3
∠BOE−∠DOF 5
答： 的值为 ；
∠EOF 3
（3）∵OE、OF分别是∠AOD与∠BOC的角平分线，
1
∴设∠AOE＝∠DOE= ∠AOD＝
2
γ
1
∠BOF＝∠COF= ∠BOC
2
①如图4，
∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝2 ﹣
∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC γ β
＝ ﹣（2 ﹣ ）
＝α﹣2 +γ β
α γ β1 1 1
∴∠FOC= ∠BOC= α− + β
2 2 2
γ
∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝ ﹣
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE γ β
1 1
= α− + β+ ﹣
2 2
γ γ β
1
= （ ﹣ ）．
2
α β
②如图5，∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2 +
∵∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC γ β
＝ ﹣（2 + ）
＝α﹣2 ﹣γ β
α γ β1 1 1
∴∠FOC= ∠BOC= α− − β
2 2 2
γ
∵∠COE＝∠DOE+∠COD＝ +
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE γ β
1 1
= α− − β+ +
2 2
γ γ β
1
= （ + ）．
2
α β
③如图6，
∠AOC＝∠AOD+∠COD＝2 +
∵∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠γAβOC
＝360°﹣ ﹣（2 + ）
＝360°﹣α﹣2 ﹣γ β
α 1 γ β 1 1
∴∠FOC= ∠BOC＝180°− α− − β
2 2 2
γ
∵∠COE＝∠DOE+∠COD＝ +
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE γ β
1 1
＝180°− α− − β+ +
2 2
γ γ β1
＝180°− （ ﹣ ）．
2
α β
④如图7，
∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝2 ﹣
∵∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠γAOβC
＝360°﹣ ﹣（2 ﹣ ）
＝360°﹣α﹣2 +γ β
α 1 γ β 1 1
∴∠FOC= ∠BOC＝180°− α− + β
2 2 2
γ
∵∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝ ﹣
∴∠EOF＝∠FOC+∠COE γ β
1 1
＝180°− α− + β+ ﹣
2 2
γ γ β
1
＝180°− （ + ）．
2
α β
答： 、 、∠EOF三者之间的数量关系为：
1 α β 1 1 1
（ ﹣ ）、 （ + ）、180°− （ ﹣ ）、180°− （ + ）．
2 2 2 2
α β α β α β α β
四．角的动边之存在性
10．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一个含30°角的三角板的
直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角
板旋转的角度为 90 ° ；
（2）继续将图2中的三角板绕点O逆时针旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试探
究∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由．
（3）若三角板从图1开始绕点O按每秒30°的速度逆时针旋转270°，在这个过程中，是否存在OM所在的直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在的直线平分另一个角的时刻？若存在，
直接写出旋转时间；若不存在，请说明理由．
试题分析：（1）根据旋转的性质可知，旋转角为∠MON；
（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件：∠AOC：∠BOC＝1：2，求得∠AOC＝60°，然
后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC＝30°；
（3）需要分类讨论：当 OM平分∠BOC时，旋转角是60°；当ON平分∠AOC时，旋转角为
240°．
答案详解：解：（1）根据旋转的性质可知：
旋转角为∠MON＝90°．
所以答案是：90．
（2）如图3：∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由如下：
∵∠AOC＝60°，
∴∠AON+CON＝60°，①
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠AON＝90°，②
②﹣①，得∠AOM﹣∠CON＝30°．
（3）
如图4，当OM平分∠BOC时，ON所在直线平分∠AOC，
∠BOM＝60°，
∴三角板绕点O逆时针旋转60°，此时t＝60÷30＝2（秒）；
如图5，当ON平分∠AOC时，OM所在直线平分∠BOC，
∠CON＝30°，
∴三角板绕点O逆时针旋转240°，
此时t＝240÷30＝8（秒）．
当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．
答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．
11．已知D为直线AB上的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝18°，则∠BOE＝ 36 ° ；若∠COF＝m°，则∠BOE＝ 2 m ° ；
∠BOE与∠COF的数量关系为 ∠ BOE ＝ 2 ∠ COF ．
（2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是
否仍然成立？如成立，请写出关系式并写出推理过程；如不成立，请说明理由．
（3）在图3中，若∠COF＝70°，在∠BOE的内部是否存在一条射线 OD，使得2∠BOD与
∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半？若存在，请求出∠BOD的度数；若不存在，请说
明理由．
试题分析：（1）根据角平分线的定义进行角的和差计算即可；
（2）根据角平分线的定义进行角的和差计算即可得∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立；
1
（3）根据 2∠BOD 与∠AOF 的和等于∠BOE 与∠BOD 的差的一半，可得 2∠BOD+20°=
2
（140°﹣∠BOD），进而可得结果．
答案详解：解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝18°，
∴∠EOF＝90°﹣18°＝72°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝144°，
∴∠BOE＝180°﹣144°＝36°．
若∠COF＝m°，
∴∠EOF＝90°﹣m°，∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m°，
∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°，
则∠BOE＝2∠COF．
所以答案是36°、2m°、∠BOE＝2∠COF．
（2）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：
设∠COF＝m°，如图2，
∴∠EOF＝90°﹣m°，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°﹣2m°，
∴∠BOE＝180°﹣（180°﹣2m°）＝2m°，
则∠BOE＝2∠COF．
（3）存在．理由如下：
如图3，∠COF＝70°，
∴∠BOE＝2×70°＝140°，
∴∠EOF＝∠AOF＝90°﹣70°＝20°，
∵2∠BOD与∠AOF的和等于∠BOE与∠BOD的差的一半，
1
∴2∠BOD+20°= （140°﹣∠BOD），
2
∴∠BOD＝20°．
答：∠BOD的度数为20°．
12．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中
∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上
方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间
数量关系为 ∠ BOC ＝∠ BOE ． ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线
所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．试题分析：（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝
∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD
平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
②根据角的和差即可得到结论．
答案详解：解：（1）∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
所以答案是：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
1
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC= ∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
2
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
13．如图1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF＝20°，则∠BOE＝ 4 0 °（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝
∠DOF
70°？若存在，求 的值，若不存在，请说明理由．
∠COF
试题分析：（1）根据∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE，求出∠AOE即可解决问题；
（2）由题意∠AOE＝2∠EOF，可得 120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）即可推出∠BOE＝
2∠COF；
（3）存在．∠DOF＝3∠DOE，设∠DOE＝ ，∠DOF＝3 ，构建方程求出 ，求出∠DOF，
∠COF即可； α α α
答案详解：解：（1）∵∠COE＝60°，∠COF＝20°，
∴∠EOF＝60°﹣20°＝40°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝40°，
∴∠AOE＝80°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝120°﹣80°＝40°，
所以答案是40；
（2）∵∠AOE＝2∠EOF，
∴120°﹣∠BOE＝2（60°﹣∠COF）
∴∠BOE＝2∠COF；
（3）存在．理由如下：
∵∠DOF＝3∠DOE，
设∠DOE＝ ，∠DOF＝3 ，
∴∠EOF＝∠α AOF＝2 ，∠αAOD＝5 ，
∵∠AOD+∠BOD＝12α0°， α∴5 +70°＝120°，
∴ α＝10°，
∴α∠DOF＝30°，∠AOE＝40°，∠AOC＝60°﹣40°＝20°，
∴∠COF＝40°，
∠DOF 3
∴ = ．
∠COF 4
14．如图 1，直线 DE 上有一点 O，过点 O 在直线 DE 上方作射线 OC．将一直角三角板 AOB
（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE
上方．将直角三角板绕着点O按每秒10⁰的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间
有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 7 或 2 5 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射
线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
试题分析：（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝
∠AOC可得答案；
（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直线DE上方和下方两种情况，根据平行线的
性质分别求得∠AOD度数，从而求得t的值；②当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分
∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
③由∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE、∠BOE＝90°﹣∠AOE 得∠AOC﹣∠BOE＝
（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°．
答案详解：解：（1）∠BOC＝∠BOE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；
如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
360°−110°
∴t= =25，
10
所以答案是：7或25；
②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．
五．新定义
15．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友
3
1
好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠AOB，
3
1
称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD= ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
3
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 4 0 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出
答案）试题分析：（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣
180°＝40°，即可解得答案；
1 1
②分4种情况：相遇之前，（Ⅰ）OC是OA的友好线时，∠AOC= ∠AOD，即2t°= （180°
3 3
1 1
﹣3t°），（Ⅱ）OC 是 OD 的友好线时，∠DOC= ∠AOD，即 180°﹣3t°﹣2t°= （180°﹣
3 3
1 1
3t°），相遇之后：（Ⅲ）OD是OC的友好线∠COD= ∠AOC，即3t°+2t°﹣180°= ×2t°，
3 3
1 1
（Ⅳ）OD是OA的友好线，∠AOD= ∠AOC，即180°﹣3t°= ×2t°，分别解方程即可．
3 3
答案详解：解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
1
∴∠AOM= ∠AOB＝40°，
3
所以答案是：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：OC是OA的友好线时，
1 1
∠AOC= ∠AOD，即2t°= （180°﹣3t°），
3 3
∴t＝20；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
1 1
∠DOC= ∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°= （180°﹣3t°），
3 3
∴t＝30；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好线，
1 1
∠COD= ∠AOC，即3t°+2t°﹣180°= ×2t°，
3 3
540
∴t= ，
13
（Ⅳ）OD是OA的友好线，
1 1
∠AOD= ∠AOC，即180°﹣3t°= ×2t°，
3 3
540
∴t= ，
11
540 540
综上所述，当t为20秒或30秒或 秒或 秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是
13 11
另一条射线的友好线．
16．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一
个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 是 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，
当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线
PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．
试题分析：（1）根据奇妙线定义即可求解；
（2）①分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可；
②分3种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可．
答案详解：解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
（2）①依题意有
1
（a）10t＝60+ ×60，
2解得t＝9；
（b）10t＝2×60，
解得t＝12；
（c）10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②依题意有
1
（a）10t= （6t+60），
3
5
解得t= ；
2
1
（b）10t= （6t+60），
2
30
解得t= ；
7
2
（c）10t= （6t+60），
3
20
解得t= ．
3
5 30 20
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为 或 或 ．
2 7 3
所以答案是：是．
17．【阅读新知】
如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的
度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．
【理解运用】
（1）∠AOB的角平分线 是 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是 30 ° 或 45 ° 或 60 °
．
【拓展提升】
如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器
180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与
0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？
（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方
向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP停止旋转时，三
角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，
其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明
理由．
试题分析：（1）根据巧线的定义直接判断即可；
（2）分三种情况计算即可；
（3）用含t的式子表示∠CPD，再分三种情况计算即可；
（4）由（3）的思路分情况解答即可．
答案详解：解：（1）如图，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOC，
∴OC是∠AOB的“巧线”，
所以答案是：是；
（2）∵∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，
1
∴∠AOC= ∠AOB，即∠AOC＝30°，
31
∠AOC= ∠AOB，即∠AOC＝45°，
2
2
∠AOC= ∠AOB，即∠AOC＝60°，
3
综上，∠AOC的度数是30°或45°或60°，
所以答案是：30°或45°或60°；
（3）如图，由题意得，0≤t≤27，
∠CPB＝5t﹣75°，∠CPD＝60°，
∵射线PB是∠CPD的“巧线“，
1
∴∠CPB= ∠CPD，即5t﹣75＝20，t＝19，
3
1
∠CPB= ∠CPD，即5t﹣75＝30，t＝21，
2
2
∠CPB= ∠CPD，即5t﹣75＝40，t＝23，
3
综上，t的值是19或21或23；
7
（4）由题意得0≤t≤16 ，
8
分三种情况：
①PC在∠BPD内部，PC是∠BPD的巧线，
∠BPC＝75﹣10t，∠BPD＝135﹣10t，故这种情况不存在；
②PB在∠CPD内部，PB是∠CPD的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，
1
∴∠BPC= ∠CPD，10t﹣75＝20，t＝9.5，
3
1
∠BPC= ∠CPD，10t﹣75＝30，t＝10.5，
2
2
∠BPC= ∠CPD，10t﹣75＝40，t＝11.5；
3
③PD在∠CPB内部，PD是∠BPC的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，1 1
∴∠CPD= ∠BPC，60= （10t﹣75），t＝25.5（舍去），
3 3
1 1
∠CPD= ∠BPC，60= （10t﹣75），t＝19.5（舍去），
2 2
2 2
∠CPD= ∠BPC，60= （10t﹣75），t＝16.5；
3 3
综上，t的值是9.5或10.5或11.5或16.5．
18．【阅读理解】
1
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA= ∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随
2
1
线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC= ∠BOC，称射
2
1
线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD= ∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
2
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ 4 0 °，若∠AOB的
度数是 ，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是
α
α
．（用含 的代数式表示）
6
α
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，
射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，
运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请
说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
试题分析：（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
α
答案详解：解：（1）40°， ；
6
180
（2）射线OD与OA重合时，t= =36（秒）
5
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
1
OC是OA的伴随线时，则∠AOC= ∠COD
2
1
即 3t= （180﹣5t﹣3t）
2
90
∴t=
7
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，
1
则∠COD= ∠AOC
21
即180﹣5t﹣3t= ×3t
2
360
∴t=
19
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
1
则∠COD= ∠AOD
2
1
即5t+3t﹣180= （180﹣5t）
2
180
∴t=
7
（iv）如图4，
1
OD是OA的伴随线时，则∠AOD= ∠COD
2
1
即180﹣5t= （3t+5t﹣180）
2
∴t＝30
90 360 180
所以，综上所述，当t= ， ， ，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条
7 19 7
射线的伴随线．
