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专题 04 二次函数的图象和性质之七大题型
二次函数的识别
例题：（2023上·河南周口·九年级统考期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）下列函数是二次函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023下·湖南长沙·八年级校考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
利用二次函数的定义求参数
例题：（2023上·广西崇左·九年级统考期末）函数 是二次函数，则 ．
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·九年级统考期末）已知函数 是二次函数，则．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如果函数 是二次函数，则m的值
为 ．
把y=ax²+bx+c化成顶点式
例题：（2023上·甘肃酒泉·九年级统考期末）将二次函数 化成 的形
式为 ．
【变式训练】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是 ．
2．（2023下·江苏无锡·九年级校联考期末）二次函数 的图象开口向 ，顶点坐
标为 ．
画二次函数y=ax²+bx+c的图象
例题：（2023上·江西赣州·九年级统考期末）请在如图坐标系中直接描点，画出函数
的图象，并回答下列问题：
(1)抛物线的开口方向为______；
(2)抛物线的对称轴是直线______；(3)若将抛物线 的图象向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则解析式为
______．
【变式训练】
1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）已知二次函数 ．
(1)直接写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象；
(3)若该二次函数的图象与x轴交于A、B两点，在抛物线上是否存在点P，使 的面积为2？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经
过点 和 ．(1)求二次函数的表达式；
(2)直接在坐标系中画出该函数的图像；
(3)结合图像直接写出 时，自变量 的取值范围是___________；
(4)当 时， 的取值范围是___________．
二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质
例题：（2023上·河南·九年级校联考期末）关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当 时， 随 的增大而减小 D．与 轴只有一个交点
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·九年级校联考期末）关于二次函数 ，下列说法不正确的是（
）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的左侧
C．图像的顶点坐标为 D．当 时， 的值随 值的增大而减小
2．（2023上·陕西西安·九年级统考期末）已知抛物线 （a，b是常数）与y轴的交点
为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线 中的自变量x与函数值y的部分
对应值如表：下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．将抛物线向右平移1个单位后经过原点
C．当 时，y随x的增大而增大
D．点A的坐标是 ，点B的坐标是
二次函数图象的平移
例题：（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）将抛物线 向上平移3个单位长度，所得抛物
线解析式为 .
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）将抛物线 先向右平移2个单位，再向下平移
2个单位，得到的抛物线解析式为 ．
2．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平
移4个单位，就得到抛物线 ．
待定系数法求二次函数解析式
例题：（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以 为顶点，且经过
点 ，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．
【变式训练】1．（2023上·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点
和点 ，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点 （不与点 重合），使 的面积与 的面积相等，若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数 的图像与x轴交于
、 两点，与y轴交于点B．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，连接
．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)设 的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；
(3)点P在运动过程中，能否使 的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明
理由．一、单选题
1．（2023上·广西河池·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建莆田·九年级统考期末）下列各点，在二次函数 的图象上的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·广西河池·九年级统考期末）已知二次函数 ，当y随x的增大而减小时，
x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下
列说法中错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
B． 的最小值为 ．
C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小．
D．它的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．
二、填空题6．（2023上·山东淄博·九年级统考期末）二次函数 图象的顶点坐标是 ．
7．（2023上·四川广安·九年级统考期末）当 时，函数 的函数值 随 的增大
而减小，则 的取值范围是 ．
8．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）将抛物线 先向右平移 个单位长度，再向上
平移 个单位长度，可得到抛物线 ．
9．（2023上·河南南阳·九年级校考期末）已知二次函数 （a为常数，且 ）的
图象上有三点 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是 ．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数
，其中 ．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点 和 在此函数的图象上，若 ，则 的取值范围是 ；
三、解答题
11．（2023上·天津津南·九年级统考期末）已知二次函数 的图象经过点 ，
．
(1)求这个函数的解析式；
(2)求这条抛物线的顶点坐标．
12．（2023上·辽宁·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线 ．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此
抛物线；
x … 0 1 2 3 4 5 …… 0 …
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
13．（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于
， 两点．
(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
14．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当 的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线 经过点
， ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，对称轴交 轴于点 ．直线
经过 ， 两点．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，是否存在点F使 的面积最大，若有则求出点F坐标及
最大面积；(3)连接 ，若点 是抛物线上对称轴右侧一点，点 是直线 上一点，试探究是否存在以点E
为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
