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专题04 反比例函数中的等腰三角形
1．如图，点 是反比例函数 图像上的一动点，连接 并延长交图像的另一支于点 ．在点
的运动过程中，若存在点 ，使得 ， ，则 ， 满足（ ）
A． B． C． D．
2．已知，在平面直角坐标系中，A的坐标为 ，点B是 中点，点 在
的图像上，点D从点C出发沿着 的图像向右运动，在 形状的变化过程中，
依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→直用三角形→等腰三角形→等腰三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
3．如图， ， ， ，……是分别以 ， ， ，……为直角项点，一条直角
边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ，……，均在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象
限的图象经过点B，则 与 的面积之差 为（ ）
A．9 B．12 C．6 D．3
5．如图，点 为函数 图象上一点，连结 ，交函数 的图象于点 ，点
是 轴上一点，且 ，则三角形 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．20 D．36
6．如图，△OAB，△AAB，△AAB…是分别以A，A，A…为直角顶点，一条直角边在x轴正
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C ，C ，C …均在反比例函数y （x＞0）的图象上，
1 2 3
则点A 的坐标为 ________．
2021
7．如图，A是双曲线 上一点，B是x轴正半轴上一点，以AB为直角边向右构造等
腰直角三角形ABC， ，过点A作 轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰直角三
角形ADE，若点C，点E恰好都落在该双曲线上， 与 的面积之和为28，则
_________．
8．如图，在方格纸中（小正方形的边长为 ，反比例函数 的图象与直线 的交点 、 在
图中的格点上，点 是反比例函数图象上的一点，且与点 、 组成以 为底的等腰 ，则点
的坐标为________． △9．如图，在 中， ，且点 在双曲线 上， 交双曲线
于点 ，则 点的坐标为______．
三、解答题
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交
于A，B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-2，n），点A的坐标为（m，2）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求 AOB的面积；
(3)在△x轴上是否存在一点P，使 AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，
请说明理由． △
11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D为等腰
直角三角形ABC的边BC上一点，且S ABC=3S ADC．反比例函数y= (k≠0)的图象经过点D．
1
△ △(1)求反比例函数的解析式；
(2)若AB所在直线解析式为 ，当 时，求x的取值范围．
12．如图，等腰 的直角顶点 与平面直角坐标系的原点重合，反比例函数 的
图象经过点 ，反比例函数 的图象经过点 ．
(1)试猜想 与 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，求当点 的纵坐标分别为1和2时，等腰 的面积；
(3)请直接写出当 时，等腰 的面积的最小值_________．
13．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A、 ．(1)求点A、B的坐标；
(2)观察图象写出不等式 的解集；
(3)若位于第三象限的点 在反比例函数 的图象上，且 是以 为底的等腰三
角形，请直接写出点 的坐标和 的面积；
14．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （m≠0）的
1 2
图象交于A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AO＝5，tan∠AOD＝ ，且点B的坐标为（n，﹣
2）．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出y＞y 时，x的取值范围；
1 2
(3)在x轴上是否存在一点E，使△AOE是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的E点坐标；
若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴交于点B，与y轴交于点 ，且与反比
例函数 在第一象限内的图象交于点A，作 轴于点 ．
(1)求直线 的函数解析式；(2)设点P是y轴上的点，若 的面积等于4，求点P的坐标；
(3)设E点是x轴上的点，且 为等腰三角形，直接写出点E的坐标．
16．如图所示， 的顶点 在反比例函数 的图象上，直线 交 轴于点 ，且
点 的纵坐标为5，过点 、 分别作 轴的垂线 、 ，垂足分别为点 、 ，且 ，
．
（1）求 的值；
（2）若 为等腰直角三角形， ．求证： ；
（3）把 称为 ， 两点间的“ 距离”，记为 在（2）
条件下，求 的值．
17．设A（a，n）为双曲线 （k>0，x>0）上一点，过点A作AB⊥x轴于B点，AB的垂直平分
线交y轴于点C，交双曲线于点P．定义：P为A点的中垂点；特别的，当△ABP为等腰直角三角
形时，又称P为A点的完美中垂点．
（1）若k=8，且A点存在完美中垂点， 则A的坐标是________
（2）四边形ACBP一定为 ． （填字母）
A． 平行四边形 B． 菱形 C． 矩形 D．正方形
（3）若△AOP的面积为6时，则k= ．
（4）设P为A的中垂点，Q又为P的中垂点，且△APQ是等腰三角形，试求k关于a的函数表达
式．18．点 的坐标为 ， 轴于点 ，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到
．
（1）求经过 中点 的反比例函数图象与线段 的交点 的坐标．
（2）点 是 轴上的一个动点，若 为等腰三角形时，写出点 的坐标．
19．如图，已知点A（1，-2）在反比例函数y＝ 的图象上，直线y＝-x＋1与反比例函数y＝ 的
图象的交点为点B、D．
（1）求反比例函数和直线AB的表达式；（2）求S AOB；
（3）动点△P（x，0）在x轴上运动，若 OAP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
△
20．如图，一次函数y＝kx+b(k≠0)和反比例函数y＝ (x＞0)经过点A(4，m)．
(1)求点A的坐标；
(2)用等式表示k，b之间的关系(用含k的代数式表示b)；
(3)连接OA，一次函数y＝kx+b(k≠0)与x轴交于点B，当△OAB是等腰三角形时，直接写出点B的
坐标．
