文档内容
专题04 反比例函数k值意义重难点题型专训
【题型目录】
知识点：反比例函数 ( )中的比例系数 的几何意义
过双曲线 ( )上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得矩形的面积为 .
过双曲线 ( )上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为 .
特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围
成的面积始终是不变的.
1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点A是反比例函数 图象上一点，过点A
作 轴于点D，且点D为线段 的中点．若点C为x轴上任意一点，且 的面积为12，则求k
的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】过点A作 轴于E，设 ，由此可得出点A的坐标，进而可得 ，然后再
根据 的面积可求出 ，即可求解．【详解】解：过点A作 轴于E，如图，
设 ，
则点A的坐标为 ，
∴ ，
∵点D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积计
算公式，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
2．（2021上·浙江·九年级周测）如图，在 中，对角线 交于点 ，双曲线 经过
两点，若 的面积为18，则 的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B【分析】分别过点 、 作 、 垂直于 轴于 、 ，先求出 ，再由平行四边形面
积公式求出即可．
【详解】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
设 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
、 在双曲线上，
三角形 与三角形 的面积相等，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，即 ，
，
，根据三角形的中位线，可得 ，
，
平行四边形的面积 ，
， ，即 ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的中位线定理，反比例函数的性质等知识点的理解和
掌握，解题的关键是根据这些性质正确地进行计算．
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反
比例函数 的图象的四个分支上，则实数 的值为（ ）A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，点 在
上，
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ，
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以
上知识是解题的关键．
4．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数的图象上，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、C、E、F，且 ，连
接 恰好经过点D，则k的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】通过证明 ，得出 ，则 ，根据反比例函数k值的几何意义
得出 ，则 ，进而得出 ，根据 图象经过第四象限，即可
得出 ．
【详解】解：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵点A在反比例函数 的图象上， 轴，
∴ ，
∴ ，
∵点B在反比例函数 图象上， 轴，
∴ ，
由图可知， 图象经过第四象限，∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握全等
三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及反比例函数k值的几何意义．
5．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形 的面积为4，它的两个顶点
B，D是反比例函数 的图象上两点．若点D的坐标是 ，则 的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由几何意义得 ，进而得 ，证明出 ，再由正方形
的面积为4，求出 即可．
【详解】解：如图，延长 、 交y轴于点E、F，延长 、 交x轴于点M、N，
由 的几何意义得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点D的坐标是 ，
∴ ， ，∴ ，
∵正方形 的面积为4，
∴ ， 而 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数性质的应用，正方形的性质， 的几何意义的应用是解题关键．
6．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，P为正方形的对称中心，A、B
分别在x轴和y轴上，双曲线 经过C、P两点，则正方形 的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．20
【答案】C
【分析】作 轴于 ，设 ， ，则 ，利用 证明 ，得
， ，从而得出 ， ， ，根据 得到关于 、 的方程组，
解方程组即可得出答案．
【详解】解：作 轴于 ，
设 ， ，则 ，
四边形 是正方形，
， ，，
，
，
， ，
，
为正方形 的对称中心，
点 为 的中点，
， ，
双曲线 经过 、 两点，
，
解得 ， ，
， ，
，
则正方形 的面积为15
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等
知识，利用全等三角形的判定与性质表示点 的坐标是解题的关键．
7．（2023·安徽合肥·统考一模）如图， 的一条直角边 在x轴正半轴上，双曲线 过
的斜边 的中点A，与另一直角边 相交于点D．若 的面积是6，则k的值是（ ）A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】如图，过点A作 于E，可证 ．得 ，由反比例函数，知
，求得 ，于是 ，解得 ．
【详解】解：如图，过点A作 于E，
∵ ,
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
解得， ；
故选：Ｃ
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质；理解反比例函数解析式k的几何意义是
解题的关键．
8．（2023下·河南新乡·八年级统考阶段练习）如图，点 是反比例函数 图像上的点，点分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形 为菱形， 轴， ，则k的值（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】连接 ，过点 作 轴于点 ，由菱形的性质及面积可得出 ，证得四边形
为矩形，得出 ，则可得出答案．
【详解】解：连接 ，过点 作 轴于点 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
轴， 轴，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
故选：B【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数 的几何意义
是解题的关键．
9．（2023下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 在 轴正
半轴上，顶点 在第一象限内， ， ， 分别是 ， 的中点，函数 ， 的图
象过点 ，连接 ，若 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作 轴于 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，则 轴，根据三角形的中线把
三角形分成面积相等的两部分即可求得 的面积为 ，然后根据 是 的中位线，即可求得
，然后根据反比例函数系数 的几何意义即可求得 ．
【详解】解：作 轴于 ，取 的中点 ，连接 ，则
轴，
，
，
， 分别是 ， 的中点，， ，
，
，
是 的中位线，
，
函数 ， 的图象过点 ，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数比例系数 的几何意义，三角形中线的性质，三角形
中位线的性质，掌握反比例函数 的几何意义，是解题的关键．
10．（2023下·河南周口·八年级校考期中）如图，直线 与反比例函数 ，
的图象分别交于 ， 两点， 为 轴上任意一点，若 的面积为 ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点 、 的纵坐标，代入反比例函数的解析式求出横坐标，表示出 的长，根据三角形面积公式求出 的值．
【详解】解：∵直线 与反比例函数 ， 的图象分别交于 ， 两点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了反比例函数系数 的几何意义，利用函数解析式表示出点的横纵坐标的关系是解题的
关键．
11．（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在 轴
上，顶点 在 轴上，矩形 的边 在 上， ．反比例函数 的图像经过点 ，
若阴影部分面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，设 与 交于点 ，设 ，根据矩形的性质证明 ，可
得 ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，设 与 交于点 ，设 ，则 ，∴ ，
在矩形 和矩形 中， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵阴影部分面积为 ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∵点 在反比例函数图像上，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，不规
则图形的面积的计算，求反比例函数的系数的方法是解题的关键．
12．（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，已知点A，B分别是x轴
和y轴上的点，过x轴上的另一点D作 ，与反比例函数 的图象相交于C，E两点，E
恰好为 的中点，连接 和 ．若 ， 的面积为2，则k的值为（ ）A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】过点C作轴于点F，过点E作 轴于点G，证明 为 的中位线，设 ，则
，设 ，根据图象得到 ， ，则 ，解得
，由 以及 的面积为2，得到 ，由 及 得
， ，则 ，即 ，则
．
【详解】解：过点C作轴于点F，过点E作 轴于点G，
∴ ，
∵E恰好为 的中点，
∴ 为 的中位线，
设 ，则 ，设 ，
∵C、E是反比例函数 的图象上的点，且反比例函数 的图象的一支在第一象限，
∴ ， ，即 ，
解得 ，
∵ ， 的面积为2，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了反比例函数图象和性质、三角形中位线定理、求反比例函数的比例系数，数形结合和
准确计算是解题的关键．
13．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，反比例函数 的部分图象如图所示，
轴于点 ，点 在x轴上，若 的面积为 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点
与原点，与坐标轴围成三角形的面积是 ．设反比例函数的解析式是： ，设A的点的坐标是 ，
则 ， ， ．根据三角形的面积公式即可求得 的值，即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式是： ，设A的点的坐标是 ．
则 ， ， ．∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
则 ．
故答案是： ．
14．（2023上·广西贵港·九年级统考期中）如图，点 在双曲线 上，点 在双曲线 上，点
都在 轴上，若四边形 是矩形，且它的面积是 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向
轴和 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．延长 交 轴于 ，根据反比例函数 的几
何意义得到 ，则 ，解得即可．
【详解】解：延长 交 轴于 ，如图，∵ ， ，矩形 的面积为 ，
∴ ，
即 ，
而 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（2023上·山东泰安·九年级统考期中）如图，直线 与双曲线 交于A、B两点，过点A作
轴，垂足为点M，连接 ，若 ，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方
形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何
意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即
．
由题意可知A、B关于点O对称，所以O为线段 的中点，故 ，从而求出结果．
【详解】解：因为直线 与双曲线 交于A、B两点，
所以A，B两点关于坐标原点成中心对称，即 ，所以 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ，解得 ．
又反比例函数图象位于第二、四象限，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．
16．（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， 的
顶点 在双曲线 上，顶点B在双曲线 （ ，且 ）上，边 在x轴上．
①若 ，则 的长度为 ；
②若 的面积是7，则k的值是 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是
解决本题的关键．
①先求出点A、B的坐标，则可求 ，然后根据平行四边形的性质求解即可；
②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求 ，进而求出点B的坐标，即可求出k的值．
【详解】解：①∵ 在 上，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴点B的纵坐标为2，
又点B在 上，
∴点B的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
②∵ 的面积是7， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3， ．
17．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且与反比例函
数 的图象交于点 ，若 ，则 ．
【答案】20
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，三角形的面积等，正确地作出辅助线构造三角形的中位
线是解决问题的关键．
过点 作 轴于 ，由 和 同高，可得出 ，进而可判定 为
的中位线，则 ，设 ，则点 ，由此可得 ，然后根据 得 ，由此可求出 的值．
【详解】过点 作 轴于 ，如图：
又∵ 和 同高，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
即 ，
故答案为：20．
18．（2023上·湖南湘潭·九年级湘潭江声实验学校校考期中）如图，正比例函数 与反比例函数
的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接 ，若 的面积为3，则
k的值为 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，首先根据反比例函数 中k的几何意义可
得： ，再根据反比例函数的对称性可知： ，据此即可求出k的值．
【详解】解：由反比例函数 中k的几何意义得： ，由反比例函数的对称性可知：
，
∴ ，
∴ ，
反比例函数图象在一、三象限，
，
．
故答案为：3．
19．（2023上·辽宁本溪·九年级统考期中）如图，平行四边形 的顶点 在 轴上，点 在 （
）上，且 轴， 的延长线交 轴于点 ．若 ，则 ．【答案】10
【分析】设 与 轴交于点 ，连接 ，由平行四边形的性质可得 ， ，根据三
角形的面积公式可得 ， ，由 ， ，可得
，由 的几何意义进行计算即可得到答案．
【详解】解：设 与 轴交于点 ，连接 ，如图所示，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
轴，
轴， ，
， ， ， ，
， ，
， ，
，，
，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数 的几何意义，三角形的面积计算，熟练掌
握平行四边形的性质，反比例函数系数 的几何意义，添加适当的辅助线，是解题的关键．
20．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，点A是反比例函数 的图象上一点，过点A作
轴，垂足为点C，延长 至点B，使 ，点D是y轴上任意一点，连接 ， ，若
的面积是6，则 ．
【答案】
【分析】连结 、 ， 轴，由 得到 ．由 得到
，则 ，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：如图，连结 、 ，∵ 轴，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵图象位于第一象限，则 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数
形结合的思想是解答问题的关键．
21．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，点A是反比例函数 的图象上任
意一点，AB∥x轴交反比例函数 的图象于点B，以 为边作平行四边形 ，其中C、D
在x轴上，若平行四边形 的面积为11，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】过点 作 轴，过点 作 轴，可证得 ，得出 ，
然后根据 的几何意义求解．
【详解】解：过点 作 轴，过点 作 轴，则 ，四边形 为平行四边形，
， ，
，
在 和 中
，
，
，
又 ，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为
模型图形（与 相关的矩形或三角形）的能力．
22．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知 ， ，将线段 平移至 的位置，
其 点在 轴的负半轴上， 点在反比例函数 的图象上，若四边形 的面积是18，则
．【答案】
【分析】根据平移的性质，结合已知点 ， 的坐标，知点 的纵坐标为3，点 与点 的横坐标的差为
2；然后利用 的面积，来求得点 的坐标，再用待定系数法求出 的值．
【详解】解： ， ，
将线段 平移至 的位置， 点坐标为 ， 点坐标为 ．
∵四边形 的面积是18
∴ ，
．
．
则点 的坐标为 ．
又点 在反比例函数 的图象上，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，关键是明白 平移到 后，点 的纵坐标为3，点
与点 的横坐标的差为2．
23．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试）如图，点 ， 依次在反比例函数 常数 ，
的图象上，点 ， 依次在反比例函数 常数 ， 的图象上， ，
轴， ， 分别垂直 轴于点 ， ， 于点 ， 于点 ．若，阴影部分面积为 ，则 的值分别为 ．
【答案】 ；
【分析】可设出点 ， 的坐标，得出点 ， 的坐标，再根据 和 以及阴影部分的面
积即可解决问题．
【详解】解：依题意，设 ， ，则 ， ，
∵ 轴，
∴
∵
∴
解得： ，
∵
∴ ①，
又阴影部分面积为8，
∴ ②
由①②得
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，能用点 ， 的坐标去表示出其余点的坐标，并根据线段之间的长度关系及阴影部分的面积得出方程是解题的关键．
24．（2023·安徽六安·校考二模）如图，反比例函数 的图象经过点A，反比例函数
的图象经过点B， 所在直线垂直x轴于点C，M是y轴上一点，连接 ， ，若
，则k的值等于 ．
【答案】
【分析】首先设 ，依题意得点 、 的横坐标均为 ，于是可表示出点 ， 的纵坐标，进而可
表示出线段 的长，然后依据若 可求出 的值．
【详解】解：设点 横坐标为 ，则 ，
依题意得：点 、 的横坐标均为 ，
点 在反比例函数 的图象上，
点 的纵坐标为： ，
点 在反比例函数 的图象上，
点 的纵坐标为： ，
，
，，
即： ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了反比例函数 中， 的几何意义，解题的关键是设 ，并用 的代数式
表示出线段 的长．
25．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象分别交正方形
的边 于点 、 ，若 点坐标为 ，若 是等边三角形，求 的值．
【答案】
【分析】证明 ，可得 ，从而得到 ，设 ，则 ，根据
勾股定理可得 ，从而得到点D的坐标为 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∵ 点坐标为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， ， 舍去，
∴ ，
即点D的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形
的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于
．本知识点是中考的重要考点．
26．（2023下·四川资阳·八年级统考期末）如图，直线 与双曲线 相交于点 ，
轴于点 ，以 为边在右侧作正方形 ， 与双曲线相交于点 ，连结 、 ．
(1)当 时，求点 的坐标；
(2)当 时，求 的值；
(3)是否存在实数 ，满足 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，得到A点的纵坐标为4，点 在直线 上，求出 点坐标，进而求
出反比例函数的解析式，求出 的长，根据点 在反比例函数上，进行求解即可；
（2）设 ，同法（1）求出 点坐标，利用 ，列式计算即可；
（3）假设存在，推出 ，得到 ，推出 ，与 矛盾，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形 为正方形， ，
∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
（2）设 ，∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
（3）不存在．理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
要使 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）可知， ，则点 ，
∴ ， ，
∴ ，得 ，∴ ，
∵ ，
∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握 值的几
何意义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
27．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为 的正方形．点
， 在坐标轴上．反比例函数 的图象经过点 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2， ．求直线 的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形 是边长为 的正方形求出点 的坐标，代入 求出k；
（2）设 ，过点D作 轴，根据 面积列方程，求出点D坐标，再
由待定系数法求出直线 的函数表达式．
【详解】（1）解： 四边形 是边长为 的正方形，
，
；
即反比例函数的表达式为 ．（2）解：设 ，过点D作 轴，
点 ， ， ，
∴
，
，
解得： ， ，经检验 ，是符合题意的根，
即点 ，
设直线 的函数解析式为 ，得∶
，解得： ，
即：直线 的函数解析式为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数 图象上任
意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于 ，灵活运用几何意义是解题关键．28．（2021下·浙江温州·八年级统考期末）如图，点 和点B在反比例函数 的图象
上，过点A作 轴交x轴于点C，过点B作 轴交直线 于点D， ．
(1)若 ，求k的值．
(2)连结 ，若四边形 的面积为6，求点B的坐标．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据点A的坐标可得 进而得出 ，由 可得点A与点B的横坐标的差，
进而求出m的值，确定点A的坐标即可；
（2）表示出点B的坐标，利用含有m的代数式表示四边形 的面积求出m即可．
【详解】（1）如图，过点B作 轴于E，
∵点 ，
∴ ，
又∵ ．∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
解得 ，
∴点 ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ，
（2）由（1）可知点 ，点 ，即 ， ，则 ，
由于四边形 的面积为6，
∴ ，
解得 ，
∴点 ．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数
k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
29．（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，直线 ）与反比例函数 在第一象限
内的图象交于点A ，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为D，交直线l于点
E，且 ．(1)求反比例函数及直线l的表达式；
(2)若 将四边形 分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据解析式求得点B的坐标，根据点A、B的坐标求得 的面积，根据
，求得 ，设C ，根据 的面积求得k的值，再利用待定系数法求得
p的值即可；
（2）根据点C的坐标求得点E的坐标，再根据面积相等列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵直线 与y轴的交点为B，
∴ ，则 ，
∵点A的横坐标为2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设C ，
∴ ，解得 ，∴反比例函数的表达式为 ，
∵点 在双曲线 上，
∴ ，
把点 代入 ，得 ，
∴直线l的表达式为 ；
（2）解：设 ， ，
∵ 将四边形 分成两个面积相等的三角形．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为 ．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
30．（2022下·江苏扬州·八年级统考期末）如图，已知点 在正比例函数 图像上，过点 作
轴于点 ，四边形 是正方形，点 在反比例函数 图像上．(1)若点 的横坐标为 ，求 的值；
(2)若设正方形的边长为 ，试用含 的代数式表示 值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正比例函数的上得到点 的坐标为 ，再根据正方形的性质及反比例函数的解析式
即可解答；
（2）根据正比例函数的解析式及正方形的性质得到 的坐标为 ，再根据反比例函数的解析式得
到 ．
【详解】（1）解：∵点 在正比例函数图象上，
∴当 时， ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， 的坐标为 ，
∴点 在反比例函数图像上，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵正方形 的边长为 ，
∴ ，
∴ 和 的纵坐标为 ，∴ 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 ，
∴代入反比例函数得， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的上点的特征，正方形的性质，利用正方形的性质求各个点
的坐标是解题的关键．
31．（2023下·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，点A在反比例函数 的图像上，过点A作
轴于点B， 的面积为4．
(1)求k的值；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用 铅笔作
图）
(3)设（2）中的角平分线与 轴相交于点 ，延长 到 ，使 ，连接 并延长交 轴于点 ．
求证： ．
【答案】(1)
(2)作图见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由反比函数 值的意义即可求解；
（2）如图，以点 为圆心，作弧交 、 于点 、 ，分别以点 、 为圆心大于 为半径作
弧，交于点 ，则 为 的平分线；
（3）由 为 的平分线， ，根据等腰三角形“三线合一”可知 是 边 的中垂
线，利用中垂线性质及等腰三角形性质得到 ，再由 轴，确定在 中，，根据对顶角 ，即可得到 ，从而得证 ．
【详解】（1）解：由反比函数 值的意义知， ，
∵图像在第二象限，
∴ ；
（2）解：以点 为圆心，作弧交 、 于点 、 ，分别以点 、 为圆心，大于 为半径作
弧，交于点 ，连接 ，则 为 的平分线，如图所示：
（3）证明：如图所示：
为 的平分线， ，
， 也是 边 的中线，即 是 边 的中垂线，
，
，
在等腰 中 ，则 ，
，
轴，即 ，
在 中， ，
，
，．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形高问题、反比例函数 值的意义、几何作图、
等腰三角形性质、中垂线判定与性质等，有一定的综合性，难度不大，掌握基本几何性质及尺规作图是解
决问题的关键．
32．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系 中，一次函数 （a，b为常数，且
）分别交x，y轴于A，B两点，交反比例函数 的图象于第三象限的C点，已知 ，
的面积为 ．
(1)求k的值；
(2)若 ，根据函数图象，写出在y轴左侧一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过C作 轴于点D，连接 ，则 ，证明 ，则 ，由
的面积等于 得到 ，即可得到答案；
（2）由 ， 的面积等于 得到 ，则 ， ，得到点C的坐标为
，根据图象即可得到答案．
【详解】（1）过C作 轴于点D，连接 ，则 ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积等于 ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， 的面积等于 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点C的坐标为 ，
由图象得：一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是 ．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合题，数形结合和准确计算是解题的关键．
33．（2022上·吉林松原·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，面积为9的正方形
的顶点B在反比例函数 的图像上，点A在 轴的正半轴上，以B为顶点作等腰三角形 ，使
底边DE在y轴上，且 ，点E在点C的上方．(1)求k的值；
(2)求四边形 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正方形的面积以及反比例函数 的几何意义即可求出 的值；
（2）根据正方形面积反求边长，再利用正方形的性质以及等腰三角形的性质，结合勾股定理求出 ，最
后相加即可．
【详解】（1）解：∵正方形 的面积为9，
设点 坐标为
由题意得：
∴ ．
（2）解：∵点B在函数 的图像上，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∵ ， ， ,
∴ ,
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
∴四边形 的周长为 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数 的几何意义，正方形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三
角形的性质以及运用勾股定理求线段长度是解决本题的关键．34．（2023下·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）如图，点A在反比例函数 的图
象上， 轴于点B， 的垂直平分线 交双曲线于点P．若 ，点A的横坐标为m．
(1)求k与m之间的关系式；
(2)连接 ， ，若 的面积为6，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意表示出P的坐标，代入 ，即可求得k与m之间的关系式；
（2）设 交 于点E，根据k与m的关系式得到 ， ，可证得 ，
， ，再由 ，即可得出方程，解得 ，据此即可
求解．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为 ，点A在反比例函数 的图象上，
，
， ．
， 垂直平分 ，
是等腰直角三角形，
点D是 的中点，
，．
∵点 在反比例函数 的图象上，
，
．
（2）解：设 交 于点E．
由（1）可知 ，
， ，
， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，反
比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，能够正确表示点的坐标是解题
的关键．
35．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）已知直线 上点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交
双曲线 于点 ，过点 作 轴交 轴于点 ，交双曲线 于点 ，若 是 的中点，且
四边形 的面积为 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， 是双曲线 第一象限上的任一点，求证： 为常数 .
(3)现在双曲线 上选一处 建一座码头，向 ， ， ， 两地转运货物，经测算，从 到 ，
从 到 修建公路的费用都是每单位长度 万元，则码头 应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最
低？ 提示：利用 的结论转化)
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点 在 连线与双曲线的交点上
【分析】（1）设 ，则 ，根据 ，即可求解；（2）由（1）得 ，设 ， ，根据两点距离公式，整理得出
，即可求解．
（3）由 知 ，从而得 ，当点 在 连线与双曲线的交点
上时， 取得最小值，据此可得．
【详解】（1）解：设 ，则 ，
∴ ，
；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
设 ，
则
，
即 为常数
（3）由（ ）知 ，，
，
则当点 在 连线与双曲线的交点上时， 取得最小值，
，
，
最低总费用为 万元．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，因式分解的应用，熟练掌握待定系数法求解析
式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键．
36．（2022上·山东威海·九年级校联考期中）如图，一次函数 的图像与反比例函数
的图像相交于第二、四象限内的点 和点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，
的面积为 ．
(1)分别求出 和 的值；
(2)结合图像直接写出 的解集；
(3)在 轴上取一点 ，当 取得最大值时，求 点的坐标；
(4)若点 是双曲线上一点，且 ，求 点的横坐标．
【答案】(1) ，
(2)(3) 点的坐标为
(4)点 的横坐标为 或 或 或
【分析】（1）根据点 的坐标可知， ，根据 的面积为 ，可求出 的值，从而求出
反比例函数解析式，将点 的坐标代入即可求出 的值；
（2）由（1）求出点 的坐标，代入一次函数，运用待定系数法求出一次函数解析式，及一次函数与
轴的交点，根据图示，可知不同的自变量取值范围一次函数的函数值与反比例函数的函数值的大小情况不
同，由此即可求解；
（3）设点 ，作点 关于 轴的对称点 ，当点 三点共线时， 取得最大值，运用待
定系数法求出 所在直线的解析，令 ，即可求解点 的坐标；
（4）根据题意，先求出 的面积，由此可得 的面积，点 在反比例函数图像上，设 ，
根据图像（图示见详解），分类讨论，根据结几何图像的面积的计算方法，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：点 在第二象限，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ， 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，解得， ，即 ，
∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，解得， ，
∴反比例函数： ，
∵点 在反比例函数 的图像上，
∴ ，解得， ，
∴ ， ．（2）解：由（1）知 ， ，且点 ， 在一次函数 的图像上，
∴ ，解得， ，
∴一次函数解析式为 ，
∴令 时，则 ，解得 ，即一次函数与 轴的交点为 ，
∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于第二、四象限内的点
和点 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的解集为： ．
（3）解：如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，∴ ，且点 ，
设 所在直线的解析式为 ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当点 三点共线时， 取得最大值，且点 在 轴上，
∴令 时， ，
∴点 的坐标为 ．
（4）解：如图所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，直线 与 轴交于点 ，
∵直线 的解析式为 ，令 ，则 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图像上，
∴设 ，
①如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，与 交于点 ，过点 作 于点 ，
过点 作 延长线于点 ，
设 所在直线的解析式为 ，且 ， ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ， 轴，
∴点 的横坐标为 ，且点 在直线 的图像上，
∴当 时， ，∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，整理得， ，解得， ， ，
∴点 的坐标为 或 ，即点 的横坐标为 或 ；
②如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 延长
线于点 ，过点 作 于点 ，
设直线 所在直线的解析式为 ，且 ， ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 在一条直线上，且 轴，
∴点 的横坐标为 ，且点 在直线 的图像上，
∴当 时， ，即∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，整理得， ，解得， ， ，
∴点 的横坐标为 或 ；
综上所述，点 的横坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析，函数交点坐标的计算
方法，线段最大值的计算方法，函数图像与几何图像的综合，几何图像的面积的计算方法等知识是解题的
关键．
