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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式
1.如图1所示， 、 是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记 ，则 的面积
.
证明：如图，由余弦定理知 ． ①
由椭圆定义知： ， ②
则②·2－①得 ， ．
当 时， ．
2.如图2所示， 、 是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记 ，则 的面积
.
证明：如图，由余弦定理知 ，，
，
， ，
∴ ．
当 时， ．
二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率
1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出
的三边长之比或内角正弦值之比.
公式：
2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研
究出 的三边长之比或内角正弦值之比.
公式： .
二、题型精讲精练【典例1】设 、 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆上， ，则 的面积为
________.
【解析】由焦点三角形面积公式， .
【典例 2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点P在C上，且 ，则
的面积为________.
【解析】由焦点三角形面积公式， .
【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知 、 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若 ，
且 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】解法1：如图， ， ，故可设 ，则 ， ，
所以C的离心率 .
解法2：如图， .
【典例4】已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ，且 ，
则双曲线C的离心率为_______.
【解析】解法1：如图，由题意，不妨设 ，则 ， ，
所以 .解法2：如图，由题意， ， ，所以 .
【题型训练-刷模拟】
1 . 椭圆中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、填空题
1.设 、 是椭圆 的左、右焦点，P在C上且 轴，若 ，则椭
圆C的离心率为_______.
2.在 中， ， ，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.
3.过椭圆 的左焦点 作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为 ，若
，则椭圆的离心率为_______.
4.在 中， ， ，且 ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离
心率的取值范围为_______.
5.在 中， ， ，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.
6.设 、 是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且 ，
，则椭圆C的离心率为_______.
7.在 中， ， ， ，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率
为_______.
8.过椭圆 的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若 是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.
9.设 、 是椭圆 的左、右焦点，过 且斜率为 的直线l与椭圆C交于A、B
两点， ，则椭圆C的离心率为_______.
10.设 、 是椭圆 的左、右焦点，以 为直径的圆与椭圆的4个交点和 、
恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.
11.已知P、Q为椭圆 上关于原点对称的两点，点P在第一象限， 、 是椭圆C
的左、右焦点， ，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.
②综合应用
一、单选题
1．设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若
的面积为9，则实数 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，则 内切圆半径的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点 在椭圆 上，点 分别为椭圆 的左､右焦点，并满足
面积等于4，则 等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．165．已知一个离心率为 ，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为 ， ，在椭圆上存在一个点P，使得
，设 的内切圆半径为r，则r的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若 ，且 ，则E的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上， ，则
（ ）
A． B． C． D．
8． ， 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是 的内切圆圆心，若 的
面积等于 的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．设F，F 是椭圆C： =1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF 交
1 2 2
椭圆C于点Q，且|PF| =|PQ|，若 PFF 的面积为 ，则 =（ ）
1 1 2A． B． C． D．
10．已知 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，若在椭圆 上存在点 ，使得
的面积等于 ，则椭圆 的离心率 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知 ， 分别是椭圆E： （ ）的左、右焦点，点M在椭圆E上， ，
的面积为 ，则椭圆E的离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是椭圆 的左､右焦点，点 是椭圆上的一个动点，若 的内切圆半
径的最大值是 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆 的两个焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，若，则 的面积为 ．
14． 为椭圆 上的一点, 和 是其左右焦点,若 ,则 的面积为 .
15．设点 是椭圆 上的点， ， 是该椭圆的两个焦点，若 的面积为 ，则
．
16．已知点 是椭圆 上的点，点 是椭圆的两个焦点，若 中有一个角的大小为 ，
则 的面积为 ．
17．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ， ，点 在椭圆上，若 ，
且 的面积为4，则椭圆的标准方程为 ．
18．已知椭圆C: 的焦点为 ， ，第一象限点P在C上，且 ，则 的内切圆
半径为 .
19．已知椭圆 的两个焦点分别为 、 ，离心率为 ，点 在椭圆上，若
，且 的面积为 ，则 的方程为 ．
20． 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上异于顶点的一点， 是 的内切圆圆心，若 的
面积等于 的面积的3倍，则椭圆 的离心率为 .
21．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在点 使三角形
的面积为 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是 ．2 . 双曲线中的焦点三角形
①离心率公式的直接应用
一、单选题
1.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点M在E上， 与x轴垂直， ，则
E的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
二、填空题
2.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，过 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两
点，若 是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.
3.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ， ，则双曲
线C的离心率为_______.
4.已知 、 是双曲线 的左、右焦点，过 且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两
点，若 是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.
5.过双曲线 的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若 是等腰直角三角形，则双
曲线C的离心率为_______.
②综合应用
一、单选题
1．已知：双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 为其右支上一点，若 ，则
的面积是（ ）
A． B．C． D．
2．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别是 ， ， 是双曲线 上的一点，且
， ， ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线上一点，且 ，则 的面积
等于（ ）
A．6 B．12 C． D．
4．设F，F 是双曲线C: 的两个焦点，P是双曲线C上一点，若 ，且 PFF
1 2 1 2
△
的面积为9，则C的离心率等于（ ）
A． B．2 C． D．
5．设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与 相交于 、 两点，若
为正三角形，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，若双曲线上一点P使得 ，求 的面
积（ ）A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是 上的一点（不同于左，右顶点），且
，则 的面积是（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直
线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
10．已知过双曲线 的左焦点 的直线分别交双曲线左､右两支于 两点， 为双曲
线的右焦点， ，则双曲线的离心率 （ ）
A．2 B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作一条直线与双曲线右支交于
、 两点，坐标原点为 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．若双曲线 的左､右焦点分别为 ，点M在双曲线上，若 的周长为20，则
的面积等于 .
13．双曲线 上一点 与两焦点 ， 的连线互相垂直，则 的面积是 .14．双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线于A，B两点，A，B
分别位于第一、二象限， 为等边三角形，则双曲线的离心率e为 .
15．已知双曲线 的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且 为正三角
形，则双曲线的离心率为 ．
16．椭圆 与渐近线为 的双曲线有相同的焦点 ，P为它们的一个公共
点，且 ，则椭圆的离心率为 .
17．已知双曲线C： 的左右焦点分别为 ， ，点A在C上，点B在y轴上，
， ，则C的离心率为 ．
