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期末重难点特训之易错必刷题型（114题33个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、函数图象识别
1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列图象中，表示 是 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系：
①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系.
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系.
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系.
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系.
用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是
3．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应
的字母序号．(1)一面冉冉上升的旗子________
(2)匀速行驶的汽车________
(3)足球守门员大脚开出去的球________
(4)一杯越晾越凉的水________
易错必刷题二、方差、标准差、极差
4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下：
甲：87 93 88 93 89 90
乙：85 90 90 96 89
(1)甲同学成绩的极差是_____；
(2)若甲、乙的平均成绩相同，求 的值；
(3)已知乙的方差是 ，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由．
5．（23-24八年级下·浙江·期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行
调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
(1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
(2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）甲乙两名同学在寒假进行一分钟跳绳的线上打卡活动，下表为一周的打卡
记录及统计数据：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 中位数 平均数甲 176 170 162 165 172 174 171 171
乙 172 169 170 171 170 167 171 170
(1)直接写出 值并求 值；
(2)甲，乙的方差分别为 ，则 _____________ （选填“ ”“ ”或“ ”）；
(3)第八天统计数据汇总后，甲同学这八天跳绳成绩的平均数增大了但中位数没变，直接写出甲同学第八天
的跳绳成绩．
易错必刷题三、利用加权平均数、中位数、众数、求未知数据的值
7．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽
查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25．
(1)这组数据的众数为____，中位数为____；
(2)计算这10个班次乘车人数的平均数．
8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对
他们进行了艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如
下表所示：
候选
艺术水平 组织能力
人
甲 88分 90分
乙 82分 95分
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把艺术水平、组织能力的成绩分别按照 的比例计入
综合成绩，应该录取谁？
9．（2025·陕西西安·三模）为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来
的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉
字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照 的比例计算出每人的总评成绩．小微、小舒的成绩如
下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下图．
小薇，小舒成绩统计表
测试成绩/分
选 总评成
手 表达能 阅读理 汉字听 绩/分
力 解 写
小
92 85 90
薇
小
94 92 88.5
舒
根据以上问题，回答下列问题：
(1)在表达能力测试中，七位评委给小舒打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，94，这组数据的中位
数是________分，众数是________分；
(2)分别计算小薇、小舒的总评成绩；若学校决定根据总评成绩安排前2名学生代表学校参加市级比赛，试
分析小薇、小舒能否入选，并说明理由．
易错必刷题四、同类二次根式
10．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）．
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
11．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 ．12．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．求 的值．
易错必刷题五、利用二次根式的性质化简
13．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列化简过程中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由 ，可
知 的算术平方根是 ．类似地， 的算术平方根是 ．
15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式分母中的根号：
(1)
(2)
(3)
易错必刷题六、求二次根式中的参数16．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
18．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式 的双重非负性是指被开方数 ，其化简的结果
，利用 的双重非负性解决以下问题：
(1)已知 ，则 的值为_______；
(2)若 为实数，且 ，求 的值；
(3)若实数 满足 ，求 的值．
易错必刷题七、二次根式的混合运算
19．（24-25八年级下·河北唐山·期中）下列各式计算：① ；② ；③
；④ 中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
20．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ，
．
21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： ．
易错必刷题八、分母有理化
22．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）若 为实数，在“ ”的“ ”中添上一种运算符号
（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 的值不可能是（ ）A． B． C． D．
23．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）若 ， ，则 ．
24．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究：
观察下列等式：
；
；
；
……
解答下列问题：
(1)模仿：化简： __________， __________．
(2)拓展：比较 和 的大小．
(3)运用：计算
易错必刷题九、已知字母的值，化简求值
25．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样
分析与解的：
，，
，
，
．
若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
26．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
27．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知： ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
易错必刷题十、求自变量的值或函数值
28．（2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．3或
29．（2025·湖北·二模）在电压不变时，通过导体的电流 （单位：A）与这段导体的电阻 （单位： ）
是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻 时，通过该导体的电流 的值为
A．30．（2025八年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压
强 是气体体积 的反比例函数，其图像如图所示．
(1)写出 与 之间的函数表达式．
(2)当气体的体积为 时，压强是多少？
(3)当压强大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？
易错必刷题十一、正比例函数的图象与性质
31．（24-25八年级下·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：① ，②
，③ ，下列用“ ”表示 的不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数 的图象在第二、四象限，则k的取值范
围是 ．
33．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）已知y与x成正比例，当 时，
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)请判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由．
易错必刷题十二、比较一次函数值的大小
34．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若点 ， ， 在一次函数 （m是常
数）的图象上，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B． C． D．
35．（24-25八年级下·北京·期中）已知点 ， 均在一次函数 的图象上，则
（填“＞”“＜”或“=”）．
36．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知一次函数 ．
(1)在图中画出该函数的图象；(2)若 和 是一次函数 图象上的两点，比较 和 的大小，并说明理由．
易错必刷题十三、根据一次函数的定义求参数
37．（23-24八年级下·四川内江·期中）若 关于 的函数 是一次函数，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
38．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）规定： 是一次函数 （k，b为实数， ）的“特征
数”．若“特征数”是 的一次函数是正比例函数，则点 所在的象限是第 象限．
39．（24-25八年级下·山东泰安·期末）已知函数 ．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
(3)若函数的图象经过点 和 ，求m，n的值．
易错必刷题十四、已知函数经过的象限求参数范围
40．（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知直线 经过第一、二、四象限，则直线 的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
41．（24-25八年级下·重庆·期中）已知一次函数 的图象不经过第四象限，且关于 的不等式组 至少有2个整数解，则所有满足条件的整数 的值和为 ．
42．（24-25八年级下·全国·期中）画出 的图象，根据图象回答下列问题
(1)y的值随x值的增大而 ．
(2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
(3)当x 时，y＞0．
易错必刷题十五、根据一次函数增减性求参数
43．（24-25八年级下·福建厦门·期中）一次函数 的 与 的部分对应值如下表所示，根据该表提
供的信息，下列说法正确的是（ ）
．． ．．
0 1 2
． ．
．． ．．
1 5 9
． ．
A．y的值随 值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．不等式 的解集为 D．关于 的方程 的解是
44．（24-25八年级下·北京·期中）函数 是关于 的一次函数， 随 增大而增大，则 的
取值范围是 ．
45．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）已知一次函数 ，求满足下列条件的 的值：
(1)函数值 随 的增大而增大；
(2)函数的图像过第二、三、四象限
易错必刷题十六、一次函数图象平移问题
46．（24-25八年级下·云南昆明·期中）直线 的向上平移5个单位长度得到的解析式为（ ）
A． B．C． D．
47．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）将直线 沿 轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为
．
48．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．
(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．
易错必刷题十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解
49．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数 （ 、 为常数， ）的图象，则关于
的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
50．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图是一次函数 的图象，则方程 的解为 ．51．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数
的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：①当 时， _________；
②当 时， __________；
③当 时， __________；
(2)在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有__________个交点，方程 有__________个解；
②方程 有__________个解．易错必刷题十八、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
52．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象
大致是（ ）
A． B．
C． D．
53．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）函数 与 的图象如图所示，当 ， 时，
的取值范围是 ．
54．（24-25八年级下·江西·开学考试）【选考题】任选一题作答．
（Ⅰ）如图，已知函数 和 的图像交于点 ，这两个函数的图像与 轴分别交于
点 ．（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集．
（Ⅱ）某学校计划购进 两种品牌的足球共 个，其中 品牌足球的价格为 元/个，购买 品牌足
球所需费用 （单位：元）与购买数量 （单位：个）之间的关系如图所示．
（1）请直接写出 与 之间的函数解析式；
（2）若购买B品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总
费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
易错必刷题十九、两直线的交点与二元一次方程组的解
55．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数 与 的图象相交于点 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C．任意数对 D．不能确定
56．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，已知函数 和 图象交于点A，点A的横坐标
为 ，则关于x，y的方程组 的解是 ．57．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线 与直线 相交于点 ．
(1)求b的值；
(2)直接写出关于x，y的方程组 的值；
(3)若 交x轴于点A， 交x轴于点B，且 ，求直线 对应的函数表达式．
易错必刷题二十、添一个条件成为平行四边形
58．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，四边形 的对角线相交于点 ，下列条件中不能判定四
边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
59．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，连接 ， ，
， ，请添加一个条件 使四边形 是平行四边形．60．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图， 的对角线 、 相交于点O， E、F是 上的
两点．
(1)添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形；
(2)在（1）添加的条件下，写出证明过程．
易错必刷题二十一、添一条件使四边形是矩形
61．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知四边形 是平行四边形，下列条件不能判定这个平行四边
形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
62．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E，F在
上，且 ，连接 ， ， ， ．若添加一个条件使四边形 是矩形，则该条件可以
是 ．（填写一个即可）
63．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是 的对角线 上两点，且 ．
(1)求证： ；(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形．
易错必刷题二十二、添一条件使四边形是菱形
64．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在 中，添加下列条件仍不能判定 是菱
形的是（）
A． B． C． D．
65．（24-25八年级下·浙江台州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，
（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是 ．
66．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是 边上的点，且
，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形 是菱形，并写出证
明过程．
易错必刷题二十三、添一条件使四边形是正方形
67．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形 中，对角线 交于点O，添加下列一个
条件，能使矩形 成为正方形的是（ ）A． B． C． D．
68．（23-24八年级下·湖南·期末）如图， 中， ，请添加一个条件 ，可得出该四边
形是正方形．
69．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形 中，M是对角线 上的一个动点（M与A、
C点不重合），作 于E， 于F．
(1)试说明四边形 是矩形；
(2)连接 ，当点M运动到使 为何值时，矩形 为正方形？请写出你的结论．
易错必刷题二十四、用勾股定理解三角形
70．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ， 是边 上一点，若 ，
， ，则 的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
71．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在 中， 于点 ， 于点 ，若
， ， ，则 的周长为 ，面积为 ．72．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得
， ， ，其中 与 之间由一个固定为 的零件连接（即
）．
(1)请求出 的长度；
(2)根据安全标准需满足 ，通过计算说明该车是否符合安全标准．
易错必刷题二十五、勾股定理与网格问题
73．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在
格点上，以点O为圆心， 的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段 的长为（ ）
A． B． ` C． D．
74．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在 的正方形网格中， ．
75．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．(1)四边形 的周长是_______；
(2)四边形 的面积是_______；
(3)连接 ， 是直角三角形吗？判断并说明理由．
易错必刷题二十六、勾股定理与折叠问题
76．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在 中， ，D、E分别是斜
边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．若点 落在直角边
的中点上，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
77．（2025八年级下·山西·专题练习）如图，在 中， ， ， ，将 折叠，
使点B恰好落在边 上，与点 重合， 为折痕，则 ．
78．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在 中， ， ， ， 为 上
一点．将 沿 折叠，点 的对应点 落在边 上．(1)求 的长；
(2)求 的周长．
易错必刷题二十七、以弦图为背景的计算题
79．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形
（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为 ，较短的直角边为 ，若图 中大正方形的面积为 ，线
段 的长为 ，则图1中的直角三角形面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
80．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，是《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，其中 ，
， ， 是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形．若 ，
，则小正方形 的面积是 ．
81．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．
(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个
正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
易错必刷题二十八、利用勾股定理的逆定理求解
82．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
83．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变
形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边 和 的长分别为 和 ，又测得点A与点C间的距
离为 ，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）．84．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求 的长度；
(2)求四边形 的面积．
易错必刷题二十九、二次根式实际综合应用
85．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知矩形的长为 ，宽为 ，求矩形的周长和对角线的长．
86．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟
走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期 （单位：
s），周期公式为 ，其中 （单位： ）表示摆锤的长， ．若某摆钟的摆锤长为 ，则
在 内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据： ）
87．（24-25八年级下·江西南昌·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分
别为 和 的正方形木板．(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为 ，宽为 的长方形木条，估计最多能裁出
______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据： ）
易错必刷题三十、一次函数图象与坐标轴的交点问题
88．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）一次函数 和 的图象如图所示，其交点为
，则不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
89．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点
，点 为 轴上的一点，若 为直角三角形，则点 的坐标为 ．
90．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求该直线的表达式，并画出该函数图象；
(2)若x轴上有一点 ，且 ，直接写出点 的坐标__________．
易错必刷题三十一、一次函数的实际综合应用
91．（2025·陕西西安·模拟预测）胜利农业公司销售玉米种子时规定：若一次购买2千克以上的种子，超
过2千克的部分价格打8折．下表是购买量 （千克）与付款金额 （元）的部分对应值：
（千
1.5 2 2.5
克）
（元） 7.5 10 12
(1)求 与 的关系式；
(2)李师傅将18.8元钱全部用于购买玉米种子，请你计算他购买玉米种子的数量．
92．（24-25八年级下·山东济宁·期中）某公司生产了 ， 两款新能源电动汽车.如图， ， 分别表示
款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 （ ）与汽车行驶路程 （ ）的关系．(1)求 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系解析式．
(2)当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电
动汽车电池的剩余电量多多少 ．
93．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践
活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能
力等核心素养．某学校组织七年级 个班，共 名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下：
活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行
活动目的 了解历史文化 了解自然知识
1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活 1．参观植物园2．手工体验活动 选 ①制
活动内容 动 选 ①壁画修复②沥金彩绘 ．古县城内 作植物香囊②制作叶脉书签 ．植物园内
简餐 简餐
学生团体票，可在半价基础上再打 折，
门票 免票（提前预约）
为 元 人：
古县城讲解 元 团；考古博物馆讲解
讲解 免费
元 团；注：每个班级为一个研学团
活动
费用
体验
非遗体验活动： 元 人 手工体验活动： 元 人
活动
用餐 学生简餐： 元 人 学生简餐： 元 人
问题解决
(1)设两种方案的费用分别为 元和 元，则 _______， _______．
(2)在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？易错必刷题三十二、勾股定理的实际综合应用
94．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 ，“海天”号每小时
航行 ．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距 ．如果知道“远航”号沿
东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
95．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图
的风筝的高度 ，测得如下数据：
①测得 的长度为8米：（注： ）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度 ．
(2)若松松同学想风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
96．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代
数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，
更因为应用广泛而使人入迷．(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
易错必刷题三十三、勾股定理逆定理的实际应用
97．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地 ，现计划在劳动基地种植
绿植，测得 ， 米， 米， 米， 米，若每平方米所种绿植需要100元，
问需要投入多少钱．
98．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄 ，河边原有两个取
水点 ， ，由于某种原因．由村庄 到取水点 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边
新建一个取水点 （点 ， ， 在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 ， ，
． 是否为从村庄 到河边最近的路？（即 与 是否垂直？）请通过计算加以说明．99．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳
动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形 空地改造为“劳动乐
园”．经测量， 米， 米， 米， 米， ．该“劳动乐园”即将迎来盛
大的劳动成果展示活动．
【解析】
(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的 、 两点连接起来，求至少需要多少
米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形 区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形
区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
1．（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简
的结果是（ ）A． B． C． D．
2．（2025·江苏盐城·二模）如图是盐城市2025年4月 日的天气情况，这5天中最低气温（单位：
）的中位数与众数分别是（ ）
A．10，14 B．12，14 C．12，12 D．11，14
3．（24-25八年级下·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿
车出发 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为 （单位： ），货车、
轿车与甲地的距离为 （单位： ）， （单位： ），图中的线段 、折线 分别表示 ，
与 之间的函数关系．那么两车出发（ ）小时后相距 ．
A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时
4．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图是一个棱长为 的正方体木箱，点 在上底面的棱上， ，
一只蚂蚁从 点出发沿木箱表面爬行到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形 的边长为 ，作正方形 ，使 ， ，
， 是正方形 各边的中点；做正方形 ，使 ， ， ， 是正方形 各边的
中点……以此类推，则正方形 的边长为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算： ，则 ．
7．（23-24八年级下·北京·阶段练习）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2
个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段 ， 为3个单位长度，以原点为
圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是 ．
8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成
绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数 乙班学生参赛成绩的中位数（填“>”，“<”或
“=”）．9．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数 与 的图象交于 ，则关于 ， 的方
程组 的解为 ．
10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为
，当 时，四边形 是矩形．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案
中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ．求
的长；
13．（24-25八年级下·广东深圳·期末）2024年11月8日，深圳市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北
广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，
某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：
分）：
八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10；
九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8 0.8九年级 8 8.5 1.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： _____， _____；
(2)综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由．
(3)若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中
成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？
14．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提
出了以下问题：如图， 的对角线 与 相交于点 ，点 分别在 和 上．
问题1：当 与 满足什么条件时，四边形 是平行四边形？
问题2：当 满足什么条件时，四边形 是平行四边形？
请你选择其中一个问题完成，并说明理由．
15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相
交于点 ，直线 与 轴的交点为 ．
(1)点 的坐标为______；
(2)在 轴上找一点 ，连接 ，使 的值最小，求出此时点 的坐标；(3)在（2）的条件下，求 的面积．
