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专题 05 二次函数图象信息与求线段、面积最值问题之五大题型
一次函数、二次函数与图象综合判断
例题：（2023上·山西运城·九年级统考期末）抛物线 与直线 同一坐标系的
大致可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中 的正负情况，即可
判断哪个选项是正确的；
【详解】A、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即
，故选项A不符合题意；
B、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即
，故选项B不符合题意；
C、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即
，故选项C不符合题意；D 、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即
故选项D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数
的性质，用数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2023上·河南新乡·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，函数 与
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；
通过函数系数对比，即可得到答案．
【详解】解：A选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴A选项不符合题意；
B选项中， 开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
∴B选项不符合题意；
C选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，∴C选项不符合题意；
D选项中， 开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴ ， ，
而 函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴ ， ，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象
的性质，从而完成求解．
2．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）一次函数 的图象如图所示，则二次函数
的图象大致是下图中的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出
答案．
【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、二、三象限，
∴ ，
∴
∵二次函数 对称轴为直线 ，
∴二次函数 的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴左侧，故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关
键．
二次函数图象与各项系数符号
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）二次函数 的图象如图所示，对称轴是
直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ （ 为实
数）．其中结论正确的为（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点位置判断①，由 与 的关系及
时 可判断②，利用 ，根据 时 ，
时 可判断③，由 时 取最小值可判断④．
【详解】解 抛物线开口向上，
,
抛物线对称轴为直线
,
抛物线与 轴交点在 轴下方,
，故①正确．时, ,故②正确．
,
且 ， ,
，故③正确．
时， 为最小值，
,故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与
方程及不等式的关系．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）已知二次函数 的图象大致如图所
示．下列说法正确的是（ ）
A．
B．当 时，
C．
D．若 在函数图象上，当 时，
【答案】B
【分析】根据二次函数的系数与图像的关系解答即可；
【详解】根据对称轴为直线 可得：故 ，故A错误；
根据函数图像可得当 时， ，故B正确；
当 时， ，故C错误；
若 在函数图象上，只有当 时， ，故D错误；
故选B
【点睛】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质
的相关知识点．
2．（2023上·四川广元·九年级统考期末）如图，已知抛物线 （ 为常数，
）经过点 ，且对称轴为直线 ，有下列结论： ； ； ；
④无论 取向值，抛物线一定经过 ；⑤ ．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出 的正负
②根据对称轴公式 ， 判断 的大小关系
③根据 时， ，比较 与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大
小即可判断结论．
【详解】解：①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知 ，图像与y轴交点位于x轴下方，可知
故①正确；
② 得
故②错误；
③ 经过
又由①得
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等
当 时 ，即
即
经过 ，即经过
故④正确；
⑤当 时, , 当 时,
函数有最小值
，又 ，
化简得 ，
故⑤正确．
综上所述： 正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
利用二次函数求线段最值问题
例题：（2023下·陕西西安·九年级统考期末）如图，抛物线 经过 、 两
点，点E是线段 上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数求函数解析式即可；
（2）设 ，利用待定系数法求直线 的解析式为 ，由
轴，可得 ，从而可得 ，即可求解．
【详解】（1）解：把 、 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设 ，设直线 的解析式为 ，
代入点 、 ，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值为 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数最值，熟练掌握用待定系数法求函数解析
式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：
的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q： 的
图象关于原点中心对称．(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线
段DE长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符
合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 最大值为
(3) 或 或 或
【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称
即可得点A、B、C坐标，即可求抛物线P；
（2）设 得表达式为 ，将点B、C代入得 ，设 ，则
，表示出 及可求解；
（3）对称轴与x轴交于点F， 得对称轴为 ，判断 ，分① ，
② 两种情况求解即可；
【详解】（1）解：当 时， ，
∴抛物线Q与y轴的交点为 ，当 时， ，
解得： 或 ，
∴抛物线Q与x轴的交点为 ，
∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，
∴ ，
将点A、C代入 中得 ，
解得： ，
∴ ．
（2）设 的表达式为 ，
将点B、C代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则 ；
，
∴ 最大值为 ．
（3）对称轴与x轴交于点F，
∵ 的对称轴为 ，
∴ ，
①当 时， 是等腰三角形，，
∴ 或 ．
②当 时， 是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
∴ 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解
题的关键．
2．（2023上·河南信阳·九年级校考期末）如图，抛物线 交 轴于 ，
两点，与 轴交于点 ，连接 ， ． 为线段 上的一个动点，过点 作 轴，交
抛物线于点 ，交 于点 ．
(1)求抛物线的解析式．(2)过点 作 ，垂足为点 ，设 点的坐标为 ，请用含 的代数式表示线段
的长．
(3)求出 为何值时 有最大值，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)当 时， 有最大值，
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点C坐标为 ，得到 ，求得 ，结合 轴,
,得到 ， ，根据勾股定理得到 ．再求出直线
的表达式为 ，根据点P的横坐标为m，得到 ，进而得到 ；
（3）先将 配方为 ，根据抛物线的性质
即可求出当 时， 有最大值， ．
【详解】（1）解：∵抛物线 交x轴于 ， 两点，
∴ ，
解得， ，∴此抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图，抛物线 ，当 时， ，
∴点C坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴,
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设直线 的表达式为 ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ 点的坐标为 ， 轴,
∴点P的横坐标为m，
∴ ， ，∵点P在点Q的上方，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值， ．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形
的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟知相关知识，理解函数图象上点的坐标特点是解
题关键．
利用二次函数求周长最值问题
例题：（2023上·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B
两点，并与直线 交于B，C两点，其中C是直线 与y轴的交点，连接 ．(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)求证： 为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当 的周长最小时，求出点P的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析
(3)点P的坐标为
【分析】（1）先由直线 与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代
入 列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形；
（3）因为 的长为定值，所以当 的值最小时，则 的周长最小，当点P与点E重
合时， 的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：直线 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时， ，
∴ ， ．
∵抛物线 经过点 和点 ，∴ ，解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）证明：已知抛物线 ，
当 时，则 ，
解得 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ．
如图，设抛物线的对称轴 ： 与直线 交于点E，点P是直线 上的点，连接 ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 为定值，
∴当 的值最小时， 的周长最小．
∵ ，
∴当点P与点E重合时， ，
∴此时 最小．
∵直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∴当 的周长最小时，点P的坐标为 ．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系
式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，
难度较大，属于考试压轴题．
【变式训练】
1．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ，抛物线的对称轴为直线 ，点 坐标为 ， 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2) 为该抛物线对称轴上一动点，当 的周长最小时，求点 的坐标．
(3)当函数 的自变量 满足 时，函数 的最小值为3，求 的值．
【答案】(1)
(2)当 的周长最小时，点 的坐标为
(3)满足条件的 的值为 或4
【分析】（1）根据点 和抛物线的对称轴求出点 的坐标，再把 ， 两点的坐标代入
求解即可；
（2）连接 交直线 于点 ，此时 的周长最小，根据 ， 两点求出直线 的解析式，
再把 代入求解，即可得出点 的坐标；
（3）分三种情况：①当 时；②当 时；③当 时；分别进行求解即可．
【详解】（1）∵点 与点 关于直线 对称，
∴点 的坐标为 ，
把点 ， 代入 ，得
，解得 ，∴抛物线的解析式为 ；
（2）∵点 ， 关于直线 对称，
∴如图，连接 交直线 于点 ，此时 的周长最小，
令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 ， ，得
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴当 的周长最小时，点 的坐标为 ；
（3）①当 时，即 ，此时y随着x的增大而减小，
当 时， 有最小值，
即 ，解得 或 （舍去）；
②当 时，此时y随着x的增大而增大，
此时当 时， 有最小值，
即 ，解得 或 （舍去）；③当 时，此时当 时， 有最小值为 ，不符合题意，舍去．
综上所述，满足条件的 的值为 或4．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，熟练掌握数形结合的解题方法是解题的关键．
2．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线 为对称轴
的抛物线 与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是 ．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴
的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接 ， ， ，使得 的周长最小，求F
点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由抛物线 的对称轴为直线 ，点B的坐标是 ，利用抛物线的
对称性可得答案；
（2）利用待定系数法先求解抛物线的解析式即可；
（3）先求解原抛物线的顶点坐标为 ，再求解平移后的抛物线的解析式为 及点E
的坐标，取 关于 轴对称的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，则，此时周长最短，再利用一次函数的解析式可得
答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，点B的坐标是 ．
∴ 的横坐标为： ，
∴ ．
（2）∵抛物线 的对称轴为直线 ，点B的坐标是 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
（3）∵抛物线为 ，
∴ ，
将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，设平移后的抛物
线为： ，
∴ ，即 ，
∴平移后的抛物线为： ，
令 ，则 ，
解得： ， ，即 ，
如图，取 关于 轴对称的对称点 ，连接 ，交 轴于 ，
则 ，此时周长最短，
设 的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是抛物线的对称性的应用，求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，抛物线
的平移，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值时点的坐标，掌握抛物线的相关知识是解本
题的关键．
利用二次函数求面积最值问题
例题：（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于
， 两点．(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 的面积最大值为8，此时点 的坐标为
【分析】（1）将 代入直线 可得a的值，再将A，C两点代入抛物线
即可解答；
（2）过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点Q，设
出点P的坐标，利用 即可解答．
【详解】（1）解：将 代入 并解得 ，
∴点 的坐标为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点
Q，设点P的坐标为 ，
则点F的坐标为 ，
，
又∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
，
，
又∵ ，
∴当 时， 的面积取最大值，最大值为8，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，解题的关键
是利用数形结合以及函数思想相结合．
【变式训练】1．（2023上·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数 的图象过点 、
．
(1)求b、c的值；
(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的
坐标；
(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当 的面积最大时，求点Q的坐标．
【答案】(1) ，
(2)直线 的解析式为： ，
(3)
【分析】（1）把点 、 代入 中，解方程即可得到结论；
（2）在 中，当 时， ，得到 ，设直线 的解析式为 ，求
得直线 的解析式为 ，于是得到结论；
（3）设 ， 的面积为S，连接 ， ， ，根据图形的面积即可得到
结论．
【详解】（1）把点 、 代入 中，解得
∴ ，
（2）在 中
令 ，则
∴
设直线 的解析式为 ，
∴
∴
∴直线 的解析式为：
∴二次函数 的对称轴为
∴当 时，
∴
（3）设 ， 的面积为S
连接 ， ， ，
则又∵
∴
当 时，
此时
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确
的作出辅助线是解题的关键．
2．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线 经过点
， ，与 轴正半轴交于点 ，且 ，对称轴交 轴于点 ．直线
经过 ， 两点．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)点 是直线 上方抛物线上一点，是否存在点F使 的面积最大，若有则求出点F坐标及
最大面积；
(3)连接 ，若点 是抛物线上对称轴右侧一点，点 是直线 上一点，试探究是否存在以点E
为直角顶点的 ，且满足 ．若存在，求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式 ；直线 的表达式(2)F的坐标为 ； 最大值为4
(3)P点坐标为 或
【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）过点F作 轴，交 于点Q，设点F的坐标为 ，点Q的坐标为
，用m表示出 的面积为 ，得出当 时， 有最大值，
且最大值为4，求出点F的坐标即可；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐
标，代入 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，C点坐标为 ，
∵抛物线 经过点 ， ，可设解析式为： ，
把 代入，得 ，
解得， ，
抛物线解析式为 ，
即 ，
设 的解析式为 ，把 ， 代入，
得 ，
解得 ，∴ 的解析式为 ；
（2）解：过点F作 轴，交 于点Q，如图所示：
设点F的坐标为 ，则点Q的坐标为 ，
∴ ，
∴
，
∴当 时， 有最大值，且最大值为4，
此时点F的坐标为 ；
（3）解：由（1）得， ，
∴ ，
作 于M， 于N，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
如图1，设P点坐标为 ，
则 ， ， ， ，
则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；
如图2，设P点坐标为 ，
同理可证得： ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ，则Q点坐标为 ，
代入 ，得 ，
解得， ， （舍去），
把 代入 ，得， ，
故P点坐标为 ；
综上，P点坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角
形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性
质表示出其他点的坐标，列出方程．
一、单选题1．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）在抛物线 上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把点的坐标逐一代入函数的解析式，相等就是在抛物线上．
【详解】∵ ，
故A不符合题意；
∵ ，
故B不符合题意；
∵ ，
故C符合题意；
∵ ，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点与图像的关系，熟练掌握判定的基本方法是解题的关键．
2．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）画二次函数 的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 5 …
y … 0 1 0 …
关于此函数有下列三个结论：①函数图象开口向上；②当 时，y随x的增大而减小；③当
时， ；其中正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先由表中数据可知， 随 的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用 时，
或 ，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线 和
时 得到 时的函数值．
【详解】解：由表中数据可知， 随 的增大先增大后减小，函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
时， 或 ，
函数的对称轴为直线 ，
开口向下，
当 时， 随 的增大而减小，故②正确，符合题意；
对称轴为直线 ，当 时 ，
时， ，故③正确，符合题意；
故选： ．
【点睛】本题考查了二次函数的表示、二次函数的性质，解题的关键是学会读表．
3．（2023上·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线 （ 为整数）与
轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当 时，可求得 为 ，由 可得 为 或 ，
将 的坐标代入 ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当 时， ，
抛物线与 轴的交点 为 ，
，
抛物线与 轴的交点 为 或 ，
或 ，
或 ，或 或 或 ，
解得： 或 或 ，
为整数，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与 轴、 轴的交点坐标，熟练掌握二
次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2023上·山西运城·九年级统考期末）二次函数 的图像如图所示，则一次函数
的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像可以判断a、b、c的符号，从而可以确定一次函数 的图像经过的象
限，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图像可得，∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数
的性质和数形结合的思想解答．
5．（2023上·广西防城港·九年级统考期末）下列关于二次函数 （m为常数）
的结论：
①该函数的图象与函数 的图象形状相同；
②该函数图象的顶点在函数 的图象上；
③当 时，y随x的增大而减小；
④该函数的图象一定经过点 ．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数的图象与函数 的图象形状相同，①正确；
∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∴该函数图象的顶点在函数 的图象上，②正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为 ，
∴ 时，y随x增大而减小，③不正确；
将 代入 得 ，
∴抛物线经过 ，④正确；
故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的
顶点式．
二、填空题
6．（2023上·江苏常州·九年级统考期末）二次函数 的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】将解析式化为顶点式，然后根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可．
【详解】解：
．
所以顶点坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标
是解题的关键．
7．（2023上·湖南长沙·九年级统考期末）将抛物线 向右平移1个单位，再向上平
移4个单位，就得到抛物线 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规律，上加下减，左加右减，即可求解．
【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移4个单位，就得到抛物线
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．8．（2023上·山西运城·九年级统考期末）点 是抛物线 ： 上一点，将抛物
线 平移，得到抛物线 ： ，点P平移后的对应点为点 ，则点 坐标为
．
【答案】
【分析】根据顶点式得到平移规律，即可求解．
【详解】解：将抛物线 ： 平移，得到抛物线 ： ，
平移规律为向左平移4个单位，向下平移3个单位，
则点 平移后的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数图象的平移确定平移是解答此题
的关键．
9．（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）二次函数 的部分图象如图所示，对
称轴x= 为且经过点（2，0)，下列说法：①abc<0；②-2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若（ ），
（ ）；是抛物线上的两点，则 ⑤ 其中正确的结论
有 ．
【答案】 /
①② ②①
【分析】抛物线开口向下，且交 轴于正半轴及对称轴为 ，推导出 ， 、 以及
与 之间的关系： ；根据二次函数图象经过点 ，可得出 ；再由二次函数的对称性，当 时，距离对称轴越远 所对应的 越小；由抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
可知当 时， 有最大值．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
，①正确．
抛物线经过 ，对称轴为直线 ，
抛物线经过 ，即 ，②正确．
时， ，
③不正确．
，
， 到对称轴距离小于 ， 到对称轴距离，
，④不正确．
抛物线开口向下，对称轴是直线 ，
当 时，抛物线 取得最大值 ，
当 时， ，且 ，
即 ，
故⑤不正确，
综上，结论①②正确，
故答案为：①②．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次
函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．
10．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）在平面直角坐标系中，设二次函数
，其中 ．
（1）此二次函数的对称轴为直线 ；
（2）已知点 和 在此函数的图象上，若 ，则 的取值范围是 ；
【答案】 /0.5
【分析】（1）根据二次函数 ，经过 和 ，是对称点，算出对称轴
即可；
（2）根据对称轴为直线 ，点 和 在二次函数 的图象上，画出
函数图象，点 关于对称轴的对称点 ，分析图象，写出 的取值范围即可．
【详解】（1） 二次函数 ，
函数经过 和 ，是对称点，
对称轴为直线 ，
故答案为：
（2） 二次函数 ，
二次项系数为 ，
函数图象开口向上，
又 和 在此函数的图象上，对称轴为直线 ，
画出图象如下图，点 关于对称轴的对称点 横坐标 ，，
点 应在线段 下方部分的抛物线上（包括点 、 ），
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
三、解答题
11．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方
抛物线上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为 ，根据 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴
上，得出 ，根据 ，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线
上时， 最小，即 最小，求出最小值即可；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，则
，求出 ，得出当 时， 取得
最大值 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将点A， 的坐标代入 ，得
，
解得： ，
∴ ．
（2）解：把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，
∴ ，∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当点A、M、C在同一直线上时， 最小，即 最小，
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将点A， 的坐标代入，得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，其中 ，
则 ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值 ，即 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的
性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
12．（2022上·山东青岛·九年级统考期中）如图，抛物线 与x轴交于点
，点 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)P是第四象限内抛物线上的动点，求 面积S的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接 交对称轴于点Q，推出当C、B、Q三点共线时， 的周长最小，求出直线
的解析式为 ，则 ；
（3）过点P作 轴于点D．设点P坐标为 则，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将点 ，点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴
（2）解：连接 交对称轴于点Q，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵A、B关于对称轴 对称，
∴ ，
∴ ，
当C、B、Q三点共线时， 的周长最小，
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ；（3）解：过点P作 轴于点D．设点P坐标为
则
∴当 时， ．
此时
所以求 面积S的最大值为 ，P点的坐标 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路
径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．13．（2023下·海南海口·八年级海师附中校考期末）如图，已知抛物线 经过点
和点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线上的一动点（点 在直线 的下方），过点 作 轴，交直线 于点 ．
设点 的横坐标为 ，求线段 的长（用含 的代数式表示）；
(3)在（2）的条件下，连接 、 ，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）将 ， 代入 ，求出 、 的值即可；
（2）根据 ， 两点坐标求出直线 的解析式，结合点 的横坐标为 ， 在抛物线上求出点
的纵坐标，再根据 轴，点 在直线 上，求出点 的坐标，再求出线段 的长；
（3）设 的面积为 ，根据 ，用含 的式子表示出 ，再根据二次函数
的性质求出 取最大值时 的值，从而求出点 的坐标．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得解得：
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴直线AB的方程为： ，
又∵过点 作 轴，交直线 于点 ，点 的横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）设 的面积为S，由（2）得： ，则
∵
∴ 时，S取最大值 ，
∴故 的面积最大时，点 的纵坐标为： ；
∴故 的面积最大取最大值 时，点 的坐标 ， ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质以及包含的线段和面积问题，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解题的关键．
14．（2023上·湖北咸宁·九年级统考期末）如图，已知抛物线 经过 、
两点，其对称轴与x轴交于点C．
(1)求该抛物线和直线 的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得 的周长最小，求出P点的坐标；
(3)设抛物线与直线 相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得 的面积等于
的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点P的坐标为 时， 的周长最小
(3)存在， 或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线 的解析式即可；
（2）求出点 关于抛物线对称轴的对称点 的坐标为 ，连接 ，交直线 于一点，
当点P正好位于该点时， 的周长最小，求出直线 的解析式，把 代入解析式即可求出
点P的坐标；
（3）过点Q作 轴交 于点E，求出点D坐标为 ，得出 ，求出直线 的解析式为 ，设点 的坐标为 ，则 ，根据两个三角形面积相
等，列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：将 、 代入抛物线解析式，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为： ，
其对称轴为： ，
故点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
将点B、点C的坐标代入可得： ，
解得： ，
故直线 的解析式为 ；
（2）解：抛物线的对称轴为直线 ，
点 关于抛物线对称轴的对称点 的坐标为 ，
连接 ，交直线 于一点，当点P正好位于该点时， 的周长最小，
设直线 的解析式为： ，把 和 代入得： ，解得： ，
即直线 的解析式为 ，
把 代入直线 的解析式求得点P的坐标为 ．
即点P的坐标为 时， 的周长最小．
（3）解：存在；
过点Q作 轴交 于点E，如图所示：
联立 ，
解得： ， ，
∴点D坐标为 ，
∵ ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点Q的坐标为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，将军饮马问题，三角形面积的计算，
解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法．
15．（2023上·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，
，与 轴交于点 ，连接 ，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），过点
作 轴交抛物线于点 ．(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点 在 上方运动时，求 面积的最大值．
(3)已知点 是抛物线对称轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值
时，是否存在这样的点 ， ，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)8
(3)存在，
【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴的计算公式进行求解即可；
（2）求出直线 的解析式，设点 ，利用 ，列出二次函数解析
式，求最值即可；
（3）利用菱形的性质，得到 ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ， ，
则抛物线的解析式为： ；
∴抛物线的对称轴为直线 .
（2）∵ ，当 时， ；∴ ，
设直线 的解析式为： ，代入 ，得： ，
∴ ，
设 ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 面积的最大值为 ；
（3）存在；
由（2）可知：
∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
设： ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
∴ ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用数形结
合的思想进行求解．
