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期末重难点真题特训之易错必刷题型（99题33个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、求二次根式的值
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当 时，二次根式 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时， ＋1的值最小，为 ；
（2）当a为 时， 的值最大，为 ．
3．（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足 ，求 的值．
易错必刷题二、二次根式有意义的条件
1．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）要使二次根式 有意义，则整数 的值可以为 （填写一
个整数值即可）．
3、（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 满足 ，求 的值．
易错必刷题三、二次根式的化简求值
1．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知 ，化简二次根式 的结果是（ ）A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知 ，化简 的结果是 ．
3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）求代数式 的值，其中 ，如图是小亮和小芳的
解答过程：
(1)__________的解法是错误的；
(2)求代数式 值，其中 ．
解：原式 解：原式
易错必刷题四、二次根式的运算
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东揭阳·一模）计算： ．
3．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）（1）计算： ．
（2）计算： ．
易错必刷题五、分母有理化
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）我们知道形如 ， 的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数．如： ， ．这样
的化简过程叫做分母有理化．我们把 叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式．利用有
理化因式，可以得到如下结论：① ；②设有理数a，b满足 ，则
；③ ；④已知 ，则 ；以
上结论正确的有（ ）
A．①③ B．①② C．①④ D．③④
2．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分母有理化： ．
3．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分
析与解答的：
因为 ，所以
所以 ，即 ．所以 ．
所以 ．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： ______；
(2)计算： ；
(3)若 ，求 的值．
易错必刷题六、勾股定理的证明方法1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾
股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（
）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边 满足的关系 ，我
国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释
直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号）
3．（23-24八年级下·广西玉林·期中）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一
个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定
理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以
下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ，求
证：证明：连接 ，过点D作 交 延长线于点F，则
又∵
∴
请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中 ，求证： ．
易错必刷题七、用勾股定理解三角形
1．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，两个边长为1的正方形整齐地排列在数轴上形成一个大的长
方形，以O点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·北京·期中）若直角三角形两条直角边的边长之和为17，面积是30，则该直角三角形
的斜边长为 ．
3．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在 中， ， 于点 ， ，求
的长．易错必刷题八、勾股定理与折叠问题
1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折
叠，使点 与点 重合，则 的长度为 ．
3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图， 中， ， ， ，将
折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，求线段 的长．易错必刷题九、勾股定理的应用
1．（23-24八年级下·河北·期中）如图，一个长为 的梯子 斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端
距墙 ，若梯子的顶端下滑 至点 处，则梯子的底端滑动的距离 为（ ）
A．4m B．6m C．8m D．15m
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端
落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米．
3．（23-24八年级下·河南周口·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不
按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁
选取一点P，在公路l上确定点 ，使得 ， 米， ．这时，一辆轿车在公路l
上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得 ．此路段限速每
小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据： ）．
易错必刷题十、勾股定理的最短路径问题
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为 ，点 为一条棱
的中点，蚂蚁在正方体表面爬行，从点 爬到点 的最短路程是（ ）A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，点 是正方体的一个顶点，点 是正方体一条棱的中点，已
知正方体的棱长为3cm．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从 点爬到 点，需要爬行的最短距离为
．
3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的
长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一
个边长为 的等边三角形，求一只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接 ．
(1)线段 的长即蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程，依据是______；
(2)问题解决：求出这只蚂蚁从点 处到达点 处需要走的最短路程．
易错必刷题十一、勾股定理的逆定理
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．2．（23-24八年级下·广西河池·期中）若a，b，c是 的三边，且 ，则
的面积为 ．
3．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）边长为1的正方形的顶点称为格点，如图1，图2中点A，B，
C，D，E均为格点．
(1)在图1中， 的度数为______；
(2)如图1，请仅用无刻度直尺作图，在 上取一点M，使 ；
(3)在图2中，请仅用无刻度直尺作图，作 ， ，并直接写出 的面积为______．
易错必刷题十二、平行四边形的性质
1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）周末乐乐去爸爸的机械加工厂帮忙，发现了爸爸新注册的机械加工
商标如图，在平行四边形 中， 平分 ， ，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形 中， 平分 ，交 边于 ，
， ，则 的长为 ．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 中，点 、 在 上， ， ．(1)求证： ；
(2)求证： ．
易错必刷题十三、平行四边形的判定
1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在四边形 中，对角线 ， 相交于点O，将下列条
件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（ ）组．（1） ；（2） ；
（3） ；（4）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以
表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在 中， ， ， ，
D是 的中点，则 的长为 ．
3．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在平行四边形 中，F是 的中点，延长 到点E．使
，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ．求 的长．易错必刷题十四、三角形的中位线
1．（23-24八年级下·湖北荆门·期中）如图，在四边形 中， 为对角线， ， ，E、
F分别是边 的中点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在 中， ，在边 上截取 ，连接
，过点A作 于点E．已知 ，如果F是边 的中点，连接 ，那么 的长
是 ．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， ， 平分 ， ，
延长 交 于点 ， 是 的中点，求 的长．易错必刷题十五、矩形的性质
1．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）如图，在矩形 中对角线 、 相交于点 ，
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，E、F、G、H分别是矩形 各边的中点，且四边形
的周长为 ，则矩形 的对角线 的长为 ．
3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，矩形 的对角线 相交于点 ，点 ， 在
上，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求矩形 的面积．
易错必刷题十六、矩形的判定
1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形 是平行四边形， 是它的两条对角
线，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①
；② ；③ ；④ 中的一个，能使平行四边 为矩形的条件的序
号是 ．
3．（23-24九年级上·陕西汉中·阶段练习）如图,在 中,点E,F分别在 , 上,连接 , , ,
,且 ．请从以下三个选项中:① ;② ;③ ,选择一个合适的选项作为已知
条件,使四边形 是矩形．（不再添加其他线条和字母）．
(1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可）
(2)添加条件后,请证明四边形 是矩形．
易错必刷题十七、菱形的性质
1．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，在菱形 中， ， ，E、F为垂足，
，则 等于（ ）A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）如图，在菱形 中， ， ，则边 上的高
的长是 ．
3．（23-24八年级下·广西防城港·期中）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的面积．
易错必刷题十八、菱形的判定
1．（2024·上海金山·二模）在四边形 中， ， ，对角线 、 相交于点 ．下
列说法能使四边形 为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点O．（1）添加一个条件 ，则可判定四边形 是菱形；
（2）若 ， ，则 与 的周长之差为 ．
3．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平行四边形 中，F是对角线的交点，E是边 的中
点，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 与 满足________时，四边形 是菱形，并证明你的结论；
易错必刷题十九、正方形的性质
1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）在正方形 中，E是对角线 上一点，且 ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形 中，点E，F分别是 的中点，
相交于点M，G为 上一点，N为 的中点．若 ，则线段 的长度为
．3．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，在 中， ， 于 ，将 沿
折叠为 ，将 沿 折叠为 ，延长 和 相交于点 ．
(1)求证：四边形 为正方形；
(2)若 ， ，求 的长．
易错必刷题二十、正方形的判定
1．（2024·湖南岳阳·一模）如图，在菱形 中，对角线 、 交于点 ，添加下列一个条件，能
使菱形 成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，不添加任何
辅助线，请你添加一个条件 ，使四边形 是正方形（填一个即可）．3．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在 中， ，D点是 的中点，
分别是 的角平分线．
(1)请直接写出 之间的数量关系： ；
(2)求证：四边形 是矩形；
(3)当 满足条件 时，四边形 是正方形．（直接填空即可）
易错必刷题二十一、中点四边形
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形 中， 、 、 、 分别是边 、 、
、 的中点．请你添加一个条件，使四边形 为菱形，应添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形 中， ，连接 ，点 、 、 、
分别为 、 、 、 的中点，若 ， ，则四边形 的周长为 ．3．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA
的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方
形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
矩
四边形ABCD 菱形 正方形
形
平行四边形EFGH
易错必刷题二十二、变量与函数
1．（23-24七年级下·陕西西安·期中）第四届铁一陆港运动会男子100米决赛在风雨操场上进行，随着一
声发令枪响，健儿们像离弦的箭一般冲了出去．看着赛场上激烈的角逐，求知小组的同学也展开了激烈的
讨论：声音传播的速度和什么有关系呢?好学的小陆同学利用五一假期查阅资料，找到声音在空气中传播
的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度
声速
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快C．当空气温度为 时， 声音 可以传播
D．当温度每升高 ， 声速增加
2．（23-24八年级下·河北张家口·期中）某同学参加了马拉松7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每
分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为y公里，则y与x的函数表达式是 ．
3．（23-24七年级下·河北保定·期中）莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如
每根立柱宽为 米，立柱间距为3米．
立柱根数 1 2 3 4 5
护栏总长度
（米）
(1)根据如图所示，将表格补充完整；
(2)设有 根立柱，护栏总长度为 米，则 与 之间的关系式是______．
(3)求护栏总长度为93米时立柱的根数？
易错必刷题二十三、函数的图象
1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）“行走是吾乡”2023河南省自行车公开赛暨环中原自行车公开赛在
南水北调中线工程渠首激情开赛，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图
所示，有下列说法：其中，错误的说法是（ ）
A．甲比乙先到达终点 B．第1小时两人都跑了21千米
C．起跑后1小时内，甲在乙的前面 D．两人都跑了 千米
2．（23-24八年级下·北京西城·期中）甲、乙两车从 地开往 地，全程 ；所行的路程与时间的函数图象如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发 ；②甲车用 追上乙车，此时乙车行驶 ；③
乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用 ；以上正确的序号是 ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要
买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去
舅舅家所用的时间与离家距离之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小红家到舅舅家的距离是_______米，小红在商店停留了_______分钟；
(2)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了_______米，一共用了_______分钟．
(3)请再写出一条从图中得到的信息：________．
易错必刷题二十四、正比例函数
1．（2024·陕西西安·模拟预测）正比例函数 图象上一点P到x轴的距离与y轴距离之比为2，
且y的值随x值的增大而减小，则k的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点 ， 都在正比例函数 的图象上，则（填“ ”“ ”或“ ”）．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知 与 成正比例，且当 时， ．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设点 在（1）中函数的图象上，求a的值．
易错必刷题二十五、求一次函数的自变量或函数值
1．（23-24七年级下·山东威海·期中）如果函数 与 的图象相交于x轴上，那么
（ ）
A． B． C． D．
2、（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知两点 ， 均在直线 上，则
．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知y是x的一次函数，且当 时， ；当 时， ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若点 在该一次函数的图象上，求a的值．
易错必刷题二十六、求一次函数解析式
1．（2024·陕西咸阳·二模）如图，若直线 与x轴交于点 ，与y轴正半轴交于点B，且
的面积为6，则该直线的解析式为（ ）A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·湖北鄂州·期中）已知一次函数 (k，b为常数，且 )的图象经过点 ，
且y随x的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式： ．
3．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知 ， 与 成正比， 与x成正比．当 时，
；当 时，
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当 时，求y的值；
易错必刷题二十七、一次函数的平移问题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数 的图像向下平移 个单位长
度后得到一个正比例函数的图像，若点 在一次函数 的图像上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形 的边 在 轴的正半轴
上，点 和点 的坐标分别为 、 ，过点 的正比例函数 图象上有一点 ，使得点 为
的中点，将 的图象沿 轴向下平移得到 的图象，若点 落在长方形 的内部，则 的取
值范围是 ．3．（23-24八年级下·河南南阳·期中）已知y与x的函数关系式为
(1)若y是x的正比例函数，求m的值；
(2)若函数 的图象过点 ，求m的值，并写出这个函数的解析式；
(3)若将（2）中的函数图象向上平移3个单位长度经过点 ，求n的值．
易错必刷题二十八、一次函数的增减性
1．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）一次函数 ，函数y随x的增大而减小，且其图象不
经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北黄石·模拟预测）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则m的取值范围为
．
3．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数 ，求：
(1) 为何值时， 随着 的增大而减小？
(2) 为何值时，函数图象与 轴的交点在 轴下方？
(3) 为何值时，图象经过第一、三、四象限？
易错必刷题二十九、一次函数与方程1．（23-24七年级下·山东威海·期中）直线 与 的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，直线 与直线 交于点 ，则方程组
的解是 ．
3．（23-24八年级下·北京·期中）已知：直线 与 平行，且经过点 ．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线 与直线 相交于点C，求点C的坐标；
(3)求直线m，直线n与x轴围成的三角形面积．
易错必刷题三十、一次函数与不等式
1．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）一次函数 （a，b是常数， ）的图象经过点 和点
，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 ，（k，b是常数）经过点 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图象，
分别与 轴交于点 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点B坐标为 ，观察图象并回答下
列问题：
(1)关于 的方程 的解是______；关于 的不等式 的解集是______；
(2)直接写出关于 的不等式组 解集是______；
(3)若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是______．
易错必刷题三十一、一次函数的实际应用
1．（2024·江苏扬州·一模）漏刻（如图）是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现
了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（ ）是时间t（ ）的一次函数，下表是李明记录的部分数据，其中有一
个h的值记录错误，错误的h值为（ ）
t（min） … 2 4 7 12 …
h（cm） … 1.8 2.6 4.2 5.8 …
A．1.8 B．2.6 C．4.2 D．5.8
2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，直线 分别交x轴、y轴于A，B两点，C是线段
上一点， ，则点C的坐标为 ．
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创
饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 200
乙 300
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
(1)求 的值；
(2)商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件．
①求销售完这两种饰品的最大利润；
②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低 元 ，甲种饰品的售价不变，为保
证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求 的最大值．易错必刷题三十二、数据的集中趋势
1．（2024·辽宁大连·一模）已知一组数据如下：12，15，19，8，6，10，则这组数据的中位数为（ ）
A． B． C．11 D．9
2．（2024八年级下·全国·专题练习）某学校规定学生的音乐成绩由三项组成：乐理知识占 ，演唱技
能占 ，乐器演奏占 ，该校小颖同学乐理知识、演唱技能、乐器演奏三项的得分依次是：95分，
90分，85分，则小颖同学的音乐成绩为 分．
3．（2024·陕西西安·二模）西安市某校为了了解本校九年级全体学生“体育中考项目”的锻炼情况，随机
抽查了本年级部分学生的体育测试成绩.并将抽查的测试成绩分为 四个等级．【 ：60分至54
分为优秀（含54分）； ：53.9分至45分为良好（包含45分）； ：44.9分至30分为合格（包含30
分）； ：29.9分及以下为不合格】．
如图是根据调查结果进行数据整理后绘制的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2)本次调查中，体育测试成绩的中位数落在 等级；
(3)若该校九年级共有1150名学生，达到良好及以上的学生约有多少人？
易错必刷题三十三、数据的波动程度
1．（2024·福建南平·二模）甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8
环，方差是 ；乙射击成绩的平均数是8环，方差是 ，且甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则下列判断一定正确的是（ ）
A． 为正数 B．a小于b
C．甲、乙成绩的众数相同 D．甲、乙成绩的中位数相同
2．（2024·山东德州·一模）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都
是7，设甲、乙两组数据的方差分别为 ，则 ．（“ ”“ ”或“ ”）．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销
售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，
打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关
评价，并整理、描述、分析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计量 快递公
司 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数为______；
(2)表格中的 ____， _____ （填“ ”“ ”或“ ”）；(3)综合表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择哪家公司？请说明理由．
