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专题05 截长补短模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）如图①， 和 是等腰三角形，且 ， ，
， ，以 为顶点作一个 角，角的两边分别交边 ， 于
点 、 ，连接 ．
（1）探究 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）若点 、 分别在 、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则 、 、
之间存在什么样的关系？并说明理由．
例2.（培优综合）如图1，在四边形 中， ，，它的两边分别交 点 ．且 ．
求证：
如图2，当 的两边分别交 的延长线于点 ，其余条件均不变时， 中
的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段 又有怎样的数量关系？
并证明你的结论．
例3．（培优综合）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，
并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数
（要求：画图，写思路，求出度数）．
【变式训练1】如图，已知 中， ，D为 上一点，且
，则 的度数是_________．【变式训练2】在四边形 中， 是 边的中点．
（1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的
数量关系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、
、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【课后作业】
1．如图， 为等边三角形，若 ，则__________（用含 的式子表示）．
2．如图，正方形 中， 是 的中点， 交 外角的平分线于 ．
（1）求证： ；
（2）如图，当 是 上任意一点，而其它条件不变， 是否仍然成立？若成立，
请证明，若不成立，请说明理由．
3．如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为
AB、AD上的动点，且 ．求证： ．4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线
段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作
DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．6．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于
D．求证：AD+BC=AB．
7．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝
60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF
＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段
HG、CF、BD的数量关系为 ．
