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专题05 截长补短模型
【模型说明】
【例题精讲】
例1．（基本模型）如图①， 和 是等腰三角形，且 ， ，
， ，以 为顶点作一个 角，角的两边分别交边 ， 于
点 、 ，连接 ．
（1）探究 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）若点 、 分别在 、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则 、 、
之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．
【详解】（1） 和 是等腰三角形，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG
在 和 中， BG=CF，
，
在 和 中，
DE=DE，
，
（2）在CA上截取CG=BE,连接DG
是等腰三角形，在 和 中，
CG=BE，
在 和 中，
FD=FD，
例2.（培优综合）如图1，在四边形 中， ，
，它的两边分别交 点 ．且 ．
求证：
如图2，当 的两边分别交 的延长线于点 ，其余条件均不变时， 中
的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段 又有怎样的数量关系？
并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解
【详解】 证明：延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示：
，，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
；
（2）不成立，AE=CF+EF，理由如下：
在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示：
，
，
∵AB=CB，∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵ ，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，
∴∠EBF=∠EBH，
∵EB=EB，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴CF=AH，EF=EH，
∵AE=AH+HE，
∴AE=CF+EF．
例3．（培优综合）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则
∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，
并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数
（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1） ；（2） ，见解析；（3）44°或104°；详见解析．
【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵AD为 ABC的角平分线，即 ，
∴ ；
△
∴
（2）如图2，
在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即 ，
∴ ，
设 ，则 ；
又∠BAC＝24°，AD为 ABC的角平分线，
∴ ，
△
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，∴ ；
当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；
当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；
如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，
∴AG+AC＝EC，即 ，
∴ ，
设 ，则 ；
又∵∠BAC＝24°，AD为 ABC的角平分线，
∴ ，
△
又∵ ，∴ ， ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS），∴ ，
∴ ，解得： ，∴ ．
∴∠ACB的度数为44°或104°．
【变式训练1】如图，已知 中， ，D为 上一点，且
，则 的度数是_________．
【答案】20°
【详解】解：如图，延长 至点E使 ，连接 ．
∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ．∵ ，∴设 ，则 ．在 与 中，
∵ ∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
【变式训练2】在四边形 中， 是 边的中点．
（1）如图（1），若 平分 ， ，则线段 、 、 的长度满足的
数量关系为______；（直接写出答案）
（2）如图（2）， 平分 ， 平分 ，若 ，则线段 、 、
、 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋ BD，证明见解析．
【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．
∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，
∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．
∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；
（2）AE＝AB＋DE＋ BD．
证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝
ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB＝CD＝ BD．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
∴△ACB≌△ACF（SAS）．
∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．
同理可证：△ECD≌△ECG
∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．
∵CB＝CD，∴CG＝CF．
∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°−120°＝60°．
∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG＝FC＝ BD．
∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋ BD．
【课后作业】
1．如图， 为等边三角形，若 ，则__________（用含 的式子表示）．
【答案】
【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，
∵ 为等边三角形，
∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ ，BE=AD，
∴ ，
∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴ 是等边三角形，∴∠BDC=60°，
∴ ．
故答案为：
2．如图，正方形 中， 是 的中点， 交 外角的平分线于 ．
（1）求证： ；（2）如图，当 是 上任意一点，而其它条件不变， 是否仍然成立？若成立，
请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，如图；
是正方形，
；
，
，
，
∴ ，
又∵ ，
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：成立．
在 上取 ，连接 ，如图，为正方形，
，
∵BE=BH ，
， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
，
．
3．如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为
AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
【答案】见解析
【详解】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
4．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线
段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】证明：（1）∵在 ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
△
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在 ABF与 ACE中，
△ △
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴ ，
∴在 AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
△
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作
DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．【答案】（1）见解析；（2）3
【详解】解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵DE⊥BA，
∴∠DEA=∠DEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠DEA=90°，
在 ACD和 AED中，
△ △
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE；
（2）在AB上截取AM=AF，连接MD，
在 FAD和 MAD中，
△ △
，
∴△FAD≌△MAD（SAS），
∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，
∵BD=DF，
∴BD=MD，
在Rt MDE和Rt BDE中，
△ △
，
∴Rt MDE≌Rt BDE（HL），
∴ME=BE，
△ △
∵AF=AM，且AF=1.4，
∴AM=1.4，
∵AB=7.4，
∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝ BM＝3，
即BE的长为3．
6．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于
D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，在 上截取
平分
平分7．如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝
60°
（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；
（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF
＝120°，求证：HG+BD＝CF；
（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段
HG、CF、BD的数量关系为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，
∵∠BDC=60°，
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，
∴∠ACE=∠CBD，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE，
由（1）可知△AEC≌△CDB，
∴CE=BD，
∵∠ACE=60°，
∴∠AEF=120°，
∴∠AEF=∠AFH=120°，
∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，
∴∠FAE=∠HFG，
在△FAE和△HFG中，
，
∴△FAE≌△HFG（AAS），
∴GH=EF，
∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；
（3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上
位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N
∵∠BDC=60°，BM=BD，
∴△BDM是等边三角形，
∴∠DBM=∠DMB=60°，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC
∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBM，
∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，
∴∠ACE=∠ABD=∠CBM，
∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC，
在△AEC和△CMB中，
，
∴△AEC≌△CMB（AAS），
∴CE=BM=BD；
∵∠AFH=120°，
∴∠AFC+∠GFH=60°，
∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，
∴∠AFC=∠FHG，
在△AEF和△FGH中，
，
∴△AEF≌△FGH（AAS），
∴HG=EF，
∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．
故答案为：CF=EF-BD．
