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专题 05 相似三角形中的动点问题
例1．（分类讨论）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s
的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，
另一点也停止运动，设运动时间为xs．
(1)当 时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，AP＝ cm或20cm
【解析】（1）
解：当 时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴ ，
解得：x＝ ；
（2）
解：∵BA＝BC
∴ ，
①当△APQ∽△CQB时，有 ，
即： ，
解得： ，∴ （cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有 ，
即： ，
解得：x＝5或x＝－10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝ cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
例2．（函数与相似）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为
AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B
匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）
（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当PQ∥AE时，求t的值；
（2）设四边形AEPQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，
【详解】解：（1）当 时， ，
，
， ，
，，
点E与点P关于AD对称，
，
，
，
，
，
即 ，
解得：
，
舍去，故 ，
（2）过点 作 于点 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，解得 ，
，
由（1）可知 ，
，
，
四边形
，
，
（3）存在，理由如下：
当 时， 三点共线，过点 作 ，如图，
，
，
，
，
即 ，
解得 ，
，
F为AD中点，
，，
， ，
，
，即 ，
解得 （舍去， ）．
当 时， ．
【变式训练1】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿
CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，
另一个点随之停止．
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于 ？
(2)经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【答案】(1)经过4秒后， 的面积等于
(2)经过 秒或 秒， 与 相似．
【解析】（1）
解：设经过 秒后， 的面积的面积等于 ，则 ， ， ，
，
整理得 ，解得： ，
，
经过4秒后， 的面积等于 ．
（2）
解：①设经过 秒后 ，
，
，
解得 ；
②设经过 秒后 ，
，
，
解得 ；
经过 秒或 秒， 与 相似．
【变式训练2】在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 、 ，点P的坐标为 ．点
E是y轴上一动点，QP⊥EP交AB于点Q（保持点Q在x轴上方），EF⊥EQ交AB于点F．
(1)当PQ⊥AB时，求OE的长．
(2)当点E在线段OB上移动时，设AQ＝n，OE＝m，求n关于m的函数表达式．(3)点E在射线OB上移动过程中，点Q、E、F构成的三角形与△OAB相似，求出点E的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) ， ，
【解析】（1）
∵PQ⊥AB，QP⊥EP，
∴EP∥AB，
∴∠OEP＝∠OBA，∠OPE＝∠OAB，
∴△OEP∽△OBA，
∴ ，即 ，
解得 ．
（2）
如图1，过点Q作QN⊥OA．
∵ ，OB＝1，
∴AB＝3．
∴ ， ，
在Rt△AQN中， ，．
∵ ，
∴ ．
∵QN⊥OA，QP⊥EP，
∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△QNP∽△POE，
∴ ，即 ，
整理得 ．
（3）
①如图2，∠EFQ＝∠ABO时．
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，
则有△EBM∽△ABO，
∴
设BM＝m，BE＝3m．
∵∠EBF＝∠ABO，
∴∠EFQ＝∠EBF，
∴EF＝EB＝3m．
∵EM⊥FQ，
∴BF＝2BM＝2m，∵ ，
∴FQ＝9m，
∴BQ＝7m，
∴点Q的坐标为
同理可得△EOP∽△PNQ，则 ，即 ，
整理得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴ ，
∴点E的纵坐标为 ．
②如图3，点B，F重合，∠FQE＝∠FAO时．
设BE＝m，则QN＝OE＝1－m， ，
同理可得△EOP∽△PNQ，则 ，
即 ，整理得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴ ，∴点E的纵坐标为 ．
③如图4，∠FQE＝∠ABO时．
过点E，Q分别作EM⊥FQ于点M，QN⊥OA于点N，则有△EBM∽△ABO，
∴ ．设BM＝m，BE＝3m．
∵∠FQE＝∠ABO，
∴EQ＝EB＝3m
∵EM⊥FQ，
∴BQ＝2BM＝2m，
同理可得△EOP∽△PNQ，
则 ，即 ，
整理得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
∴ ，
∴点E的纵坐标为 ．
综上所述，点E的纵坐标为 ， ，
【变式训练3】如图1，已知矩形 的边长 ， ．某一时刻，动点M从点A出发，沿
以 的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿 方向以 的速度向点A匀速运动，
点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．(1)若 是等腰直角三角形，则 ___________（直接写出结果）．
(2)是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与 相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，连接 ，试求 的最小值．
【答案】(1)2；(2)存在，理由见解析；(3)15
【解析】（1）∵ ，∴若 是等腰直角三角形时，只有 ．
根据题意可知 ， ，则 ，∴ ，解得 ，故答案为：2．
（2）
∵ ，
∴以A、M、N为顶点的三角形与 相似分为两种情况，
①当 时，有 ，即 ，解得： ；
②当 时，有 ，即 ，解得： ．
当 或 时，以A、M、N为顶点的三角形与 相似；
（3）
如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点 ，连接 ．作M点关于BC的对称点 ，连接 ，
．
根据作图可知 ， ，
∴ ，∴当 最小时 最小，
∵ ，
∴ 的最小值为 的长，即 的最小值为2 的长．
如图，连接 并延长，交CD于点F，AB于点G．
∵作E点关于CD的对称点 ，∴ ， ．
又∵E为中点，
∴ ，G为AB中点， ∴ ， ．∵作M点关于BC的对称点 ，
∴ ，∴ ．
在 中， ，
∵ ， ∴ 时， 最小，即 ．
∴ ．
【变式训练4】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交
于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角
形与△ABC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝（x﹣1）2﹣4
(2)点M坐标（ ，﹣ ）时，四边形ABMC面积的最大值(3)存在，点P坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣ ，﹣ ）
【解析】(1)
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入得：
4a﹣4＝0，解得a＝1，
∴抛物线表达式为：y＝（x﹣1）2﹣4；
(2)
连接BC，作MN∥y轴交BC于点N，交AB于点E，作CF⊥MN于点F，如图，
由（1）知，抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，可解得x＝﹣1，x＝3，
1 2
∴点A坐标（﹣1，0），点B坐标（3，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，将点B （3，0），C（0，﹣3）代入得：
，
∴ ，
∴直线BC表达式为y＝x﹣3，
设M点（m，m2﹣2m﹣3），则点N（m，m﹣3），
∴S四边形ABMC＝S ABC+S BCM
△ △
＝S ABC+S CMN+S BMN
△ △ △
＝ +＝
＝6+
＝
当 时，即点M坐标 时，四边形ABMC面积的最大值 ；
(3)
如图，作PQ垂直x轴，
设直线CD：y＝px+q，将点C，D分别代入得，
，
解得 ，
∴直线BC：y＝﹣x﹣3，
当y＝0时，解得x＝﹣3，
∴点E坐标为（﹣3，0），
∵OE＝OC＝OB＝3，
∴∠OEC＝∠OBC＝45°，
在Rt△OBC中，
BC＝ ＝ ，
①当△BAC∽△EPO时，，即 ，解得EP＝ ，
在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，
∴sin45°＝ ，解得PQ＝2，∴EQ＝PQ＝2，
此时点P坐标（﹣1，﹣2）；
②当△BAC∽△EOP时，
，即 ，解得EP＝ ，
在Rt△EPQ中，∠OEC＝45°，
∴sin45°＝ ，解得 ∴ ，
此时点P坐标 ；
综上所述，当点P坐标为（﹣1，﹣2）或 时，点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．
课后训练
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点 的坐标是 ，动点P从点A出发，以每秒1个单
位的速度沿线段AB运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段OC运动，连接OB，连接
PQ与线段OB相交于点D，两点同时出发，当点Q到达点O时，P，Q同时停止运动，设运动时间为
．
（1） _____________， _____________（请用含 的代数式表示）（2）当 时，求 的值．
（3）在P，Q运动的过程中，将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
①当点F恰好落在线段OB上时，直接写出此时的t值．
②连接PF，连接OF，当 时，直接写出此时点F的坐标．
【答案】（1）t，6-2t；（2） ；（3）① ； ②
【详解】解：（1）根据题意得：AP=t，CQ=2t，
∵矩形ABCO的顶点 的坐标是 ，
∴OC=AB=6，
∴OQ=6-2t；
（2）∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，即BP∥OQ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵AP=t，
∴BP=6-t，
∴ ，解得： ；
（3）①如图，过点P作PM⊥OC于点M，则OM=AP=t，
∵将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
∴PQ⊥OB，即∠ODQ=90°，
∴∠DOQ+∠OQD=90°，
在矩形AOCB中，顶点 的坐标是 ，
∠OCB=90°，AB∥OC，OC⊥OA，AB⊥OA，BC=OA=4，
∴∠DOQ+∠OBC=90°，PM=AO=4，
∴∠OBC=∠OQD，
∵PM⊥OC，
∴∠PMQ=∠OCB=90°，
∴ ，
∴ ，
∵OQ=6-2t，
∴MQ=6-2t-t=6-3t，
∴ ，
解得： ；
②如图，设OF交PQ于点N，过点F作GH⊥AB于点H交OC于点G，则GH⊥OC，在矩形AOCB中，∠A=90°，
∴∠A=∠AHF=∠FGQ=90°，
∴四边形AOGH是矩形，
∴AH=OG，HG=OA=4，
∵将矩形AOCB沿PQ折叠，点A，点O的对应点分别是点E，点F．
∴PQ垂直平分OF，
∴OP=FP， FQ=OQ=6-2t，
∴∠PFO=∠POF，
∵ ，
∴∠PFO=∠POF=45°，
∴∠OPF=90°，
∴∠APO+∠FPH=90°，
∵∠APO+∠AOP=90°，
∴∠FPH=∠AOP，
∵∠A=∠PHF=90°，
∴ ，
∴FH=AP=t，PH=OA=4，∴OG=AH=4+t， FG=HG-FH=4-t，
∴QG=OG-OQ=（4+t）-（6-2t）=3t-2，
在 中，由勾股定理得：
，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点F的坐标为 ．2．如图，抛物线 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴相交于点 ，顶点为 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点 是 轴右侧抛物线上一点，过点 作 轴于 ，以 ， ， 为顶点的三角形与
相似，求点 的坐标．
【答案】（1） ；（2） 或 或 ．
【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为 ，
∴设抛物线解析式为 ，
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得a=-1，
∴抛物线解析式为
即 ，（2）把x=0代入 ，得y=0，
∴点C坐标为（0,2），
把y=0代入 得 ，
解得 ，
∴点A坐标为（-1,0），
∴OA=1，OC=2；
设点M坐标为（ ）
∵点M是 轴右侧抛物线上一点，
∴MP=x，
①如图1，当点M在点C下方，△MPC∽△COA时，
则 ，
即 ，
解得 ，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为 ；
②如图2，当点M在点C下方，△MPC∽△AOC时，则 ，
即 ，
解得 ，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为 ；
③如图3当点M在点C上方，△MPC∽△COA时，
则 ，即 ，解得 ，其中x=0不合题意，舍去，
此时点M坐标为 ；④当点M在点上下方，△MPC∽△AOC时，
则 ，
即 ，
解得 ，均不合题意，舍去；
综上所述，符合条件的M坐标分别是 或 或 ．
3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在直线 上，过点B作AB的垂线，过原点
O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若 ，求证： ．
②若 ，求四边形 的面积．
（2）是否存在点B，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说
明理由．【答案】（1）①见解析；② ；（2）存在， ，4，9，1
【详解】解：（1）①证明：如图1，
∵ ，∴ ．
∴ ，∴ ．而 ，∴ ．
∵ ，∴ ．∴ ，∴ ．
②如图1，过点A作 于点H．由题意可知 ，
在 中， ．设 ， ．
∵ ，∴ ，解得 ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
：
∴ ．
（2）过点A作 于点H，则有 ．
①如图2，当点C在第二象限内， 时，设
∵ ，∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，整理得 ，解得 ．
∴ ．②如图3，当点C在第二象限内， 时，延长 交于点G，
则 ，∴ ．
又∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴
③当点C在第四象限内， 时， 与 相交于点E，则有 ．
(a)如图4，点B在第三象限内．在 中， ，∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
而
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
(b)如图5，点B在第一象限内．
在 中
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴而 ，∴ ，∴
∴ ，∴ ，∴
综上所述， 的长为 ，4，9，1．
4．如图，在矩形 中， ， 是对角线 的中点， 是线段 上一点，射线 交 于点 ，
交 延长线于点 ，连接 ，在 上取点 ，使 ，设 ，
（1）连接 ，当 时，判断四边形 是否为平行四边形，并说明理由．
（2）当 时，若 平行 的某一边，求 的长．
（3）若 ，分别记 和 的面积为 和 ，且 ．求 的值．
【答案】（1）四边形EDBC是平行四边形，理由见详解；（2） 或 ；（3） ．
【详解】解：（1）四边形EDBC是平行四边形，理由如下：∵四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是对角线 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形EDBC是平行四边形；
（2）由（1）及题意得： ，
①当 时，则 ，如图所示：∴∠FCQ=45°，
∴△FQC、△EDC都为等腰直角三角形，
∴ED=DC=8， ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD=24-8=16；
②当 时，如图所示：作DH∥FC交AC于点H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，DQ=CD-CQ=8-6=2，
∴ ，
∵DH∥EC，
∴ ，
∴AC=24，
∴ ，
综上所述： 或 ；
（3）过点Q作QN⊥CF于点N，如图所示：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴EO是∠AEC的角平分线，
∴ ，
∴ ，
在Rt△CNQ中， ，即 ，
解得： ，
，
∴ ，
∴ ．
5．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD
于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．
（1）当m＝1时，求PE的长；
（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得 PAB≌△PEB？请说明理由；
（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设C△F＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，
请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）PE＝ ；（2）不能，理由见解析；（3）不变，5m+4n＝16．【详解】解：（1）连接BE，
由已知：在Rt ADC中，AC＝ ，
△
当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，
∵PE⊥CD，
∴∠PEC＝∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠PCE，
∴△ACD∽△PCE，
∴ ，
即 ，
∴PE＝ ；
（2）如图1，当 PAB≌△PEB时，
△
∴PA＝PE，
∵AP＝m，则PC＝5﹣m，
由（1）得： ACD∽△PCE，
△
∴ ，
∴PE＝ ，
由PA＝PE，即 ，
解得：m＝ ，∴EC＝ ，
∴BE＝ ，
∴△PAB与△PEB不全等，
∴不能使得△PAB≌△PEB；
（3）如图2，延长EP交AB于G，
∵BP⊥PF，
∴∠BPF＝90°，
∴∠EPF+∠BPG＝90°，
∵EG⊥AB，
∴∠PGB＝90°，
∴∠BPG+∠PBG＝90°，
∴∠PBG＝∠EPF，
∵∠PEF＝∠PGB＝90°，
∴△BPG∽△PFE，
∴ ，
由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝ ，
∴ ，
即 ，
∴EC＝ ，∴BG＝EC＝ ，
∴ ，
∴5m+4n＝16．
6．如图，在平行四边形 中， ，点 是线段 上的一个动点，点 是平行四边形 边
上一点，且 ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）若 ， ．
①如图2，连接 交 于点 ， ，求 的值．
②如图3，点 从点 运动到点 ，求点 的运动的路径长．
【答案】（1）见详解；（2）① ；②28−16
【详解】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴∠CAD＝∠ACD＝60°，
∵∠DPK＝∠B＝60°，∠CPD＝∠CPK＋∠DPK＝∠CAD＋∠ADP，
∴∠ADP＝∠CPK，
∴△DAP∽△PCK，
∴ ；
（2）①如图2中，过点P作PM⊥CD于M，PN⊥BC于N，连接PB．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠PCD＝∠PCB，
∵CP＝CP，CD＝CB，
∴△PCD≌△PCB（SAS），
∴PB＝PD，∠PBK＝∠CDP，
∵∠DPK＝90°，∠DCK＝90°，
∴∠PKC＋∠CDP＝180°，
∵∠PKC＋∠PKB＝180°，
∴∠PKB＝∠CDP，
∴∠PBK＝∠PKB，
∴PB＝PK＝PD，
∵PM⊥CD，PN⊥CB，∠PCM＝∠PCN，
∴PM＝PN，
∵PD＝PK，∠PMD＝∠PNK＝90°，
∴Rt△PMD≌Rt△PNK（HL），
∴DM＝NK，
∵PB＝PK，PN⊥BK，∴BN＝NK＝DM，设BN＝KN＝DM＝x，则CM＝4−x，CK＝4−2x，PC＝ (4−x)，
∵CE：PE＝4：5，
∴EC= (4−x)，
∵CK∥AD，
∴ ，
∵AC＝4
∴AE＝4 (4−x)，
-
∴ ，
解得：x＝1或−2（舍弃），
经检验，x＝1是分式方程的根，
∴EC= ，PE= ，
∵∠PDE＝∠ECK＝45°，∠DEP＝∠CEK，
∴△DEP∽△CEK，
∴ ，∴DE•EK＝PE•EC＝ × = ；
②如图3中，当点P运动到AC的中点时，点K从B运动到C，点K的运动路径的长为4．
当点K在线段CD上时，如图4中，过点D作DO⊥AC于O，过点K作KJ⊥AC于J，设CK＝y，OP＝x．
∵AC＝4 ，AD＝DC，DO⊥AC，
∴OA＝OC＝2 ，
∵∠KCJ＝45°，CK＝y，
∴KJ＝CJ＝ y，
∵∠DOP＝∠DPK＝∠PJK＝90°，
∴∠DPO＋∠ODP＝90°，∠DPO＋∠KPJ＝90°，
∴△DOP∽△PJK，
∴ ，
∴ ，整理得，2x2−（4 − y）x＋4y＝0，
∵△≥0，
∴（4 − y）2−32y≥0，解得：y≤12−8 或y≥12＋8 （舍弃），
∴y的最大值为12−8 ，
当点P从O运动到C时，点K的运动路径是2CK＝24−16 ，∴点P从点A运动到点C，则点K的运动的路径长为28−16 ．
7．如图，在矩形 中， ， ，连接 ，点 为 的中点，点 为边 上的一个
动点，连接 ，作 ，交边 于点 ．已知点 从点 开始，以 的速度在线段 上移动，
设运动时间为 ．解答下列问题：
（1）当 为何值时， ？
（2）连接 ，设 的面积为 ，求 与 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，
请说明理由；
（4）连接 ，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 恰好将 分成面积比为 的两部分？若
存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2） ；（3） 或 ；（4）
【详解】解：（1）∵
∴
∴
解得，
∴当 时， ；
（2）取AB的中点M，BC的中点N，连接OM，ON，如图①∵
∴ ， ，
∴∠ ，∠
∴四边形OMBN是矩形
∴∠
∴∠ ，∠
∴∠
∴△
∴
∵ ，
∴
①当 时， ，（如图①）
∴ ，
∴ ，
，
∴
==
∴ ；
②当 时，如图②
此时， ， ，
∴
∴
∴
=
=
∴
综上所述，
（3）∵
∴解得，
∴当 或 时， ；
（4）当 时，即 ，作 ，如图③
∵∠ ，∠
∴△
∴ ，则
∴ ，则
∵∠ ，∠
∴
∴ ，则
∴
∵
∴
解得，
当 时，即 ，如图④，同上可得， ，
∵
∴
解得，
综上所述，
8．已知，如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，AD⊥BC于点D，直线PM交BC于点P，交AC
于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PM⊥BC，过点P
作PQ⊥AB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QM//BC？
（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明
理由．【答案】（1） ；（2） ；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4
【详解】解：（1）由题意知，PC=t，BP=12﹣t，
∵AB=AC，AD⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BD=DC=6，AD=8，
∵QM∥BC，
∴ ，
∵AB=AC，
∴BQ=CM，
∵PM⊥BC，AD⊥BC，
∴ PM∥AD，
∴ 即 ，
∴CM= ，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
cos∠B= ，即 ，
解得：BQ= (12﹣t)= ，
由BQ=CM得： = ，
解得： ，故当 时，QM∥BC；
（2）∵∠B+∠BAD=90°，∠DPN+∠B=90°，
∴∠BAD=∠DPN，又∠PDN=∠ADB=90°，
∴△PDN∽△ADB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵PM∥AD，
∴△CPM∽△CDA，
∴ 即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ = = ，
即y与t的函数关系式为 ；
（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ，
则 = ，
整理得： ，
∵△= =﹣1536＜0，
∴此方程无解，
∴不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是△ABC面积的 ；
（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，过点M作ME⊥PQ于E，则PE= PQ，∠PEM=90°，
在Rt△ABD和Rt△PBQ中，
sin∠B= ，
解得： ，
∵∠BPQ+∠B=90°，∠BPQ+∠MPE=90°，
∴∠B=∠MPE，
在Rt△PEM和Rt△BDA中，
cos∠B=cos∠MPE，即 ，
解得： ，
由PE= PQ得 = ，
解得：t=4，
∵0＜t＜6，
∴存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上．
