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专题 06 一元一次方程特殊解的四种考法
类型一、整数解问题
例.已知关于x的方程 有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：解关于x的方程
得x （a ），
∵关于x的方程 的解是负整数，
∴ 是负整数，
∴ 或 或 或
即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，
∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，
故答案为：D．
【变式训练1】关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是（
）
A．0 B．4 C．6 D．10
【答案】C
【详解】解：解方程得，x＝ ，
∵关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，
∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，
∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，
∴符合条件的所有整数k的值的和是：（﹣3）+（﹣1）+0+2+3+5＝6，
故选：C．
【变式训练2】从 ， ， ，1，2，4中选一个数作为 的值，使得关于 的方程的解为整数，则所有满足条件的 的值的积为（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】D
【解析】由 ，解得： ，
∵关于 的方程 的解为整数，
∴满足条件的 的值可以为： ， ，2，4，∴( )×( )×2×4=64，
故选D．
【变式训练3】若整数 使关于 的一元一次方程 有非正整数解，则符合条件的所有整数 之
和为（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【详解】∵ ，
∴x= ，
∵一元一次方程 有非正整数解，
∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，
∴符合条件的所有整数 之和为6+3-1-2-3-6= ，故选B．
【变式训练4】已知关于x的方程 的解是非正整数，则符合条件的所有整数m的和是
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】解： ，两边同乘以3，得去括号，得 ，移项合并同类项，得
因为方程有解，所以 ，所以
要使方程的解是非正整数，则整数 满足： 且 为整数
所以 的值为：-1或-5，解得：m=-6或-2
则符合条件的所有整数m的和是：-6+（-2）=-8，故选：A
类型二、含绝对值型
例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程
，
解：当 时，方程可化为： ，解得 ，符合题意；
当 时，方程可化为： ，解得 ，符合题意．
所以，原方程的解为 或 ．
请根据上述解法，完成以下两个问题：
（1）解方程： ；
（2）试说明关于 的方程 解的情况．
【答案】（1）x=-1或x= ；（2）当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，
方程无解
【解析】（1）当x＜1时，方程可化为： ，解得x=-1，符合题意．
当x≥1时，方程可化为： ，解得x= ，符合题意．
所以，原方程的解为：x=-1或x= ；（2）当x＜-3时，方程可化为： ， ，
解得： ，
则 ，解得： ，
当-3≤x≤1时， 方程可化为： ，
当x＞1时， 方程可化为： ，解得： ，
则 ，解得： ，
综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．
【变式训练1】若 ，则 ____．
【答案】 或
【解析】
①当 时，
∵ ，∴ ，解得： ；
②当 时，∵ ，∴ ，
解得： （舍去）；
③当 时，∵ ，∴ ，解得： ．
故答案为： 或 ．【变式训练2】已知关于 的方程 的解满足 ，则符合条件的所有 的值的和为______．
【答案】
【详解】解： ，
解得 ，
，
，即 或 ，
解得 或 ，
则符合条件的所有 的值的和为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】已知方程 的解是负数，则 值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当x-3≥0时，即x≥3， ，解得：x=-12，不符合；
当x-3≤0时，即x≤3， ，解得：x=-2，符合；
将x=-2代入 ， = ，
故选B．
【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．
例如：解方程
解：当 时，方程可化为：
，符合题意
当 <0时，方程可化为：=-3，符合题意
所以原方程的解为： 或 =-3
仿照上面解法，解方程：
【答案】 或 =-2
【详解】解：当 时，方程可化为： ， ， 符合题意
当 <1时，方程可化为： ，-2 =4， =-2符合题意
所以原方程的解为： 或 =-2．
类型三、相同解的问题
例.若关于 的方程 的解与方程 的解相同，求 的值．
【答案】
【详解】解： ，
去分母可得： 即
关于 的方程 的解与方程 的解相同，
解得：
【变式训练1】若关于x的方程 的解与方程 的解相同，则a的值为______．
【答案】
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵关于x的方程 的解与方程 的解相同，
∴方程 的解为 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： .【变式训练2】若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 的值为______．
【答案】 .
【解析】∵ ，∴x=m-1；
∵ ，∴x=4-m，
∵关于 的方程 的解与方程 的解相同，
∴4-m=m-1,解得m= .
故填 .
【变式训练3】如果关于x的方程 与 的解相同，那么m的值是（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】D
【详解】解： ，
去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1得x=3，
把x=3代入 得1=2|m|-3，∴2|m|=4，
∴|m|=2，∴m=±2，
故选：D．
类型四、解的情况
例.已知关于x的方程 为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程
的解相同．
（1）求m，n的值；（2）在（1）的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵关于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，
∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，
当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，
，2（2x+1）﹣10＝5（x+n），解得：x＝﹣5n﹣8，
∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；
（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝ ，
∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴ ，∴a＝﹣4．
故答案为：（1） ；（2）
【变式训练1】若关于x的方程 无解，则a=______．
【答案】-2
【详解】解：-2（x-a）=ax+3，
去括号得：-2x+2a-ax=3，
移项合并得：-（2+a）x=3-2a，
因为方程无解，
所以2+a=0且3-2a≠0，
解得a=-2，
故答案为：-2．
【变式训练2】解关于x的方程：
【答案】当 时，方程有唯一解为 ；当 时，方程无解．
【解析】 ，移项、整理得： ，当 ，即 时，方程有唯一解为： ；
当 ，即 时，方程无解．
故答案为：当 时，方程有唯一解为 ；当 时，方程无解．
【变式训练3】如果关于x的方程 无解，那么m的取值范围（ ）
A．任意实数 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意得：当m-2=0时关于 的方程 无解，
解得m=2，
故选D．
课后作业
1．若 是关于x，y的二元一次方程，则a的值（ ）
A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2
【答案】A
【详解】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，解得：a=-2，
故选：A．
2．关于x的方程 的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： ，整理得： ，
∵关于x的方程 的解为负数，∴ ，解得： ．
故选：B．
3．若关于 的方程 无解，则 ， 的值分别为（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，∴ ，
故选D．
4．已知 为非负整数，且关于 的方程 的解为正整数，则 的所有可能取值为（ ）
A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6
【答案】A
【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，移项合并得：（3−k）x＝9，解得：x＝ ，
由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0，
故选：A．
5．已知关于 的一元一次方程的 解是偶数，则符合条件的所有整数 的和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：去分母： ，
去括号： ，
移项合并同类项： ，
系数化为1： ，
∵方程解是偶数，令 ，（k为整数），
∴ ，∵a取整数，
∴ 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴符合条件的所有整数a的和为 ，
故选：C．
6．已知关于 的一元一次方程 的解为 ，则关于 的一元一次方程
的解为_____________．
【答案】
【详解】∵ 的解为 ，
∴ ，解得： ，
∴方程 可化为
，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．a为非负整数，当a＝______时，方程 的解为整数．
【答案】 或
【详解】∵ax−5=0，∴ ，
∵a为非负整数，
∴当方程的解为整数时， 或 ．
故答案为：1或5．
8．已知 为有理数，定义一种新的运算 ： = ，若关于 的方程 = 有正整数解，
△ △ △且 为正整数．则符合条件的所有的 的值的积为______．
【答案】10
【详解】解：∵ x a=19，
△
∴2ax-x+1=19，∴x= ,
∵x为正整数，∴2a-1=1，2，3，6，9，18，
∵a为正整数，∴a=1，2，5，
∴1×2×5=10，
故答案为；10．
9．嘉淇在解关于x的一元一次方程 ＝3时，发现正整数 被污染了；
(1)嘉淇猜 是2，请解一元一次方程 ；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1) ；(2)2
【解析】(1)解： ，
去分母，得 ；
移项，合并同类项，得 ；
系数化为1，得 ．
(2)解：设被污染的正整数为m，则有 ，
解之得， ，
∵ 是正整数，且m为正整数，∴ ．
10．(1)已知关于x的方程 是关于x的一元一次方程，求 的值；
(2)已知：方程2-3（x+1）＝8的解与关于x的方程 -k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值．
【答案】(1)k-x= ；(2)【解析】(1)解：由题意得 ，
∴ ，∴k=2，或k=0，
当k=2时，k-2=0，（不符合题意，舍去），∴k=0，
把k=0代入方程得：-2x+1=0，解得x= ，
∴ =0- =- ．
(2)2-3（x+1）＝8，
2-3x-3=8，x=-3，
由题意将x= 代入方程 -k+5＝-2x得：
解得： ，
∴k的值为 ．
