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专题07 与三角形角度有关的新定义问题
1．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“标准三角形”，其中α为“标准
角”，如果一个“标准三角形”的“标准角”为100°，那么这个“标准三角形”的最小内角度数为
（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
2．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的 时，我们称此三角形为“友好三角形”．如果一个“友好
三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为（ ）
A．108°或27° B．108°或54°
C．27°或54°或108° D．54°或84°或108°
3．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为
“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是_____．
4．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征
角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为
__________．
5．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“实验三角形”.如果一个“实验三角
形”有一个角为108°，那么这个“实验三角形”的其它两个内角的度数分别为_______.
6．设三角形三内角的度数分别为 ，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数
对 是 的和谐数对，当 时，对应的和谐数对有一个，它为 ；当 时，对应的
和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对 有三个时，请写出此时 的范围_______．
7．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”，如果一个“梦想三角
形”有一个角为132°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_____________________.
8．当三角形的一个内角 是另一个内角 的3倍时，我们称此三角形为“特异三角形”，其中 称为
“特异角”．若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为_______．
9．当三角形中一个内角 是另一个内角 的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中 称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为
____．
10．当三角形中一个内角 是另一个内角 的 时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角 称为
“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为 ，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数
为________．
11．如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．若
是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=20°，则∠B=_______．
12．定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角
形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例
如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.
（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）
①等边三角形存在“和谐分割线”（ ）
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（ ）
（2）如图2，Rt ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分
割线”的长度．△
13．如果三角形满足一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.如图1，在
中， ， ， ，∵ ，∴ 是智慧三角形.
（1）如图2， ， ，证明 是智慧三角形；
（2）已知 是智慧三角形，其中 且 ，求 和 .
14．如果一个三角形能用一条直线将其分割出两个等腰三角形，那么我们称这个三角形为“活三角形”，这条直线称为该“活三角形”的“生命线”．
（1）小明在研究“活三角形”问题时（如图），他发现，在△ABC中，若∠BAC = 3∠C时，这个△ABC一
定是“活三角形”．点D在BC边上一点，联结AD，他猜测：当∠DAC = ∠C时，AD就是这个三角形的“生
命线”，请你帮他说明AD是△ABC的“生命线”的理由．
（2）如小明研究结果可以总结为：有一个内角是另一个内角的3倍时，该三角形是一个“活三角形”．
请通过自己操作研究，并根据上诉结论，总结“活三角形”的其他特征．
（注意从三角形边、角特征及相互间关系总结）
，该三角形是一个“活三角形”．
，该三角形是一个“活三角形”．
（3）如果一个等腰三角形是一个“活三角形”那么它的顶角大小为： 度．（直接写出结果
即可）
15．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）如图1，在 中， ， 是 的角平分线，求证： 是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在 中，若 ， ， ，则 是“准互余三角形”；
②若 是“准互余三角形”， ， ，则 ；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2， ， 为直线 上两点，点 在直线 外，且 ．若 是直线 上一点，且 是“准互余三角形”，请直接写出 的度数．
16．如果三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”
（1）如图，在 中， 是 的角平分线，求证： 是“奇妙互余角三角形”
（2）关于“奇妙互余三角形”，有下列命题：
①在 中，若 ，则 是“奇妙互余三角形”；
②若 是“奇妙互余三角形”， ，则 ；
③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形．
其中，真命题有______（填写序号）
（3）在 中， ，点P是射线 上的一点，且 是“奇妙互余三角形”请
直接写出 的度数．
17．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中， 的内角 与
的内角 互为对顶角，则 与 为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三
角形”有如下性质： ．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形” 与 中， ， ，求证： ；
（2）【性质应用】
如图3，在 中，点D、E分别是边 、 上的点， ，若 比 大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】
如图4，已知 ， 是 的角平分线，且 和 的平分线 和 相交于点P，设 ，
求 的度数（用 表示 ）．
