文档内容
清单 01 一元二次方程（13 个考点梳理+题型解读+核心素养提
升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
【例1】．（2022秋•龙凤区校级期末）下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④ ，⑤ ，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，
整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程，
是分式方程，不是一元二次方程，
所以一元二次方程有2x2﹣1＝0， ，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未
知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【变式】．（2022秋•鄄城县期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ ）
A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义，可得m﹣1≠0，据此可得答案．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
考点二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形
式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意
实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不
是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
【例2】（2022秋•大连期末）一元二次方程3x2﹣6x＝1化为一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）后，a，b，c的
值分别是（ ）
A．a＝3，b＝6，c＝1 B．a＝3，b＝﹣6，c＝1
C．a＝﹣3，b＝﹣6，c＝1 D．a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出a、b、c的值即可．
【解答】解：∵3x2﹣6x＝1，
∴3x2﹣6x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：
找各项系数时，带着前面的符号．【变式】．（2022秋•新洲区期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二
次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项
的系数带着前面的符号．
考点三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也
叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
【例3】（2022秋•长安区期末）若 x＝1是关于x的一元二次方程 x2+mx+9＝0的一个根，则 m的值为
（ ）
A．10 B．9 C．﹣6 D．﹣10
【分析】先把x＝1代入一元二次方程x2+mx+9＝0即可得出m的值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+9＝0的一个根，
∴12+m+9＝0，
∴m＝﹣10．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
【变式】．（2022秋•锡山区校级期末）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则
a的值为 ．
【分析】把x＝0代入一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0中求出a的值，再根据一元二次方程的定义
判断即可．
【解答】解：把x＝0代入方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得：a2﹣4＝0，
解得a＝±2，
∵方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2，
∴a的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程解的意义是解本题的关键．
考点四．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝± ；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
【例4】．（2022秋•雅安期末）方程（x﹣3）2＝16的根为（ ）
A．x ＝x ＝7 B．x ＝7，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝x ＝﹣1 D．x ＝7，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】直接利用开平方法解一元一次方程，即可得出答案．
【解答】解：（x﹣3）2＝16，
开方得：x﹣3＝4或x﹣3＝﹣4，
解得：x ＝7，x ＝﹣1．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟练利用直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
【变式】．（2022秋•潼南区期末）对于方程37（x﹣2）2＝42的两根，下列判断正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
【分析】先变形得到（x﹣2）2＝ ，再利用直接开平方法解方程得到x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，然后
1 2
利用1＜ ＜2可对各选项进行判断．
【解答】解：37（x﹣2）2＝42，
（x﹣2）2＝ ，
x﹣2＝± ，
解得x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
∵1＜ ＜2，
∴x ＞3，x ＜1．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方
程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
考点五．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
【例5】．（2022秋•醴陵市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣7＝0，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型
【变式】．（2022秋•赫山区期末）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝7
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
（x+3）2＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
考点六．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝ （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
【例6】．（2022秋•德化县期末）下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程：
∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步），
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）．∴x＝ ，（第三步）．
∴x ＝ ，x ＝ （第四步）．
1 2
小明是从第 步开始出错．
【分析】根据一元二次方程的解法步骤即可解答．
【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0，
∴a＝1，b＝﹣5，c＝4．
故答案为：一．
【点评】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次
方程的关键．
【变式】．（2022秋•保德县校级期末）解方程：x2﹣3x﹣3＝0．
【分析】根据公式法解方程即可．
【解答】解：x2﹣3x﹣3＝0，
a＝1，b＝c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
∴ ，
解得 ， ．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解方程是解答本题的关键．
考点七．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个
因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二
次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得
到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
【例7】．（2022秋•赣州期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（x﹣2）2＝3（x﹣2）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）∵（x﹣2）2＝3（x﹣2），∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2﹣3）（x﹣2）＝0，即（x﹣5）（x﹣2）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0，
解得x ＝5，x ＝2．
1 2
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
考点八．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象
的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简
化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而
达到降次的目的．
【例8】．（2022秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣
1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为 ．
【分析】此题实际上求 的值．设t＝a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t﹣1）＝
12，通过解方程求得t的值即可．
【解答】解：设t＝a2+b2，则由原方程，得
t（t﹣1）＝12，
整理，得
（t﹣4）（t+3）＝0，
解得t＝4或t＝﹣3（舍去）．
则a2+b2＝4，
∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长，
∴这个直角三角形的斜边长为 ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键．
【变式1】．（2022秋•集贤县期末）解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，利用整体思想和换元法可设
x2﹣1＝y，则原方程可化为： ．
【分析】根据换元法，设x2﹣1＝y，代入原方程即可求解．
【解答】解：设x2﹣1＝y，则原方程可化为：y2﹣5y+4＝0．
故答案为：y2﹣5y+4＝0．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，整体代入是解题的关键．
【变式2】．（2022秋•信都区校级期末）阅读材料，解答问题：
为解方程x4﹣3x2+2＝0，我们将x2视为一个整体，
解：设x2＝y，则x4＝y2，
原方程可化为y2﹣3y+2＝0，
解得y ＝2，y ＝1，
1 2
当x2＝2时， ，
当x2＝1时，x＝±1，∴原方程的解为 或x＝±1．
（1）上面的解题方法，利用 法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0．
【分析】（1）根据换元法解一元二次方程；
（2）根据换元法解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）上面的解题方法，利用换元达到了降幂的目的，
故答案为：换元；
（2）解：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+6＝0，
设x2﹣1＝y，
原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y ＝2，y ＝3，
1 2
当x2﹣1＝2时， ，
当x2﹣1＝3时，x＝±2，
∴原方程的解为 或x＝±2．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键．
考点九．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
【例9】．（2022秋•锡山区校级期末）一元二次方程x2+（k+1）x+k﹣5＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：∵Δ＝（k+1）2﹣4（k﹣5）＝k2﹣2k+21＝（k﹣1）2+20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当
Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数
根．
【变式】．（2022秋•南明区期末）若关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，
则m的值可以是 （写出一个值即可）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围，
在m的范围内即可判断．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（m﹣1）2﹣4×1×2＞0，
解得：m＞1+2 或x＜1﹣2 ，
取m＝4，
故答案为：4（不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0”是解题的关键．
考点十．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣p，x x ＝q，反过来
1 2 1 2 1 2
可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
1 2 1 2
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
＝ ，x x ＝ ，反过来也成立，即 ＝﹣（x +x ）， ＝x x ．
1 2 1 2 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知
数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给
1 2
出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考
虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
【例10】．（2022秋•天河区校级期末）若 ， 是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则 2+3 + 的值为
（ ）
α β α α β
A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010
【分析】由根与系数的关系，得到 + ＝﹣2， • ＝﹣2024，由方程的根可得 2+2 ＝2024，然后代入变
形后的式子求值，即可得到答案．
α β α β α α
【解答】解：∵ ， 是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，
∴ + ＝﹣2， 2 α+2 β ＝2024，
∴ α 原式 β ＝ 2+2α+ +α
＝2024+（﹣2）
α α α β
＝2022．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二
次方程根与系数的关系．
【变式】．（2022秋•平顶山期末）设 ， 是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，则 ＝ ．
α β
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ，再由 ，即
可求解．
【解答】解：∵ ， 是一元二次方程3x2+x﹣2＝0的两个根，
α β
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝
1 2
0（a≠0）的两个实数根，则 ， 是解题的关键．
考点十一．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问
题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
【例11】．（2022秋•开州区期末）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，
4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．2400（1+x）2＝3456 B．2400（1﹣x）2＝3456
C．2400（1+2x）＝3456 D．2400（1﹣2x）＝3456
【分析】设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，根据增长率问题，列出一元二次方程即可求解．
【解答】解：设2月到4月每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为2400（1+x）2＝3456，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式】．（2022秋•路南区期末）如图，某小区计划在一个长 16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建三
条同样宽的小路，竖直的与 AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为
112m2，设小路宽x m，若x满足的方程为（ ）
A．x2﹣17x﹣16＝0 B．x2﹣17x+16＝0
C．x2+17x﹣16＝0 D．x2+17x+16＝0
【分析】设小路宽x m，则草坪的总长度为（16﹣2x）m，总宽度为（9﹣x）m，根据题意得（16﹣2x）
（9﹣x）＝112，进行计算即可得．
【解答】解：设小路宽x m，则草坪的总长度为（16﹣2x）m，总宽度为（9﹣x）m，
根据题意得（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
144﹣16x﹣18x+2x2＝112，
2x2﹣34x+32＝0，
x2﹣17x+16＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出方程．
考点十二．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验
和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增
长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、
梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，
可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
【例12】．（2022秋•滨城区期末）如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m）
（墙长，另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m，设鸡场垂直于墙的一边为
x m，则x的值是（ ）
A．15m B．20m C．20m或15m D．20m或12m
【分析】根据题意列出方程，解方程求解，并检验平行于墙的一边长不超过35米即可解题．
【解答】解：列方程得：x（69+1﹣2x）＝600，
解得：x＝20或x＝15，
当x＝20时，平行于墙的一边长为：70﹣2×20＝30米＜35米；
当x＝15时，平行于墙的一边长为：70﹣2×15＝40米＞35米，不符合题意舍去；
所以x＝20．
故答案为：B．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确列出方程，注意要检验，使得结果符合实际情况是解题关．
【变式1】．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共
握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】可设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手，共握手次数为 x（x﹣1），根据一共
握了66次手列出方程求解．
【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
x（x﹣1）＝66，
整理，得x2﹣x﹣132＝0解得x ＝12，x ＝﹣11，（舍去）
1 2
则参加这次会议的有12人．
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次
数为 x（x﹣1）．
【变式2】．（2022秋•东丽区期末）用一条长为40cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可
能的是（ ）
A．64 B．96 C．100 D．101
【分析】设围成面积为a，矩形形的长为x cm，则宽为（40÷2﹣x）cm，然后根据矩形的面积公式表示出
a，此时可以将方程看成是一个关于x的一元二次方程，根据方程的根的判别式即可得到 a的取值范围，
即可得解．
【解答】解：设围成面积为a，矩形形的长为x cm，则宽为（40÷2﹣x）cm，
依题意得x（40÷2﹣x）＝a，
整理得x2﹣20x+a＝0，
由于此方程有解，则Δ＝400﹣4a≥0，
解得a≤100，
∴a的值不可能为101，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的相关知识以及一元二次方程的应用，解题关键根据一元二次方程根的判别式得
解．
【变式3】．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两
块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的
垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（ ）
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
【分析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩
形，根据矩形的面积公式结合绿地的面积为5750平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较
小值即可得出结论．
【解答】解：设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米
的矩形，
根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750，
整理得：3x2﹣220x+1025＝0，
解得：x ＝ ＞60（舍去），x ＝5．
1 2
即垂钓通道的宽度为5米．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【变式4】．（2022秋•方城县期末）新冠疫情牵动人心，若有一人感染了新冠，在每轮传染中平均一个人
可以传染x个人，经过两轮传染后共有169人感染，若不加以控制，第三轮传染后感染人数为（ ）
A．338 B．256 C．2197 D．2028
【分析】根据题意每轮传染中平均一个人可以传染 x个人，经过一轮有x人被传染，那么经过两轮后有[x
（x+1）+x+1]人感染，列出方程解得x，即可求出第三轮感染人数．
【解答】解：设在每轮传染中平均一个人可以传染x个人，[x（x+1）+x+1]＝169，
即（1+x）2＝169，
解得x ＝12，x ＝﹣14（舍），
1 2
∴每轮传染中平均一个人可以传染12个人，
∴第三轮传染后感染人数为169+169×12＝2197，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
【变式5】．（2022秋•开江县期末）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种
子实验．该实验基地两年前有150种种子，经过两年不断地努力，现在已有216种种子．若培育的种子平
均每年的增长率为x，则x的值为 ．
【分析】利用该实验基地现有种子种数＝该实验基地两年前种子种数×（1+培育的种子平均每年的增长
率）2，即可得出关于x的一元二次方程，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得，150（1+x）2＝216．
解得，x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
所以，培育的种子平均每年的增长率为20%，
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式6】．（2022秋•大余县期末）乡村振兴战略是中国经济社会发展方式一次大的转变，目标是按照产
业兴旺、生态宜居、乡风文明、治理有效、生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策
体系，加快推进农业农村现代化．小明家在2019年脱贫的时候家庭年总收入为6.25万元，通过两年积极
开展种植产业振兴，2021年家庭年总收入为9万元．试计算小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增
收率为多少？
【分析】设小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为x，利用小明家2021年家庭年总收入＝小
明家2019年家庭年总收入×（1+小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率）2，可列出关于x的一
元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为x，
根据题意得：6.25（1+x）2＝9，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：小明家2019﹣2021年的年家庭总收入平均增收率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7】．（2022秋•蒙自市期末）2022年11月卡塔尔世界杯足球赛期间，在卡塔尔某商店销售一批由中
国制造的足球纪念衫，每件进价30元，规定销售单价不低于30元，且不高于60元．当销售单价定为60
元时，每天可售出80件．当销售单价每降低10元时，每天可多卖20件，现商店决定降价销售，设每天
销售量为y件，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每件足球纪念衫销售单价是多少元时，商店每天获利2000元？
【分析】（1）根据当销售单价定为60元时，每天可售出80件，当销售单价每降低10元，每天可多卖
20当件可得到函数解析式，再根据规定销售单价不低于30元，且且不高于60元，可得自变量的取值范
围；
（2）把获利2000代入关系式，再解一元二次方程并检验即可．
【解答】解：（1）由题意得 ，30≤x≤60，
则y与x之间的函数关系式y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）根据题意得（x﹣30）（﹣2x+200）＝2000，
解得x ＝50，x ＝80（舍去），
1 2
答：当每件足球纪念衫销售单价是50元时，商店每天获利2000元．
【点评】此题考查了函数关系式，一元二次方程的应用，理解题意，正确的列出函数关系式和解一元二
次方程是解题的关键．
【变式8】．（2022秋•肇庆期末）2022年2月4日第24届冬奥会在北京开幕，某礼品销售商以每件8元的
价格购进冬奥会纪念品，以每件10元的价格出售，每天可售出200件．销售商想采用提高售价的办法来
增加利润．经试验，发现这种纪念品每件的售价每提高 1元，每天的销售量就会减少10件，销售这种纪
念品每天获得利润为1050元，求售价是多少元．
【分析】设售价是x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天可售出（300﹣10x）件，利用总利润＝每
件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设售价是x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天可售出200﹣10（x﹣10）＝（300﹣
10x）件，
根据题意得：（x﹣8）（300﹣10x）＝1050，
整理得：x2﹣38x+345＝0，
解得：x ＝15，x ＝23．
1 2
答：售价为15或23元时，每天获得利润为1050元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式9】．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备
用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．【分析】（1）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设BC＝x m，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合
题意，即可作出判断．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x ＝5，x ＝8，
1 2
当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）设BC＝x m，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝130，
整理得：3x2﹣39x+130＝0，
Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
【变式10】．（2022秋•石城县期末）在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理
方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积
为1421平方米，小道的宽为多少米？
【分析】设小道的宽为x米，则其他部分可合成长（50﹣x）米，宽（30﹣x）米的矩形，根据这块矩形试
验田中种植的面积为1421平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合30﹣x
＞0，即可得出小道的宽为1米．
【解答】解：设小道的宽为x米，则其他部分可合成长（50﹣x）米，宽（30﹣x）米的矩形，
依题意得：（50﹣x）（30﹣x）＝1421，
整理得：x2﹣80x+79＝0，
解得：x ＝1，x ＝79．
1 2
又∵30﹣x＞0，
∴x＜30，
∴x＝1．
答：小道的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式11】．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》
成为一门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙
（墙的最大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端
各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．
【分析】（1）根据各边之间的关系，可得出长BC为（36﹣3x）米；
（2）根据围成的菜地面积为96平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得
出结论．
【解答】解：（1）∵篱笆的总长为34米，菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，且菜地的宽AB为x
米，
∴长BC为34+2﹣3x＝（36﹣3x）米．
故答案为：（36﹣3x）；
（2）根据题意得：x（36﹣3x）＝96，
整理得：x2﹣12x+32＝0，
解得：x ＝4，x ＝8．
1 2
当x＝4时，36﹣3x＝36﹣3×4＝24＞22，不符合题意，舍去；
当x＝8时，36﹣3x＝36﹣3×8＝12＜22，符合题意．
答：当围成的菜地面积为96平方米时，宽AB为8米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用
含x的代数式表示出BC的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式12】．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点
P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，
P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，根据△PCQ的面积是△ABC面积的 ，
即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，根据△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等（即
△PCQ的面积是△ABC面积的 ），即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，即可
得出该方程没有实数根．进而可得出△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．【解答】解：（1）当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t ＝t ＝2．
1 2
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为t s时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得： ×2t（16﹣4t）＝ × ×8×16，
整理得：t2﹣4t+8＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
考点十三．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
【例13】．（2022秋•开州区期末）定义；如果代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）与
1 1 1 1
（a ≠0，a ，b ，c 是常数）满足a +a ＝0，b +b ＝0，c +c ＝0，则称两个代数式为
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
“相反式”，有下列四个结论：
（1）代数式：x2+3x的“相反式”是x2﹣3x；
（2）若﹣2x2﹣3x﹣18m与2x2+nx﹣2n互为“相反式”，则（mn）2023的值为﹣1；
（3）当x＝2时，代数式 （a ≠0，a ，b ，c 是常数）的值为10，则它的“相反式”的
1 1 1 1
值为﹣10；
（4）无论x取何值，代数式2x2﹣4x+c的值总大于其“相反式”的值，则c的取值范围为c＞2．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相反式的含义直接可判断（1），再建立方程组 ，再解方程组可判断（2），
先把x＝2代入代数式 ，再把x＝2代入其相反式即可判断（3），由（4）的含义建立不
等式，再利用不等式的性质可判断（4），从而可得答案．
【解答】解：（1）x2+3x的“相反式”是﹣x2﹣3x，（1）错误；（2）由题意得， 解得 ，
∴（mn）2023＝﹣1，（2）正确；
（3）当时x＝2，代数式
∵a +a ＝0，b +b ＝0，c +c ＝0
1 2 1 2 1 2
∴ ，（3）正确；
（4）由题意得，2x2﹣4x+c＞﹣2x2+4x﹣c
∴4x2﹣8x+2c＞0即4（x﹣1）2+2c﹣4＞0
∵4（x﹣1）2≥0，
∴2c﹣4＞0解得c＞2，（4）正确；
故正确结论有3个．
故选：C．
【点评】本题考查的是相反式的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，非负数的性质，不等
式的性质，因式分解的应用，理解题意，选择合适的方法是解本题的关键．
【核心素养提升】
1、数学建模--构建一元二次方程解决实际问题
1.（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，4月
份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
【分析】（1）利用该商场2月份的营业额＝该商场1月份的营业额×（1+20%），即可求出该商场2月份
的营业额；
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，利用该商场4月份的营业额＝该商场2月份的
营业额×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）1250×（1+20%）
＝1250×1.2
＝1500（万元）．
答：该商场2月份的营业额为1500万元．
（2）设该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝1815，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
1 2
答：该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率为10%．
