文档内容
清单 07 相似（11 个考点梳理+题型解读+核心素养
提升+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
知识点一、图形的相似的概念
形状相同的图形叫做相似图形。
1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；
2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；
3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
【例1】（2022·辽宁铁岭·九年级期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个平行四边形
【答案】A
【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解
题的关键．
知识点二、成比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
1）若四条线段 、 、 、 成比例，则记作 或 。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。
2）四条线段 、 、 、 的单位应一致（有时为了计算方便， 、 的单位一致， 、 的单位一致也可
以）
3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第
二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
4）比例的重要性质：
基本性质：若 ，则 ；反之，也成立。 和比性质：若 ，则 ；
更比性质：若 ，则 ； 反比性质：若 ，则 ；
等比性质：若 ，则 。
5）拓展：比例式中， 或 中， 、 叫外项， 、 叫内项， 、 叫前项， 、 叫
后项，如果 ，那么 叫做 、 的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
【例2】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm
【答案】C
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比
值相等，即 ，则 为成比例线段．
【详解】A、∵ ，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
B、∵ ，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
C、∵ ，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意；
D、∵ ，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键．
知识点三、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。【例3】（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，AB∥CD∥EF，若 ，BD＝5，则DF＝（
）
A．5 B．10 C．15 D．2.5
【答案】B
【分析】根据AB∥CD∥EF，可知 ，将DF的长度代入即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∵BD＝5，
∴ ，
解得：DF=10，
故选：B．
【点睛】本题考查由平行截线求相关线段的长或比值，能够熟练求出相关线段的长或比值是解决本题的关键．
【变式】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图， 是 的中线，点 在 上，
，连接 并延长交 于点 ，则 ： 的值是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
【答案】A
【分析】过点D作 与BF交于点G，于是FC=2DG，AF=3DG，∴AF:FC=3DG:2DG=3:2
【详解】过点D作 与BF交于点G，如图：是 的中线
即
即
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟悉概念是解题关键．
知识点四、相似多边形的性质与判定
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
【例4】（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，四边形 四边形 ， ， ，
，则∠D的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形 ， ，
∴ ．
∵四边形ABCD的内角和为 ， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等．
【变式】（2022·福建三明·九年级期末）两个相似多边形的周长比是2∶3，其中较小多边形的面积为
12cm2，则较大多边形的面积为_____cm2
【答案】27
【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比，即可
求出较大多边形的面积．【详解】∵
∴相似比为：
∴
∴
∴大多边型的面积为：27cm2
故答案为：27．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
【变式2】（2022·陕西·西安辅轮中学九年级期末）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很
多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD
内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝________．
【答案】
【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABEF是正方形，
∴AB=AF= ，
∴DF=AD-AF= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题
的关键．
【变式3】（2022·江西吉安·九年级期末）如图，矩形OBCD的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，
反比例函数 的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形CEAF，我们约定这个矩形
CEAF为反比例函数 的“相伴矩形”．已知点C的坐标为 ，BE＝2．(1)求点F的坐标；
(2)求证：“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知 ， ，则 有相同的纵坐标， 有相同的横坐标，有
，待定系数法求反比例函数解析式为 ， 代入 中得 ，进而可得 点坐标；
（2）求出 的长，计算可得 ，进而结论得证．
（1）
解：由题意知 ，
∴ 有相同的纵坐标， 有相同的横坐标
∴
将 代入 中，解得
∴反比例函数解析式为
将 代入 中得
∴ ．
（2）
证明：由题意得 ，
∵ ，
∴
∴“相伴矩形”CEAF与原矩形OBCD相似．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与几何综合，相似多边形．解题的关键在于求出反比例函数解
析式．
知识点五、相似三角形的相关概念
1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一
种特例。
【例5】下列说法一定正确的是（ ）
（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似
（B）对应角相等的两个三角形不一定相似
（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似
【答案】C
【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三 角形预备定理可
知只有直线与底边平行时才相似．
【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．
知识点六、相似三角形的判定
判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。
【例6】（2022·河南·测试·编辑教研五九年级期末）如图，若 ， ， 与 交于点
，且 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图（见解析）所示，延长 到 ，使 ，连结 ，则 ，根据等腰三角形的性质
和三角形外角性质，可得 ，由于 ，则 ，于是可证明 ，
然后利用相似三角形的相似比即可算出 的值．
【详解】解：如图所示，延长 到 ，使 ，连结
又∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
又∵ ，
∴
∴即
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是构建 与 相
似．
【变式】如图，四边形 中， ， ，E为 的中点．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，连结DE交AC于点F，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，由直角三角形斜边上中线性质得到 ，则
，得到 ，又由 即可得到结论；
（2）由 ，得到 ，求得 ，得到 ，由 ，得到
，进一步即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．（2）解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的判定和性
质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
知识点七、相似三角形的性质
1、对应角相等，对应边的比相等；
2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似
多边形的面积比等于相似比的平方。）
【例7】（2022·广西百色·九年级期末）如下图所示，在 ABC中，点D在线段AC上，且 ABC∽△ADB，
则下列结论一定正确的是( ) △ △
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．
【详解】解：∵△ABC∽△ADB，∴ ，
∴AB2=AC•AD．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解
题的关键．
【变式1】（2022·黑龙江·肇源县第二中学九年级期末）如图，在矩形 中，点 、 分别在边 、
上， ∽ ， ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】由 ∽ ， ， ， ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的
长，然后利用勾股定理，求EF的长．
【详解】解：∵△ABE∽△DEF，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
解得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝ ．
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质、矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】如图，在 的方格纸中，每个小正方形边长都是 ， 是格点三角形（顶点在方格顶点
处）．(1)在图1中画格点 ，使 与 相似，相似比为 ．
(2)在图2中画格点 ，使 与 相似，面积比为 ．（注：图 、图 在答题纸上．）
【分析】（1）根据 ，相似比为 ，得 ，即 的各边长扩大两倍；
（2）根据 ，面积比为 ，则相似比为： ，得 ，即 的
各边长扩大 倍．
【详解】（1）画法不唯一，如下图1：
由题意得， ， ， ，
∵ ，相似比为 ，
∴ ，
∴ 的各边长扩大两倍，
∴ ， ， ．
（2）画法不唯一，如图2：
由（1）得： ， ， ，
∴ ，面积比为 ，
∴相似比为： ，∴ ，
∴ 的各边长扩大 倍，
∴ ， ， ．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似
比的平方．
知识点八、利用相似三角形测高
1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。
2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须
是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。
【例8】如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直
线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．
【答案与解析】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴ = ，
∴ = ，解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.2米．
【总结升华】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
知识点九、位似的概念及性质
1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似
图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似
图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。
2）相似图形与位似图形的区别与联系：
区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；
②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。
联系：位似图形是特殊的相似图形。
3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
【例9】（2022·浙江·诸暨市浣纱初级中学九年级期末）如图， 与 位似，点O为位似中心．已知
，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出相似比，然后根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 与 的相似比为 ，
∴ 与 的面积比为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的
关键．
知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形）利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于
1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延
长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
【例10】如图， 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，将 放大
为原来的2倍得 .
(1)在图中第一象限内画出符合要求的 （不要求写画法）
(2)计算 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）利用位似图形的性质，结合对应点坐标同乘以2，进而得出答案；
（2）利用经过点 的矩形的面积减去3个直角三角形的面积即可求得 的面积．
【详解】（1）解： 三个顶点的坐标分别为 ，以原点O为位似中心，将 放
大为原来的2倍得 ，
，顺次连接，
∴如图所示： 即为所求；
（2） 的面积为： ．
【点睛】本题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
【变式1】（2022·山西朔州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，则位
似中心是（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐
标即可．
【详解】作图如下：
延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)．
故选：B．
【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键．
【变式2】（2022·山西晋中·九年级期末）如图所示，小华在学习《图形的位似》时，利用几何画板软件，
在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△ABC ．
1 1 1(1)在图中标出△ABC与△ABC 的位似中心M点的位置，并写出M点的坐标 ；
1 1 1
(2)若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△ABC 的位似图形△ABC ，且△ABC 与
1 1 1 2 2 2 1 1 1
△ABC 的位似比为2：1（只画一种类型）．
2 2 2
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析
【分析】（1）连接 ，交于点 ，再利用待定系数法分别求出直线 的解析式，然后联立两
个解析式，解方程组即可得点 的坐标；
（2）画 在 轴左侧的情况，先根据位似比求出点 的坐标，再描点、连接起来即可得．
【详解】（1）解：如图，连接 ，交点 即为所求，
由图可知， ， ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
则点 的坐标为 ，
故答案为： ．
（2）解：画 在 轴左侧的情况，
与 的位似比为 ，且 ，
，即 ，
则画出 如图所示：
【点睛】本题考查了画位似图形、一次函数，熟练掌握位似图形的画法和性质是解题关键．
知识点十一、图形的变换与坐标
1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐
标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐
标上加、下减。
2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形
沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3）、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为
m,n km,kn km,kn
，则其位似图形对应点的坐标为 或 。
【例11】已知点 ， ，以原点O为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，点D与点B对应．
则点D的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解： 以原点 为位似中心，把线段 缩短为原来的 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，或 ．即 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比
为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
【变式】已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，点C 的坐标是 ；
1 1 1 1
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1；
2 2 2 2 2 2
(3)四边形AAC C的面积是 平方单位．
2 2
【答案】(1)（2，﹣2）
(2)见解析
(3)7.5
【分析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，如图所示，找出所求点坐标即可；
1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求
2 2 2 2 2 2
点坐标即可；
（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．
（1）
如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△ABC ，
1 1 1
点C 的坐标是（2，﹣2）；
1
（2）如图所示，以B为位似中心，使△ABC 与△ABC位似，且位似比为2：1，
2 2 2
∴ ，根据 画出点 ，
∴ ，根据 画出点 ，
点 与点 重合，
连接 、 、 ，即可得到△ABC
2 2 2；
（3）
四边形AAC C的面积是＝
2 2
故答案为：7.5
【点睛】本题主要考查了利用平移变换和位似变换进行作图，解决问题的关键是掌握：平移图形时，要先找
到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平
移后的图形．
【核心素养提升】
1. 数学建模-构建相似三角形模型解决实际问题
1．（2022·江西吉安·九年级期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它
的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长
度为 _____．
【答案】3.2m
【分析】连接AC，过点M作MF⊥PQ，根据同一时刻物体影子与实际高度成比例得 ，进行计算
即可得PF的长度，即可得．
【详解】解：如图所示，连接AC，过点M作MF⊥PQ，
∵PQ⊥QN，MN⊥QN，
∴四边形FQNM是矩形，
∴FQ=MN=0.8，
∵同一时刻物体影子与实际高度成比例，∴ ，
∴ ，
∴PF=2.4，
∴PQ=PF+FQ=2.4+0.8=3.2（m），
故答案为：3.2m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实
际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
2.逻辑推理-利用相似三角形的判定和性质进行推理
2．（2022·福建三明·九年级期末）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线
作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ ；
④DG⊥AC．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可知 ，有对顶角相等，可证∠EAB＝∠BFE，由
可证∠EAB＝∠DAG，可判断结论①正确；由 ， ，两边
对应成比例且夹角相等即可得△ACF∽△ADG，可判断结论②正确；由结论②可知 ，
可得DG平分 ，由正方形可知 是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，结论④正确；利用两组角
对应相等的两个三角形相似可得△ACF∽△AFH，根据相似的性质可得 ，则 ，又有
，则结论③错误．
【详解】解：设AB与EF相交于点O，如图所示，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故结论①正确；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的对角线，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
即 ．
∴△ACF∽△ADG．
故结论②正确；
由△ACF∽△ADG可知 ，
∴DG平分 ．
∵ 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故结论④正确；
∵ ， ，
∴△ACF∽△AFH，
∴ ，
∴ ．
∵在等腰直角 中， ，
∴ ，
故结论③错误，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，
熟练掌握相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键．
3.分类讨论思想
3．（2022·河南南阳·九年级期末）在 中， ，过点B作射线 ．
动点D从点A出发沿射线 方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线 方向以每秒2
个单位的速度运动．过点E作 交射线 于F，G是 中点，连接 ．设点D运动的时间为t，
当 与 相似且点D位于点E左侧时，t的值为_____________．
【答案】3或
【分析】若 与 相似，分情况讨论，则 或 ，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如下图：
， 是 的中点，
．
点D位于点E左侧时，即 ，
，
解得： ，
，
若 与 相似，则 或 ，
或 ，
或
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．
4.方程的思想
4．（2022·广西梧州·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点
O开始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一
点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当 POQ
与 AOB相似时t的值．
【答案】4或2【分析】分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA两种情况，利用相似三角形的性质分类求解即可．
【详解】解: 由题意，OP=t，OQ=6-t，
有两种情况：
①若△POQ∽△AOB，则有
即 ，
解得 t＝4．
②若△POQ∽△BOA，则有
即 ，
解得 t＝2．
∴ 当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】本题考查相似三角形的性质、解一元一次方程，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解答的关键．
5．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动
点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．
（1）当点D在边AB上时，
①求证：∠AFC＝45°；
②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；
（2）联结CE、BE，如果S△ACE ＝12，求S△ABE 的值．
【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝
∠BCF＝ ，则∠BCE＝2 ，∠ACE＝90°﹣2 ，再利用等腰三角形性质即可证得结论；
②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于
α α α
点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；
（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、
三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连
接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，
∵点B关于直线CD的对称点为点E，
∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝ ，
则∠BCE＝2 ，
α
∴∠ACE＝90°﹣2 ，
α
∵AC＝BC，
α
∴AC＝EC，
∴∠AEC＝∠EAC＝ [180°﹣（90°﹣2 ）]＝45°+ ，
∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+ ，
α α
∴∠AFC＝45°；
α
②如图2，连接BE，CE，
∵B、E关于直线CF对称，
∴CF垂直平分BE，
由（1）知：∠AFC＝45°，
