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专题 07 圆易错题
圆，期末必考。圆与其它不同是，圆中隐含条件多，圆的题解不出，往往不是由于条件不够，
更多的是由于条件太多，而我们由于对模型运用不够熟练，基础知识掌握不牢造成的。本专题精选
期末圆的易错试题，并配以详细的解答，为你复习迎考助力！
圆中易错两种情况
1.平行弦间距
AB∥ CD,AB=10,CD=8,圆的半径是5，
则AB与CD之间的距离是____
E
B A
O B O A
F
D F C D E C
EF=OE+OF=4+3=7 EF=OE-OF=4-3=1
2.点到圆上点的距离最大与最小：
点P到圆上一点的最大距离是6cm，最小距离是4cm，圆的半径是___
A P B A B P
6+4 6-4
r= =5 r= =1
2 2
3.弦对圆周角：
在半径是2的⊙O中，弦AB=2 3,则AB所对的圆周角_____.
P
2
1.画出示意图。
2.作OEAB，垂足为E。
O 3.可得：
BE= 3,OB=2
1
易证：1=60°，AOB=120°
A B
E
所以：P =60°，P =120°
2 1
P
1
4.相切的上下左右简记：
上切下切
左切右切
线段直线
分类讨论
实战训练
一．选择题
1．如图，△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2√3，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，则△ABC
的外心与△ACD的内心之间的距离为（ ）
A．2 B．√3+1 C．2√3 D．3
试题分析：如图，过点D作DG⊥AC于点G，并延长交AB于点F，得△ABC的外心，过点A作
AE平分∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，证明△ACD和△AEF是等边三角形，从
而可以解答．
答案详解：解：如图，过点D作DG⊥AC于点G，并延长交AB于点F，
△ACD中，AD=AC=DC=2√3，
∴△ACD是等边三角形，点G为AC中点，
过点A作AE平分∠DAC交DG于点E，则点E为△ACD的内心，∠EAC＝30°，
∵△ABC中，∠BAC：∠B：∠ACB＝1：2：3，
∴∠BAC＝30°，∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴BC∥EF，∠EAF＝∠EAC+∠BAC＝60°，∴∠AFE＝∠B＝60°，
∵AG＝CG，
∴点F为AB中点，即点F为△ABC的外心，
∴△AEF是等边三角形，
∵AC=2√3，
∴在Rt△ABC中，AB＝4，
∴EF＝AF＝2．
则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为2．
所以选：A．
2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，P是平面上的一个点，连换AP，BP，已知∠P
始终为直角，则线段CP长的最大值为（ ）
A．6 B．√29 C．√13+2 D．5
试题分析：首先证明点P在以AB为直径的 O上，连接OC，并延长CO与交 O于点P，此时
PC最大，利用勾股定理求出OC即可解决问⊙题． ⊙
答案详解：解：∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的 O上，
连接OC，并延长CO与交⊙ O于点P，此时PC最大，
⊙
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝2，
∴OC=√22+32=√13，
∴PC＝OC+OP=√13+2，
∴PC最在值为√13+2．
所以选：C．
3．给出下列结论：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
其中正确命题有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
试题分析：根据圆相关知识点进行判断即可．
答案详解：解：①、因为100°是钝角，所以只能是等腰三角形的顶角，则根据三角形的内角
和定理，知它们的底角也对应相等，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，则两个等
腰三角形相似，故正确；
②、三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，外接圆的圆心是三条垂直平分线的交点，
只有等边三角形的内心和外心才重合，故错误；
③、应当是圆心到直线的距离而不是圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，注意两者的
说法区别：前者是点到直线的距离，后者是两个点之间的距离，故错误；
④、等腰梯形不是中心对称图形，故错误；
⑤、平分弦中的弦不能是直径，因为任意的两条直径都是互相平分，故错误；
⑥、本题是平行公理，故正确．
因此正确的结论是①⑥．
所以选：A．
4．如图，△ABC 和△AMN 都是等边三角形，点 M 是△ABC 的外心，那么 MN：BC 的值为
（ ）
2 √3 1 4
A． B． C． D．
3 3 4 9
试题分析：延长AM交BC于点D，连接BM，根据△ABC是等边三角形可知AD⊥BC，设MD＝x，则BM＝AM＝2x，利用锐角三角函数的定义用x表示出AB的长，再根据相似三角形的性质
即可得出结论．
答案详解：解：如图，延长AM交BC于点D，连接BM，
∵△ABC是等边三角形，点M是△ABC的外心，
∴AD⊥BC，∠ABM＝∠BAM＝30°，AM＝BM，
设MD＝x，则BM＝AM＝2x，
∴AD＝3x，BD=√3x，
∴AB＝2BD＝2√3x，
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB＝BC＝2√3x，AM＝MN＝2x，
√3
∴MN：BC＝2x：2√3x= ．
3
所以选：B．
5．如图，在平面直角坐标系中，以 M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于
A，C两点，则AC的长为（ ）
A．4 B．2√5 C．2√13 D．6
试题分析：设 M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理
可得AC＝2AE⊙，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝
MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．
答案详解：解：设 M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，
⊙∴AC＝2AE，
∵ M与x轴相切于点D，
∴⊙∠MDO＝90°，
∵M（2，3），
∴ME＝2，MD＝3，
∴MA＝MD＝3，
在Rt△AEM中，AE=√AM2−EM2=√32−22=√5，
∴AC＝2AE＝2√5，
所以选：B．
6．如图，AB是 O的弦，PO⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C，若 O的
半径为√5，O⊙P＝1，则BC的长为（ ） ⊙
5
A．2 B．√6 C． D．√5
2
试题分析：根据切线的性质可得∠OBC＝90°，从而可得∠OBA+∠ABC＝90°，再根据垂直定义
可得∠POA＝90°，从而可得∠A+∠APO＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等角的余角相
等，对顶角相等可得∠ABC＝∠BPC，从而可得BC＝CP，最后在Rt△OBC中，利用勾股定理进
行计算即可解答．
答案详解：解：∵BC与 O相切于点B，
∴∠OBC＝90°， ⊙
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∵PO⊥OA，∴∠POA＝90°，
∴∠A+∠APO＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∴∠ABC＝∠APO，
∵∠APO＝∠BPC，
∴∠ABC＝∠BPC，
∴BC＝CP，
设BC＝CP＝x，
在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，
∴（√5）2+x2＝（x+1）2，
∴x＝2，
∴BC＝2，
所以选：A．
7．如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D的度数是
（ ） ⊙
A．56° B．58° C．60° D．62°
试题分析：连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角形的两
个锐角互余可得∠B＝62°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
答案详解：解：连接BC，∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠BAC＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，
∴∠B＝∠D＝62°，
所以选：D．
8．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．34° B．56° C．68° D．102°
试题分析：连接AD，根据AB是直径可知∠ADB＝90°＝∠DAB+∠ABD，即可求出∠DAB，根据
圆周角定的推论可得∠DAB＝∠BCD，则问题得解．
答案详解：解：连接AD，如图：
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°＝∠DAB+∠ABD，又∵∠DAB＝∠BCD，∠ABD＝56°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝34°．
所以选：A．
9．如图，线段AB是 O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连
结PC，则∠APC的⊙度数不可能是（ ）
A．30° B．25° C．10° D．5°
试题分析：连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，
再利用三角形的外角即可解答．
答案详解：解：连接CB，
∵∠AOC＝60°，
1
∴∠ABC= ∠AOC＝30°，
2
∵∠ABC是△PBC的一个外角，
∴∠ABC＞∠APC，
∴∠APC的度数不可能是30°，
所以选：A．
10．下列语句：①长度相等的弧是等弧；②过平面内三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于
弦；④90°的圆周角所对的弦是直径；⑤等弦对等弧．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
试题分析：根据等弧的概念、确定圆的条件、垂径定理的推论、圆周角定理判断即可．
答案详解：解：①长度相等的弧不一定是等弧，本小题说法错误；
②过平面内不在同一直线上的三点可以作一个圆，本小题说法错误；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本小题说法错误；④90°的圆周角所对的弦是直径，本小题说法正确；
⑤在同圆或等圆中，等弦所对的劣等弧，所对的优弧是等弧，本小题说法错误；
所以选：A．
11．如图，点A，B，C，D都在圆上，线段AC与BD交于点M，MB＝MD，当点B，D，M保持不
变，点A在圆上自点B向点D运动的过程中（点A不与点B，点D重合），那么线段MA与MC
的乘积（ ）
A．不变 B．先变大，后变小
C．变大 D．先变小，后变大
试题分析：根据相交弦定理直接解答即可．
答案详解：解：∵点A，B，C，D都在圆上，
∴MB•MD＝AM•MC，
∵MB＝MD，当点B，D，M保持不变，
∴MB•MD为定值，
∴AM•MC为定值．
所以选：A．
二．填空题（共28小题）
12．如图，半圆O的直径DE＝12cm，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12cm．半
圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．
设运动时间为t（s），运动开始时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm．当t＝ 1 s ， 4 s ， 7 s ，
16 s 时，Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
试题分析：分4种情况讨论：①当圆心O运动到点E与点C重合是时；②当圆心O运动到AC
右侧与AC相切时；③过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，
圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与
△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝4．答案详解：解：①当圆心O运动到点E与点C重合是时，
∵AC⊥OE，OC＝OE＝6cm，
此时AC与半圆O所在的圆相切，点O运动了2cm，
所求运动时间为t＝2÷2＝1（s）；
②当圆心O运动到AC右侧与AC相切时，
此时OC＝6cm，点O运动的距离为8+6＝14（cm），
所求运动时间为t＝14÷2＝7（s）；
③如图1，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC＝30°，BC＝12cm，
∴FO＝6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
∵圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t＝8÷2＝4（s），
当点O运动到B点的右侧，且OB＝12cm时，
如图2，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ＝30°，则OQ＝6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t＝32÷2＝16s，
综上可知当t的值为1s或4s或7秒或16s时，
Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
所以答案是：1s，4s，7s，16s．13．已知点M（2.0）， M的半径为1，OA切 M于点A，点P为 M上的动点，当P的坐标为
⊙ ⊙ ⊙
3 √3
（ 1 ， 0 ），（ 3 ， 0 ）（ ， ） 时，△POA是等腰三角形．
2 2
试题分析：根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA＝PO＝1，OA＝OP″＝
3，当点P是切点时，AO＝AP=√3，进而可以解决问题．
3 √3
答案详解：解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（ ， ）时，△POA是等腰三
2 2
角形．理由如下：
连接AM，
∵M（2.0）， M的半径为1，
∴OM＝2，AM⊙＝PM＝1，
∴OP＝1，
∵OA切 M于点A，
∴∠MAO⊙＝90°，
∴∠AOM＝30°，
∴∠AMO＝60°，
∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，
∴P（1，0）；
当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H，
∵OA切 M于点A，
∴OP′切⊙ M于点P′，
∴∠P′OM⊙＝∠AOM＝30°，
∴∠AOP′＝60°，
∴△AOP′是等边三角形，
∴AP′＝OA=√OM2−AM2=√22−12=√3，
√3 3 1 √3
∴OH= OA= ，P′H= AP′= ，
2 2 2 2
3 √3
∴P′（ ， ）；
2 2
∵MA＝MP″，∠AMO＝60°，
∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，
∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，
∴OA＝OP″，
∴P″（3，0）．
3 √3
综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（ ， ）时，△POA是等腰三角形．
2 2
3 √3
所以答案是：（1，0），（3，0），（ ， ）．
2 2
14．已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范
围是 4√3＜ h ≤ 4+2 √3 ．
试题分析：做出三角形的外接圆，根据h≤AO+OP求解即可．
答案详解：解：如图1，作△ABC的外接圆 O，连接OA，OB，OC，过O作OP⊥BC，
⊙∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵BC＝4，
∴OA＝BC＝4，PO＝2√3，
∴h≤AO+OP＝4+2√3，
如图2，A B⊥BC，A C⊥BC，则A B＝4√3，
1 2 1
∵三角形ABC是锐角三角形，
∴点A在^A A 之间，
1 2
∴h的取值范围是：4√3＜h≤4+2√3，
所以答案是：4√3＜h≤4+2√3．
15．如图，已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上
20
的动点，且∠CPQ＝90°，则线段CQ的取值范围是 ≤ CQ ≤ 12 ．
3试题分析：根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：
一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交．首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时
CQ的范围．
答案详解：解：∵Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，
∴AB＝13，
①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，则
OP⊥AB，且AC＝AP＝5，
∴PB＝AB﹣AP＝13﹣5＝8；
设CO＝x，则OP＝x，OB＝12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+OB2，
即（12﹣x）2＝x2+82，
10
解之得x= ，
3
20
∴CQ＝2x= ；
3
20
即当CQ= 且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．
3
20
②当 ＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，
3
△CPQ为直角三角形
20
③当0＜CQ＜ 时，半圆O与直线AB相离，即点 P在AB边上运动时，均在半圆 O外，
3
∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．20
∴当 ≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．
3
20
所以答案是： ≤CQ≤12．
3
16．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连
接DF．若OE＝2√3，DF＝1，则△ABC的周长为 6+ 2√33 ．
试题分析：由BC、OE互相平分可证明四边形BECO为平行四边形，由OC＝OB可得BECO为
菱形，可得∠BOD＝60°，∠BAE＝∠EAC＝30°，CF⊥AE于F，可证△AGC为等边三角形，F
为中点，则由中位线性质可得BG＝2DF．在Rt△BHC中利用勾股定理可求GH，进而得到AB、
AC，得到△ABC的周长．
答案详解：解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．
∵BC、OE互相平分，
∴四边形BECO为平行四边形，
∵OB＝OC，
∴四边形BECO为菱形，
∴^BE=^EC，
∵OE＝2√3，
OD √3
∴Rt△BOD中，tan∠OBD= = ，
BD 3
∴∠OBD＝30°，
∴∠BOD＝60°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∵CF⊥AE，
∴F为GC中点，△AGC为等边三角形，
∴BG＝2DF＝2，
在Rt△BCH中，BH2+HC2＝BC2，
∴（2+GH）2+（√3GH）2＝62，
−1−√33 −1+√33
解得GH= （舍去）或GH= ，
2 2
∴AG＝AC＝﹣1+√33，
∴△ABC的周长为6+2√33．
所以答案是：6+2√33．
17．如图，D为△ABC的内心，点E在AC上，且AD⊥DE，若DE＝2，AD＝CE＝3，则AB的长
4
为 √13+ ．
3
试题分析：延长ED交AB于点F，连接BD，将线段AB分为AF和BF两部分，分别计算：先证
明△ADE≌△ADF，利用勾股定理得AE的长度，即为AF的长度，再证明△BFD∽△DEC，利
用相似，列比例式求得BF，两者相加即可．
答案详解：解：如图，延长ED交AB于点F，连接BD，
∵AD⊥DE
∴∠ADE＝∠ADF＝90°
∵D为△ABC的内心∴∠DAE＝∠DAF
∵AD＝AD
∴△ADE≌△ADF（ASA）
∵AE＝AF，DE＝DF＝2
∴AE=√32+22=√13
∴AF=√13
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）
1
＝180°− （∠BAC+∠ACB）
2
1
＝180°− （180°﹣∠ABC）
2
1
＝90°+ ∠ABC
2
＝90°+∠ABD
＝90°+∠CBD
＝90°+∠CDE
∴∠ABD＝∠CBD＝∠CDE
∵△ADE≌△ADF
∠AFD＝∠AED
∴∠BFD＝∠DEC
∴△BFD∽△DEC
BF DF
∴ =
DE CE
BF 2
∴ =
2 3
4
∴BF=
3
4
∴AB＝AF+BF=√13+
3
4
所以答案是：√13+
3
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P到达点B
4
时，线段A'P扫过的面积为 π−√3 ．
3
试题分析：依据轴对称的性质，即可得到AC＝A'C，进而得出点A'的运动轨迹为以C为圆心，
AC长为半径的一段圆弧；再根据扇形面积的计算公式，即可得到线段A'P扫过的面积．
答案详解：解：∵△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，
∴∠ABC＝90°，AC＝2BC＝2，AB=√3，
如图①所示，点A关于直线CP的对称点为A'，
∴AC＝A'C，
∴点A'的运动轨迹为以C为圆心，AC长为半径的一段圆弧，
当点P与点B重合时，线段A'P扫过的区域为弓形，如图②，
∠APA'＝180°，∠ACA'＝120°，
120π×22 1 4
∴线段A'P扫过的面积为 − ×2√3×1= π−√3，
360 2 3
4
所以答案是： π−√3．
3
19．点M是半径为5的 O内一点，且OM＝4，在过M所有 O的弦中，弦长为整数的弦的条数
为 8 ． ⊙ ⊙
试题分析：先求出过M所有 O的弦的取值范围，再取整数解．
答案详解：解：过点M作A⊙B⊥OM于M，连接OA，因为OM＝4，半径为5，所以AM=√52−42=3，所以AB＝3×2＝6，
所以过点M的最长弦为5×2＝10，最短弦为6，
在6和10之间的整数有7，8，9，由于左右对称，弦的条数有6条，
加上AB和OM，共8条．
20．AB＝AC＝AD，∠CAB＝100°，则∠BDC＝ 50 ° 或 130 ° ．
试题分析：分两种情况，当点D在优弧^BDC上时，当点D′在劣弧^BC上时，然后利用圆周角
定理进行计算即可解答．
答案详解：解：如图：
∵AB＝AC＝AD，
∴点B、C、D在以点A为圆心，以AB长为半径的圆上，
当点D在优弧^BDC上时，
∵∠CAB＝100°，
1
∴∠BDC= ∠BAC＝50°，
2
当点D′在劣弧^BC上时，
∵四边形BDCD′是圆内接四边形，
∴∠BD′C＝180°﹣∠BDC＝130°，
综上所述：∠BDC＝50°或130°，
所以答案是：50°或130°．21．如图，AB是 O的弦，AB=2√2，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC
是△ABP的中线⊙．
（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝ 2 ；
（2）AC的最大值＝ 1+√5 ．
试题分析：（1）作BH⊥AC，根据△BAC∽△BPA，求出BC＝2，再证明H和C重合即可得到
答案；
（2）确定点C的运动轨迹，轨迹点圆关系找到AC的最大值就是AC'长，再计算求解．
答案详解：解：如图1，过点B作BH⊥AC于点H，
∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠P，
∴△BAC∽△BPA，
BA BC
∴ = ，
BP BA
∴BA2＝BC•BP，
∵AC是△ABP的中线，
∴BP＝2BC，
∴（2√2）2＝BC•2BC，
∴BC＝2，
在Rt△ABH中，∠CAB＝∠P＝45°，AB＝2√2，
∴BH＝AH＝2，
又∵BC＝2，
∴点H和点C重合，
∴AC＝AH＝2．
所以答案是：2；
（2）如图2，
∵点P的运动轨迹是圆，
∴点C的运动轨迹是OB为直径的圆，∴当AC'经过圆心O'时最大．
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝90°，
又∵AB＝2√2，
∴AO＝BO＝2，OO'＝1，
∴AO'=√5，
∵O'C'＝1，
∴AC'＝1+√5，
∴AC的最大值为1+√5．
所以答案是：1+√5．
22．如图，已知点A（3，0）、B（﹣1，0）点Q是y轴上一点，当∠AQB＝135°时点Q的坐标是
（ 0 ， √7− 2 ）或（ 0 ， 2 −√7） ．试题分析：分两种情况：
①如图，当Q在y轴的负半轴上时，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，证明
△QEC≌△CFB，设CE＝a，根据三角函数列方程可解答；
②同理Q在y轴的正半轴上时，根据对称得出点Q的坐标．
答案详解：解：分两种情况：
①如图，当Q在y轴的负半轴上时，过点B作BC⊥AQ，交AQ的延长线于C，过点C作EF⊥y
轴于E，过点B作BF⊥EF于F，
∵∠AQB＝135°，
∴∠CQB＝45°，
∵∠BCQ＝90°，
∴△BCQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝CB，
∵∠BCF+∠ECQ＝∠ECQ+∠CQE＝90°，
∴∠BCF＝∠CQE，
∵∠F＝∠CEQ＝90°，
∴△QEC≌△CFB（AAS），
∴EQ＝CF，CE＝BF，
设CE＝a，则CF＝EQ＝3﹣a，BF＝CE＝a，
∴OQ＝a﹣（3﹣a）＝2a﹣3，
∵∠AQO＝∠CQE，
AO CE
∴tan∠AQO＝tan∠CQE，即 = ，
OQ EQ
1 a
∴ = ，
2a−3 3−a
1+√7 1−√7
解得：a1= ，a2= （舍），
2 21+√7
当a= 时，OQ＝2a﹣3=√7−2，
2
∴Q（0，2−√7）；
②当Q在y轴的正半轴上时，同理可得Q（0，√7−2）．
综上，点Q的坐标为（0，2−√7）或（0，√7−2）．
所以答案是：（0，2−√7）或（0，√7−2）．
23．已知等腰△ABC的外心是O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则∠ABC＝ 25 ° 或 65 ° ．
试题分析：画出相应图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形2种情况解答即可．
答案详解：解：
（1）圆心O在△ABC外部，
在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD．
1
∴∠BDC= ∠BOC＝50°，
2
∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝25°；
（2）圆心O在△ABC内部．
1
∠BAC= ∠BOC＝50°，
2
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）÷2＝65°；
所以答案是25°或65°．
24．已知 O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB＝2：3，CP＝2cm，DP＝12cm，则弦AB
⊙的长为 1 0 cm．
试题分析：根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘
积相等”进行计算．
答案详解：解：设AP＝2x，
由AP：PB＝2：3得PB＝3x，
由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD，
∴2x•3x＝2×12，x＝2（舍去负值），
∴AB＝AP+PB＝5x＝10cm．
25．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为r，则r的最小
值为 5 或 4 ．
试题分析：分类讨论：当AD在△ABC内部，利用勾股定理求法可得三角形第3边长，可得三角
形的形状为直角三角形，完全覆盖△ABC的圆的最小半径为直角三角形斜边的一半；当 AD在
△ABC外部，即△ABC是钝角三角，以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆．
答案详解：解：（1）当AD在△ABC内部，如图：
∵AB＝6，AC＝8，高AD＝4.8，
∴BD＝3.6，CD＝6.4，
∴BC＝10，
∵62+82＝102．
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，
1
∴完全覆盖△ABC的圆的最小半径为10× =5；
2
（2）当AD在△ABC外部，即△ABC是钝角三角，
∵以AC为直径的圆是能完全覆盖△ABC的最小圆，
1
∴能完全覆盖△ABC的圆的半径R的最小值为8× =4，
2
所以答案是：5或4．
26．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC
外接圆半径的长度为 √13 ．试题分析：三角形的外心是三边中垂线的交点，设△ABC的外心为M；由A、B、C的坐标知：
AB、BC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0），由勾股定理即可求得 M的
半径长． ⊙
答案详解：解：设△ABC的外心为M，如图：
∵A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3），
∴AB、BC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；
MA就是 M的半径长，
⊙
由勾股定理得：MA=√22+32=√13，
即△ABC的外接圆半径为√13．
所以答案是：√13．
27．如图，AB是 O的直径，AD、BC是 O的切线，P是 O上一动点，若AD＝3，AB＝4，BC
＝6，则△PDC⊙的面积的最小值是 4 ⊙． ⊙
试题分析：由 CD 是固定的，所以当 P 到 CD 的距离最小时△PCD 的面积最小，过 P 作
EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，当EF与 O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并
延长交CD于点Q，过O作OH∥BC，交EF于点⊙G，交CD于点H，则可知OH为梯形ABCD的
中位线，OG为梯形ABFE的中位线，可求得OH，过D作DM⊥BC于点M，可求得CD＝EF＝
5，由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，可得AE+BF＝EF＝5，可求得OG＝2.5，可求得GH
OP OG
＝2，又OP＝2，且 = ，可求得PQ＝1.6，可求得△PCD的面积，可得出答案．
PQ GH答案详解：解：由CD是固定的，所以当P到CD的距离最小时△PCD的面积最小，如图，过
P作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，
当EF与 O相切时，P到CD的距离最短，连接OP并延长交CD于点Q，
过O作O⊙H∥BC，交EF于点G，交CD于点H，
则可知OH为梯形ABCD的中位线，OG为梯形ABFE的中位线，
1
∴OH= （AD+BC）＝4.5，
2
过D作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC﹣AD＝3，
∴CD＝EF＝5，
由切线长定理可知AE＝EP，BF＝PF，
∴AE+BF＝EF＝5，
1
∴OG= （AE+BF）＝2.5，
2
∴GH＝OH﹣OG＝4.5﹣2.5＝2，
OP OG
又∵OP＝2，且 = ，
PQ GH
2 2.5
∴ = ，
PQ 2
∴PQ＝1.6，
1 1
∴S△PCD =
2
PQ•CD =
2
×1.6×5＝4，
所以答案是：4．
28．如图， O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，则内外两个正三角形的相似比是
⊙
1
．
2试题分析：过O作OM⊥AC于M，ON⊥EF于N，连接OC、OF，设OC＝ON＝R，根据等边三
角形性质推出∠MCO＝∠OFN＝30°，求出OM、OF的值，根据勾股定理求出CM、FN，根据垂
径定理求出AC、EF值，即可求出答案．
答案详解：解：
过O作OM⊥AC于M，ON⊥EF于N，连接OC、OF，
设OC＝ON＝R，
∵ O既是正△ABC的外接圆，又是正△DEF的内切圆，
∴⊙∠MCO＝∠OFN＝30°，
∵∠CMO＝∠FNO＝90°，
1
∴OM= R，OF＝2R，
2
√ 1 2 √3
由勾股定理得：CM= (R) 2−( R) = R，
2 2
由垂径定理得：AC＝2CM=√3R，
同理EF＝2NF＝2√3R，
1
即内外两个正三角形的相似比是AC：EF＝1：2= ，
2
1
所以答案是： ．
2
29．如图，点C在以O为圆心的半圆内一点，直径AB＝4，∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，将△BOC
绕圆心逆时针旋转到使点C的对应点C′在半径OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）面
积为 .（结果保留 ）
π π试题分析：根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可．
答案详解：解：∵∠BCO＝90°，∠OBC＝30°，
1
∴OC= OB＝1，BC=√3，
2
则 边 BC 扫 过 区 域 的 面 积 为 ：
120π×22 1 120π×12 1 4 √3 1 √3
+ ×√3×1− − ×√3×1= π+ − π− = ．
360 2 360 2 3 2 3 2
π
所以答案是： ．
30．如图，C、Dπ是 O上两点，位于直径AB的两侧，设∠ABC＝24°，则∠BDC＝ 6 6 °．
⊙
试题分析：根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互
余可得∠A＝66°，从而利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
答案详解：解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠ABC＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝66°，
∴∠BDC＝∠A＝66°，
所以答案是：66．
31．某园林单位要在一个绿化带内开挖一个△ABC的工作面，使得∠ACB＝60°，CD是AB边上的
高，且CD＝6，则△ABC的面积最小值是 1 2√3 ．试题分析：作△ABC的外接圆 O，连接OA、OB、OC，作OE⊥AB于E，设OA＝OC＝2x．根
⊙
1
据圆周角和等腰三角形的性质得OE= OA＝x，AE=√3x，再由线段的不等关系可得最小值，最
2
后根据三角形面积公式答案．
答案详解：解：作△ABC的外接圆 O，连接OA、OB、OC，作OE⊥AB于E，设OA＝OC＝
2x． ⊙
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，OA＝OB＝R，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
1
∴OE= OA＝x，AE=√3x，
2
∵OC+OE≥CD，CD＝6，
∴3x≥6，
∴x≥2，
∴x的最小值为2．
∵E为AB中点，
∴AB＝AE+BE＝2AE＝2√3x，
∵AB的最小值为4√3，
1 1
∴S△ABC 的最小值=
2
CD⋅AB=
2
×6×4√3= 12√3．所以答案是：12√3．
32．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD的中点，点P是边AB上的一个动点，连接PE，以P
3
为圆心，PE的长为半径作 P．当 P与正方形ABCD的边相切时，则AP的长为 或 2√3
2
⊙ ⊙
．
试题分析：分 P与BC相切、 P与DC相切两种情况，根据切线的性质、勾股定理计算即可．
答案详解：解⊙：当 P与BC相⊙切时，PE＝PB＝4﹣AP，
在Rt△PAE中，AP2⊙+AE2＝PE2，即AP2+22＝（4﹣AP）2，
3
解得：AP= ，
2
当 P与DC相切时，PE＝4，
⊙
则AP=√42−22=2√3，
3
综上所述，当 P与正方形ABCD的边相切时，则AP的长为 或2√3，
2
⊙
3
所以答案是： 或2√3．
2
33．如图，在扇形AOB中，OA＝2，点P为^AB上一动点，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于
点D，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的周长为 4+ ．
π
试题分析：∠AOB＝90°时，CD最大，由求出扇形的周长即可．
答案详解：解：由PC⊥OA，PD⊥OB可知，∠OCP+∠ODP＝180°，
∴O、C、P、D四点共圆，CD为此圆直径时，CD最大，
∴当∠AOB＝90°时，CD最大，如图：90⋅π⋅2
此时扇形周长为2+2+ =4+ ．
180
π
所以答案是：4+ ．
34．如图，圆内一条π弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦
心距是 1 cm ．
试题分析：首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和
5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交
成30°角，即可求得这条弦的弦心距．
答案详解：解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，
∵分直径成1cm和5cm两部分，
∴AB＝6cm，
1
∴OA= AB＝3cm，
2
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
∵∠OEF＝30°，
1
∴OF= OE＝1（cm）．
2
所以答案是：1cm．
35．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为7 dm 或 1 dm ．
试题分析：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连
1
OA、OC，根据垂径定理得AE＝BE= AB＝3，由于AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD，根据垂径
2
1
定理得CF＝FD= CD＝4，然后利用勾股定理可计算出OE＝4，OF＝3，再进行讨论：当圆心
2
O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF；当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD
的距离＝OE﹣OF．
答案详解：解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，
过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，
1
∴AE＝BE= AB＝3，
2
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
1
∴CF＝FD= CD＝4，
2
在Rt△OAE中，OA＝5dm
OE=√OA2−AE2=√52−32=4，
同理可得OF＝3，
当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；
当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．
所以答案是7dm或1dm．
36．如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的
点共有 1 2 个．试题分析：因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2＝
25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．
答案详解：解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，
即圆周上的任意一点到原点的距离为5，
由题意得：√x2+ y2=5，即x2+y2＝25，
又∵x、y都是整数，
∴方程的整数解分别是：x＝0，y＝5；x＝3，y＝4；x＝4，y＝3；
x＝5，y＝0；x＝﹣3，y＝4；x＝﹣4，y＝3；
x＝﹣5，y＝0；x＝﹣3，y＝﹣4；x＝﹣4，y＝﹣3；
x＝0，y＝﹣5；x＝3，y＝﹣4；x＝4，y＝﹣3．
共12对，所以点的坐标有12个．
分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，
0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．
37．在 O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于 6 0 或 12 0 °．
试题⊙分析：根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所
对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．
答案详解：解：如图，
∵弦BC垂直平分半径OA，
∴OD：OB＝1：2，
∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，
∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．
所以答案是：60或120．
38．圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么它所对的圆周角度数为 3 0 或 15 0 度．
试题分析：由圆周角定理知，弦所对的优弧上的圆周角是30°；
由圆内接四边形的对角互补可知，弦所对劣弧上的圆周角＝180°﹣30°＝150°．
因此弦所对的圆周角度数有两个．
答案详解：解：如图，∠AOB＝60°；
1
则∠C= ∠AOB＝30°；
2
∵四边形ADBC是 O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠C⊙＝150°；
因此弦AB所对的圆周角度数为30°或150°．
39．一圆中两弦相交，一弦长为2a且被交点平分，另一弦被交点分成1：4两部分，则另一弦长为
5a
．
2
试题分析：设另一条弦被分成的两段长分别是x，4x，根据相交弦定理求解．
圆内两条相交弦，被交点分成的线段的乘积相等．
答案详解：解：设另一条弦被分成的两段长分别是x，4x．
根据相交弦定理，得
x•4x＝a2，
a
x= ．
2
5
所以5x= a．
2
三．解答题
40．如图，CD为 O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
⊙（1）求∠B的度数；
（2）若CE＝4√3，求圆O的半径．
试题分析：（1）根据垂径定理求出BE＝CE，根据线段垂直平分线性质求出AB＝AC，同理得
AC＝BC，则△ABC是等边三角形，从而得结论；
（2）求出∠BCD＝30°和OE＝4，根据直角三角形中含30°角的性质求出圆O的半径即可．
答案详解：解：（1）如图，
∵AO⊥BC，AO过O，
∴CE＝BE，
∴AB＝AC，
同理得：AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC是等边三角形
∴∠B＝60°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠BCD＝30°，
∵CE＝4√3，
在Rt△CEO中，OE＝4，
∴OC＝2OE＝8，
即圆O的半径为8．
41．如图，AB是 O的直径，点C，D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点
E，F． ⊙ ⊙
（1）求证：点D为^AC的中点；
（2）若DF＝4，AC＝16，求 O的直径．
⊙试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°，从而利用平行线的性质可得
∠OFA＝∠C＝90°，从而可得OF⊥AC，然后利用垂径定理即可解答；
1
（2）利用垂径定理可得AF= AC＝8，然后在Rt△AFO中，利用勾股定理进行计算即可解答．
2
答案详解：（1）证明：∵AB是 O的直径，
∴∠C＝90°， ⊙
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝∠C＝90°，
∴OF⊥AC，
∴^AD=C^D，
∴点D为^AC的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
1
∴AF= AC＝8，
2
在Rt△AFO中，AO2＝AF2+OF2，
∴OA2＝64+（OD﹣DF）2，
∴OA2＝64+（OA﹣4）2，
∴OA＝10，
∴ O的直径为20．
42．如⊙图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，
（1）求∠D的⊙度数；
（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．试题分析：（1）连接CB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用直角三角
形的两个锐角互余可得∠ABC＝55°，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）利用三角形的外角性质，进行计算即可解答．
答案详解：解：（1）连接CB，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，
∴∠ABC＝∠D＝55°，
∴∠D的度数为55°；
（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，
∴∠CEB的度数为100°．
43．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，D为弧BC的中点，过D作DF⊥AB于点E，交
O于点F，交⊙弦BC于点G，连接⊙CD，BF．
⊙（1）求证：BC＝DF．
（2）若BC＝8，BE＝2，求 O的半径．
⊙试题分析：（1）根据AAS证明△CDB≌△DBF，可得结论；
（2）先根据垂径定理可得DE＝4，设 O的半径为r，利用勾股定理求解即可．
答案详解：（1）证明：∵D是^BC的中⊙点，
∴^BD=C^D，
∵AB为 O的直径，DF⊥AB，
∴^BD=⊙ ^BF，
∴^BD=^BF=C^D，
∴BF＝CD＝BD，∠DCB＝∠BDF＝∠CBD＝∠F，
∴△CDB≌△DBF（AAS），
∴BC＝DF；
（2）解：如图，连接OD交BC于点M，
∵AB为 O的直径，DF⊥AB，
∴DE＝E⊙F，
∵BC＝DF＝8，
∴DE＝4，
设 O的半径为r，则OE＝r﹣2，
在⊙Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，
∴r＝5，
∴ O的半径为5．
⊙44．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是^AC上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）若∠ADC⊙＝70°，求∠AGD的度数；
（2）若OE＝3，CD＝8，求 O的半径r．
⊙
试题分析：（1）根据垂径定理可得^AC=^AD，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠ADC＝
∠AGD，即可解答；
（2）连接OC，根据垂径定理可得CE＝4，然后在Rt△OCE中，利用勾股定理进行计算即可解
答．
答案详解：解：（1）∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
∴^AC=^AD，
⊙
∴∠ADC＝∠AGD，
∵∠ADC＝70°，
∴∠AGD＝70°，
∴∠AGD的度数为70°；
（2）连接OC，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，CD＝8，
1⊙
∴CE= CD＝4，
2
在Rt△OCE中，OE＝3，
∴OC=√OE2+CE2=√32+42=5，
∴ O的半径r为5．
⊙45．如图，在圆O中，弦AB的垂直平分线OE交弦BG于点D，OE交圆O于点C、F，连接OG，
OB，圆O的半径为r．
（1）若∠AGB＝60°，求弦AB的长（用r的代数式表示）；
（2）证明：∠E＝∠OBD；
（3）若D是CO中点，求EF的长（用r的代数式表示）．
试题分析：（1）设OF交AB于N，连接AO，根据圆的性质与三角函数计算可得答案；
（2）想办法证明∠E＝∠OBD，∠OGB＝∠OBD可得结论；
（3）证明△OGD∽△OEG，相似三角形的性质可得答案．
答案详解：（1）解：设OF交AB于N，连接AO，
∴∠AOB＝2∠AGB＝120°，
∵OA＝OB，ON⊥AB，
1
∴AN＝BN= AB，
2
1
∴∠AOB＝∠BON= ∠AOB＝60°，∠ONB＝∠ONA＝90°，
2
AN √3
∴sin∠AON= = ，
AO 2√3
∴AN= r，
2
∴AB=2AN=√3r；
1
（2）证明：∵∠AOB＝2∠AGB，∠AON＝∠BON= ∠AOB，
2
∴∠BON＝∠AGB，
∴∠EGD＝∠DOB，
∵∠EDG＝∠BDO，
∴∠E＝∠OBD；
（3）解：∵OG＝OB，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴∠E＝∠OGB．
∵D是CO中点，
1 r
∴OD= OC= ，
2 2
∵∠OGD＝∠E，∠GOD＝∠EOG，
∴△OGD∽△OEG，
r OE
OG OE =
∴ = ，即r r ，
OD OG
2
∴OE＝2r，
∵OF＝r，
∴EF＝OE+OF＝3r．
46．如图，在△ABC中，以AB为直径的 O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C． ⊙
（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD=√5，求AH的值．试题分析：（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质可得结论；
（2）先利用勾股定理计算AD的长，证明△ADB∽△DFC，列比例式可得CF＝1，DF＝2，作
辅助线，证明四边形OGFD是矩形，根据同角的三角函数可得FH的长，最后利用勾股定理可
得结论．
答案详解：证明：（1）连接AD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴AD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）在Rt△ADB中，AB＝5，CD＝BD=√5，
∴AD=√AB2−BD2=√52−(√5) 2=2√5，
∵∠B＝∠C，∠DFC＝∠ADB＝90°，
∴△ADB∽△DFC，
BD AD AB
∴ = = ，
CF DF CD
√5 2√5 5
∴ = = ，
CF DF √5
∴CF＝1，DF＝2，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣1＝4，
过O作OG⊥AC于G，
∵∠OGF＝∠GFD＝∠ODF＝90°，
∴四边形OGFD是矩形，∴OG＝DF＝2，
OG FH
∴sin∠FAH= = ，
AO AF
2 FH
= 16
∴5 4 ，FH = ，
5
2
12
Rt△AFH中，AH=√AF2−FH2=
．
5
47．如图，△ABC是 O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交 O于点D，交AB于点
E，连接AD、BD．⊙ ⊙
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得
∠ACD＝∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性质进行计算即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的结论可得^AD=^BD，从而
可得AD＝DB，然后利用等腰直角三角形的性质进行计算即可解答．
答案详解：解：（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵CD平分∠ACB，1
∴∠ACD＝∠BCD= ∠ACB＝45°，
2
∵∠CAB＝25°，
∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，
∴∠AED的度数为70°；
（2）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°⊙，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴^AD=^BD，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，
AB
∴AD＝BD = = 2√2，
√2
∴AD的长为2√2．
48．已知△ABC内接于 O，AB为 O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．
（Ⅰ）如图①，若C⊙D平分∠AC⊙B，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；
（Ⅱ）如图②，过点D作 O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．
⊙
试题分析：（Ⅰ）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得
∠ACD＝∠DCB＝45°，从而求出∠ABC的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠D
＝36°，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答；
（Ⅱ）连接OC，OD，根据切线的性质可得∠ODP＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠BAC
＝∠OCA＝36°，∠ACB＝∠ABC＝72°，从而求出∠OCD的度数，然后再根据OD＝OC，求出
∠ODC的度数，最后利用三角形的外角求出∠DOC的度数，从而求出∠P的度数．
答案详解：解：（Ⅰ）∵AB为 O直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙∵CD平分∠ACB，
1
∴∠ACD＝∠DCB= ∠ACB＝45°，
2
∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，
∵∠A＝∠D＝36°，
∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝99°，
∴∠ABC的度数为54°，∠CBD的度数为99°；
（Ⅱ）连接OC，OD，
∵DP与 O相切于点D，
∴∠ODP⊙＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA＝36°，
∵AE＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠OCD＝∠ACE﹣∠OCA＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝36°，
∴∠DOE＝∠AEC﹣∠ODC＝36°，
∴∠P＝90°﹣∠DOE＝54°，
∴∠P的度数为54°．
49．如图，BE为 O的直径，点A和点D是 O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交
BE的延长线于⊙点C，使∠EAC＝∠EDA． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若AD⊥BC于⊙点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．试题分析：（1）连接 OA，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAE＝90°，从而可得
∠BAO+∠OAE＝90°，再利用等腰三角形的性质，以及同弧所对的圆周角相等可得∠OAB＝
∠D，进而可得∠EAC＝∠OAB，然后求出∠OAC＝90°，即可解答；
（2）根据垂径定理可得^AE=^DE，从而可得AE＝DE＝4，然后设 O的半径为r，在Rt△OAF
和Rt△AEF中，利用勾股定理列出关于r的方程，从而求出OA＝O⊙E＝4，然后可得△OAE是等
边三角形，从而可得∠AOE＝60°，再在Rt△OAC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，
最后根据阴影部分的面积＝△OAC的面积﹣扇形OAE的面积，进行计算即可解答．
答案详解：（1）证明：连接OA，
∵BE为 O的直径，
∴∠BAE⊙＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∵∠D＝∠B，
∴∠OAB＝∠D，
∵∠EAC＝∠D，
∴∠EAC＝∠OAB，
∴∠EAC+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是 O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解⊙：∵AD⊥BC，∴^AE=^DE，
∴AE＝DE＝4，
设 O的半径为r，
在⊙Rt△OAF中，AF2＝OA2﹣OF2＝r2﹣4，
在Rt△AEF中，AF2＝AE2﹣EF2＝16﹣（r﹣2）2，
∴r2﹣4＝16﹣（r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣2（舍去），
∴OA＝OE＝4，
∵OA＝OE＝AE＝4，
∴△OAE是等边三角形，
∴∠AOE＝60°，
在Rt△OAC中，AC＝OA•tan60°＝4√3，
∴阴影部分的面积＝△OAC的面积﹣扇形OAE的面积
1 60π×42
= AC•OA−
2 360
1 8
= ×4√3×4−
2 3
π
8
＝8√3− ，
3
π
8
∴阴影部分的面积为8√3− ．
3
π
50．如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，过 O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于
点G，交AB于点E，交⊙ O于点F，⊙连接DB，CF，⊙∠A＝∠D．
（1）求证：BD与 O相⊙切；
（2）若AE＝OE，⊙CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
试题分析：（1）如图1，延长DB至H，证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与 O相切；
⊙（2）解法一：如图2，连接OF，先根据垂径定理证明OF⊥AB，再证明△EFO∽△EDB，列比
例式可得OF＝4，即 O的半径为4，根据勾股定理可得DE的长．
解法二：如图2，先得⊙半径为2OA，计算∠OEF的正切可得BE的长，根据勾股定理可得DE的
长．
答案详解：（1）证明：如图1，延长DB至H，
∵DG∥BC，
∴∠CBH＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠CBH，
∵AB是 O的直径
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD与 O相切；
（2）解：⊙解法一：如图2，连接OF，∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴^AF=^BF，
∴OF⊥AB，
∵BD⊥AB，
∴OF∥BD，
∴△EFO∽△EDB，
OF OE
∴ = ，
BD BE
∵AE＝OE，
OE 1
∴ = ，
EB 3
OF 1
∴ = ，
12 3
∴OF＝4，
∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，
∴DE=√BD2+BE2=√122+62=6√5．
解法二：如图2，连接OF，
∵AE＝OE，
∴OA＝OF＝2OE，
OF
Rt△OEF中，tan∠OEF= =2，
OE
BD 12
Rt△BED中，tan∠OEF= = =2，
BE BE
∴BE＝6，
由勾股定理得：DE=√BD2+BE2=√122+62=6√5．
