文档内容
专题 07 多边形的内角和与外角和的七类综合题型
目录
典例详解
类型一、多边形内角和问题
类型二、多边形对角线的条数问题
类型三、多边形截角后的边数问题
类型四、多边形截角后的内角和问题
类型五、多边形外角和的实际应用
类型六、多边形内角和与外角和综合
类型七、平面镶嵌
压轴专练
类型一、多边形内角和问题
方法总结
1. 公式法：n边形内角和= (n-2)×180°。
2. 转化法：将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和推导。
解题技巧
1. 边数确定：已知内角和求边数时，用公式(n-2)×180°内角和，解出n。
360
2. 外角辅助：正多边形每个外角= ，可辅助求内角。
n
例1．（25-26八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度．
【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数是
．
【变式1-2】（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为 ，则其余五个内角之和为 ．
【变式1-3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐
层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．类型二、多边形对角线的条数问题
方法总结
n(n−3)
1. 公式法：n 边形对角线条数= 。
2
n(n−3)
2. 推导理解：每个顶点可作(n-3)条对角线（除去自身及相邻两点），总数为 （每条重复一
2
次）。
解题技巧
1. 边数代入：已知边数直接代入公式求对角线数。
n(n−3)
2. 反求边数：已知对角线数，设方程 = m,解正整数n。
2
例2．八边形的内角和是 ，它共有条 对角线．
【变式2-1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用 计算一个多边形的内角和，则该多边形
共 条对角线．
【变式2-2】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条
对角线，那么这个 边形的内角和是 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，
九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ．
类型三、多边形截角后的边数问题
方法总结
1. 截角方式：过顶点截（边数+1）、过两边截（边数+1）、不过顶点截（边数+2）。
2. 分类讨论：根据截线是否经过顶点，确定新多边形边数的变化规律。
解题技巧
1. 画图辅助：画出原多边形和截线，直观判断新图形边数。
2. 记忆口诀：“过顶点加1，过两边加1，都不加2”。
例3．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 ，
则原来多边形的边数是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【变式3-1】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是
其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13
【变式3-2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为
【变式3-3】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，则原多边形的边数是 ．
类型四、多边形截角后的内角和问题
方法总结
1. 边数定内角：先确定截角后新多边形的边数n'，再用公式 (n'-2)×180° 求内角和。
2. 分类讨论：截角方式不同（过顶点、过两边、不过顶点），新边数不同，内角和随之变化。
解题技巧
1. 画图定边数：画出原多边形和截线，直观得出新图形边数。
2. 公式直接算：边数确定后，直接代入内角和公式计算，无需复杂推导。
例4．（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的
多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【变式4-1】将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）
A．14 B．23 C． 或 D． 或 或
【变式4-2】把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ．
【变式4-3】从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ．
类型五、多边形外角和的实际应用
方法总结
1. 外角和定值：任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关。
360
2. 应用场景：常用于求正多边形边数（每个外角 = ）、求内角（内角+外角=180°）或解决行走
n
路径问题。
解题技巧
360
1. 正多边形优先：已知外角度数，直接用n = 求边数。
外角
2. 内外角转化：已知内角，先求外角 = 180读 - 内角，再求边数。
例5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成
是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ．
【变式5-1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进 后向左转 ，再沿直线前进 ，又向左转 ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米．
【变式5-2】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转 ，
再沿直线前进15米，又向左转 ⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是
米．
【变式5-3】（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量
工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经
标出的五个度数有 ，则未标度数的角处应填 ．
类型六、多边形内角和与外角和综合
方法总结
1. 内外角关系：一个内角与相邻外角互补（和为180°），所有外角和为360°。
2. 列式求边数：设边数为n，利用内角和公式(n-2) ×180°与已知条件（如内角是外角几倍）建立方程求
解。
解题技巧
1. 设外角为x：已知内角与外角倍数关系时，设外角为x，则内角为kx，由kx + x = 180°求出x，再用
360
n = 求边数。
x
2. 方程法：若已知内角和，直接代入公式求n。
例6．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ．
【变式6-1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 的度数为 ．
【变式6-2】（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是
这种窗棂中的部分图案．若 ，则 的度数为 ．
【变式6-3】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，
窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知
， ，则 ．
类型七、平面镶嵌
方法总结
180(n−2)
1. 单个正多边形镶嵌：内角能整除360°，即 ÷360，解得n=3,4,6。
n
2. 组合多边形镶嵌：拼接点处各内角之和为 360°，列方程求可能的边数组合。
解题技巧
1. 先算单个：判断一种多边形能否镶嵌，看其内角是否为 360°的约数。
2. 组合凑360°：多种多边形组合时，设各用a,b个，列方程aθ + bθ = 360°求整数解。
1 2
例7．（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长相
等的正方形、正三角形和正n（ ）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内角的度数为 °．
【变式7-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意
图．该平面图形为具有公共顶点 且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除 处，其
他均无缝隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度．
【变式7-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充
一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为 ）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的
图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为 的三个角依次为正方形、
正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号 表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半
正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
【变式7-3】（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一
种或几种形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以
下镶嵌图形所用的平行四边形中最大内角为 ．一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）若一个正多边形的内角和为 ，则这个正多边形的一个外角为
（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·四川成都·期末）从一个多边形的一个顶点出发的所有对角线，将这个多边形分成6
个三角形，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
3．（25-26八年级下·全国·周测）如果多边形的边数增加2，关于其内角和与外角和的变化，下列说法正确
的是（ ）
A．内角和不变，外角和增加 B．外角和不变，内角和增加
C．内角和不变，外角和增加 D．外角和不变，内角和增加
4．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见
证，图中建筑可近似地看成一个五边形 ，若 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处
（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了 ，那么他在A处转过多少度角才能仍面向
所指的方向（ ）A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·山东济宁·期末）与三角形类似，多条线段首尾依次相连就组成多边形．容易发现，
三角形是最简单的多边形，那么任意一个多边形都能分割成三角形，其中的一种方法是连接多边形一个顶
点与这个顶点不相邻顶点的所有线段就可以将多边形分割成三角形．如连接四边形一个顶点与这个顶点不
相邻顶点的所有线段，把四边形分成2个三角形；连接五边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，
把五边形分成3个三角形；连接六边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把六边形分成4个三
角形……按照这种分割方法，连接 边形一个顶点与这个顶点不相邻顶点的所有线段，把 边形分成的三
角形个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（25-26七年级上·广东佛山·月考）六边形从某一个顶点出发可以引 条对角线．
8．（2026八年级下·全国·专题练习）如果一个多边形的内角和是 ，那么这个多边形的边数是
．
9．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则 ．
10．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形
分成2026个三角形，那么这个多边形的边数是 ．
11．（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形 密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若 ， ，则 的度数为 ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，
则原多边形纸片的边数可能是 ．
三、解答题
13．（25-26八年级下·全国·课后作业）求出下列图形中 的值．
14．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所
有内角的度数和就是多边形的内角和．
(1)求四边形和五边形的内角和；
(2)如果一个n边形的内角和为 ，求n的值．
15．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不
相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
(1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测 边形可以分割成_______个三
角形；
(2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数 ；
(3)求 边形的对角线条数．16．（25-26八年级下·全国·周测）【观察思考】如图，五边形 内部有若干个点，用这些点以及五
边形 的顶点把原五边形分割成一些三角形（互相不重叠）．
【规律总结】（1）填写下表：
五边形
内点 1 2 3 4 …
的个数
分割成的三
5 7 9 …
角形的个数
【问题解决】（2）原五边形能否被分割成2025个三角形？若能，求此时五边形 内部点的个数；
若不能，请说明理由．
17．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如图①， 为四边形 内一点，连接 ， ， ，
，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？
（2）如图②，点 在五边形 的 边上，连接 ， ， ，可以得到几个三角形？三角形的
个数与边数有何关系？
（3）如图③，过点 作六边形 的对角线，可以得到几个三角形？三角形的个数与边数有何关系？18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作 的平分线 ，并反向延长得到 ．分别以
， ， 为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若 ，以 为内角，
可作出一个边长为1的正方形，此时 ， 是 的 ，这样就恰好可作出两个边长均
为1的正八边形，如图②．
(1)图②的外轮廓周长是_____．
(2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长．
