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猜想 01 一元二次方程的应用（8 种常见题型专练）
题型一：数字问题 题型二：传播问题
题型三：单循环问题 题型四：双循环问题
题型五：增长率问题 题型六：商品销售问题
题型七：图形面积问题 题型八：动态几何问题
题型一：数字问题
一．选择题（共1小题）
1．（2021春•包河区校级期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字
的平方和比这个两位数大4．设个位数字为x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x+4
C．x2+（x﹣4）2＝10x+x﹣4﹣4
D．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x+4
二．填空题（共1小题）
2．（2022秋•山亭区期末）方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
三．解答题（共2小题）
3．（2021秋•新民市期末）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四
个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为 33或65，若能求出最小数；若不
能请说明理由．
4．（2022秋•连云港期末）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，
则这个两位数是多少？题型二：传播问题
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•邢台期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有 1
人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，设每轮
传染中平均1人传染了x人，下面所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝144 B．x（x+1）＝144
C．1+x+x（x+1）＝144 D．1+（1+x）+x（x+1）＝144
2．（2022秋•江津区期末）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强，有一人感染了此病毒，未被有效
隔离，经过两轮传染，共有196名感染者，在每轮传染中，设平均一个人传染了 x人，则可列方程为（
）
A．1+x＝196 B．（1+x）2＝196
C．1+x2＝196 D．1+x+x2＝196
3．（2022秋•自贡期末）某地有两人患了流感，经过两轮传染后又有70人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
4．（2022秋•齐河县期末）新冠病毒传染性极强，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每
轮传染中平均一个人传染了x个人，下列方程正确的是（ ）
A．（1+x）2＝361 B．x2＝361
C．1+x+x2＝361 D．x（1+x）＝361
5．（2022秋•新华区校级期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平
均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有（x+1）个人患了流感；②第2轮又增加（x+1）2个人患
流感；③依题意可得方程（x+1）2＝81；④不考虑其他因素经过三轮一共会有 648人感染．所以正确
的结论为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共2小题）
6．（2022秋•绥中县期末）鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发
现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，设每只病鸡传染
健康鸡的只数为x只，则可列方程为 ．
7．（2022秋•万全区期末）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人.三．解答题（共7小题）
8．（2021秋•海陵区校级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数 R 的数字，简单来说，就是一个人在
0
一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有 36人感染，求新冠
病毒的基本传染数R ．
0
9．（2021秋•驿城区期末）新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎．2020年2月7日，国家卫健委决定
将“新型冠状病毒感染的肺炎”命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．2021年10月30日，
张文宏教授表示，未来全国和全世界都接种疫苗后，人们还是应该尽量减少聚集，在室内拥挤的地方戴
口罩，加强通风．2020年1月，武汉某小区有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠
肺炎，求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
10．（2022秋•宁强县期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有121
人患病，设每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
11．（2022秋•天河区校级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球
却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病
毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？
12．（2021秋•凤翔县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的
传染中平均一个人传染了x个人．
（1）第二轮被传染上流感人数是 ；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有81人
患病的情况发生，并说明理由．13．（2021秋•玉山县期末）某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播后，
就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后
将有多少人被感染？
14．（2021秋•衡山县期末）某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．
（1）求第一轮后患病的人数；（用含x的代数式表示）
（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病
的情况发生，请说明理由．
题型三：单循环问题
1．（2022秋•大丰区期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参
赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，
则下列方程正确的是（ ）
A． B．x（x﹣1）＝4
C．x（x+1）＝28 D．
2．（2022秋•潼南区期末）第22届世界杯足球赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔举行，在此
期间足球成为某市热点话题．为满足广大足球爱好者的需求，某市准备举行足球邀请赛，规定参赛的每
两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（）
A．x（x﹣1）＝66 B．x（x+1）＝66
C． ＝66 D． ＝66
3．（2022秋•离石区期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔开幕．为了迎接世界杯
的到来，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了 60场比赛．设比赛组
织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝60 B．x（x﹣1）＝60
C．x（x+1）＝60 D． x（x﹣1）＝60
4．（2022秋•河西区校级期末）男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6场比赛，
设该小组有x支球队，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝6 B．x（x+1）＝6
C． D．
5．（2022秋•开封期末）为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两个
队之间都要比赛一场），计划安排28场比赛，则参赛的足球队个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2022秋•番禺区校级期末）学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计
划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为
（ ）
A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
二．填空题（共4小题）
7．（2022秋•荔湾区校级期末）卡塔尔足球世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了 6
场比赛，则该小组有 支球队．
8．（2022秋•和平区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了
10次手，则这次会议到会的人数是 人．
9．（2021秋•襄州区期末）某校九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），
据统计，比赛共进行了28场，则九年级共有 个班．
10．（2021秋•滦州市期末）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安
排21场比赛，应邀请 个球队参加比赛．
三．解答题（共2小题）
11．（2021秋•鲁甸县期末）某校在冬运会中，其中一项为乒乓球赛，赛制为参赛的每两个人之间都要比赛一场，根据胜场积分确定排名，由于场地和时间等条件，赛程安排3天，每天安排15场比赛，求共
有多少学生参加了冬运会乒乓球赛？
12．（2021秋•老河口市期末）列方程解应用题：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，
所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
题型四：双循环问题
一．选择题（共5小题）
1．（2022秋•呈贡区期末）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了 110件礼物，
若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝110 B．x（x+1）＝110
C．（x+1）2＝110 D．（x﹣1）2＝110
2．（2022秋•江门期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留
念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1560 B．x（x+1）＝1560
C．2x（x+1）＝1560 D．2x（x﹣1）＝1560
3．（2022秋•鸡西期末）一个班级里共有x人，每人都分别给班里的其他同学发一条信息，共发信息 1980
条，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝1980
C． D．x（x+1）＝1980
4．（2022秋•番禺区期末）某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一
件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90
C．x（x﹣1）＝90×2 D．x（x+1）＝90×2
5．（2022秋•昌图县期末）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1260张照片．设全班有x名同学，可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝1260 B．x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260×2 D．x（x+1）＝1260×2
二．填空题（共3小题）
6．（2021秋•峡江县期末）某校九（1）班的学生互赠新年贺卡，共用去1560张贺卡，则九（1）班有
名学生．
7．（2021秋•虎林市校级期末）2021年10月10日，第七届黑龙江绿色食品产业博览会开幕，虎林市组建
团队参加，为增进了解，在参加会议前团队每两个人间互送了一次名片，一共送出 90张名片，则这个
团队有 人．
8．（2022秋•蔚县校级期末）一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送贺卡72张，共有 人．
三．解答题（共1小题）
9．（2022秋•白云区期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛 90场，
共有多少个队参加比赛？
题型五：增长率问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•万州区期末）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万
元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是
（ ）
A．2500（1+2x）＝3600 B．2500（1+2x%）＝3600
C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x%）2＝3600
2．（2022秋•九龙坡区期末）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万
元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（
）
A．100（x+1）2＝331
B．100（x+1）+100（x+1）2＝331
C．100+100（x+1）2＝331
D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331
二．填空题（共4小题）
3．（2022秋•法库县期末）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走
长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到
12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为 ．4．（2022秋•丹东期末）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一
个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进
馆人次的平均增长率为x，则可列方程为 ．
5．（2022秋•市北区校级期末）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年
时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2022年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的
增长率相同，预计2024年投资7.2亿元人民币，设每年投资的增长率x，根据题意，可列方程为
．
6．（2022秋•宜宾期末）我市某新能源汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从 1月份的
100辆增长到3月份的121辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为 ．
三．解答题（共8小题）
7．（2022秋•陵水县期末）某商场今年1月份的营业额为1250万元，2月份的营业额比1月份增加20%，
4月份的营业额达到1815万元．求：
（1）该商场2月份的营业额；
（2）该商场2月份到4月份营业额的月平均增长率．
8．（2022秋•建邺区期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一
种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率．
9．（2022秋•同心县期末）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年
1月份销售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3
月份的销售量达到400包，若设2、3两个月销售量的月平均增长率为x，求平均增长率．10．（2022秋•郸城县期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联
合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月
生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情
况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
11．（2022秋•芜湖期末）为防控新冠疫情，减少交叉感染，某超市在线上销售优质农产品，该超市于今
年一月底收购一批农产品，二月份销售256盒，三、四月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不
变的基础上，四月份的销售量达到400盒．若农产品每盒进价25元，原售价为每盒40元．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）该超市五月份降价促销，经调查发现，若该农产品每盒降价1元，销售量可增加5盒，当农产品
每盒降价多少元时，这种农产品在五月份可获利4250元？
12．（2022秋•锦江区期末）电影《长津湖》是一部讲述抗美援朝题材影片，该片以朝鲜长津湖战役为背
景，讲述一个志愿军连队在极寒严酷环境下坚守阵地奋勇杀敌、为战役胜利作出重要贡献的故事，2022
年清明节来临之际，某电影院开展“清明祭英烈，共铸中华魂”系列活动，对团体购买该电影票实行优
惠，决定在原定零售票价基础上每张降价16元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的门票，现在
只花费了1200元．（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了弘扬爱国主义精神，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次
降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的百分率．
13．（2022秋•林州市期末）口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，
对进入肺部的空气有一定的过滤作用，N95口罩的防护等级为N95级，表示在NIOSH标准规定的检测
条件下，口罩滤料对非油性颗粒物（如粉尘、酸雾、漆雾、微生物等）的过滤效率达到 95%．据调查，
2022年9月份某厂家N95口罩产量为80万只，10月份比9月份增加了25%，第四季度N95口罩的总产
量为436万只．
（1）该厂家10月份的N95口罩产量为 万只；
（2）该厂家第四季度N95口罩产量的月平均增长率是多少？
14．（2022秋•南川区期末）抗击“新冠肺炎”疫情期间，口罩是重要的防护物资，今年 10月，某社区根
据实际需要，采购了10000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．
（1）为了保证社区抗疫工作顺利开展，用于社区工作人员的口罩个数应不少于用于社区家庭口罩个数
的1.5倍，问用于该社区家庭的口罩最多有多少个？
（2）据统计，10月份，该社区有400户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区
工作人员的抗疫需要，随着疫情的发展，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需
要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人品需要口罩的个数比10月份增加了1.5a%，同时，
由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．题型六：商品销售问题
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋•江北区校级期末）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的
习俗．某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200
袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的
利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440
B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440
D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
2．（2022秋•荥阳市校级期末）某药店营业员在卖布洛芬时发现，当布洛芬以每盒50元销售时，每天销
售是30盒，若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知布洛芬的成本是每盒30元，设每盒布洛
芬降低x元，如果药店一天能盈利1000元，可列方程为（ ）
A．（20﹣x）（30+x）＝1000 B．（50﹣x）（30+x）＝1000
C．（20﹣x）（30+4x）＝1000 D．（30﹣x）（30+4x）＝1000
二．填空题（共1小题）
3．（2022秋•江北区校级期末）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，
经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜 10元，
该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
（1）求甲品牌的洗衣液的进价 元；（不要带单位）
（2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，
乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高 1
元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两
种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？（不要带单位）
三．解答题（共11小题）
4．（2022秋•青羊区期末）新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元
时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台．
（1）若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示）
（2）商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？
5．（2023春•东阳市期末）澄泥砚是全国四大名砚之一，其历史可上溯到唐代，为陶砚，以泥沙再造而成，
其质细腻，柔中有坚，贮水不涸，历寒不冰，发墨护毫，兼具陶石双重优点，某电商直播销售一款澄泥
砚，每块澄泥砚的成本为30元，当每块售价定为48元时，平均每月可售出500块澄泥砚，通过市场调
查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10块，若想获得销售澄泥砚的月利润恰好为 11200元，且每块售价上涨不超过20元，问每块澄泥砚的售价应上涨多少元？
6．（2022秋•文山市期末）一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进
一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，
经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售
价是多少元？
7．（2022秋•潼南区期末）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲乙两种商品的进货单价之和是3元．
信息2：甲商品零售单价比进货单价多2元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了15元．
请根据以上信息，解答请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的进货单价；
（2）该商店平均每天卖出甲商品600件和乙商品400件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，
甲种商品每天可多销售100件，商店决定在2022年“双十一”期间把甲种商品的零售单价下调，乙种
商品的零售单价不变，在不考虑其他因素的条件下，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为
2000元，问甲种商品的零售单价定为多少元？8．（2022秋•忠县期末）忠县柑橘品种主要包括有爱媛、沃柑、金秋砂糖橘等．A网店仅将“爱媛”和
“沃柑”装箱售卖，张老师买了 2箱“爱媛”，1箱“沃柑”，支付了110元；王老师买了1箱“爱
媛”，2箱“沃柑”，支付了130元．
（1）问A网店每箱“爱媛”和“沃柑”的售价是多少元？
（2）A网店经市场调查，按以上售价两种柑橘每天共能销售100箱，但若一箱“沃柑”的售价每降低2
元，则每天两种柑橘的销售总量将增加4箱．所以，该店决定对“沃柑”降价销售，“爱媛”价格不变．
降价销售后的第一天统计，销售总量中有60%是“爱媛”，且总销售金额为4080元，若降价后“沃
柑”的单价还是不低于“爱媛”的单价．求每箱“沃柑”的售价降低了多少元？
9．（2022秋•方城县期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，
经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长1元，月均销量就相应减
少10个．
（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于 元；
（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
10．（2022秋•渝北区期末）世界杯是世界上级别最高的足球赛事，2022年世界杯在卡塔尔隆重举行，今
年世界杯的吉祥物是“拉伊卜”，它的设计灵感来源于阿拉伯标志型的白头巾，某网店现售有一大一小
两种型号的“拉伊卜”摆件，已知每个大摆件的售价是每个小摆件售价的 2倍还多60元，420元可购买
一个大摆件和一个小摆件．
（1）每个“拉伊卜”大摆件和小摆件的售价分别是多少？
（2）第一天该网店按照原售价卖出大摆件30个，小摆件100个，因为小摆件库存量大，第二天商家调
整了销售方案，大摆件的价格不变，小摆件的价格下调2m元，调整后，当天大摆件的销量下降了个，小摆件的销量增加了 个，当天的销售额达到了20520元，求降价后的小摆件的价格．
11．（2022秋•合川区期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小
区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，
香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元（m≤10），
且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业
管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
12．（2022秋•江阴市期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图
书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定
对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过 40本
时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．
（1）如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是 元；
（2）如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
13．（2022秋•万州区期末）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批 80千克，每千克16元出售；
第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．
（1）求樱桃的进价是每千克多少元？（2）该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出
40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售
价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售
完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？
14．（2022秋•云浮校级期末）商场服装柜在销售中发现：某牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40
元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经
市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，
（1）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）若商场要想平均每天在销售这种童装上盈利最多，那么每件童装应降价多少元？
题型七：图形面积问题
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•松滋市期末）如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长30米，宽20米）场地，被
3条宽度相等的绿化带分为总面积为480平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为
x米，由题意可列方程为（ ）A．（30﹣x）（20﹣x）＝480 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝480
C．（30﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（30﹣x）（20﹣2x）＝480
2．（2022秋•龙岗区期末）如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方
形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为
600cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程正确的为（ ）
A．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600
B．（30+2x）（40+2x）＝600
C．30×40﹣2×30x﹣2×40x＝600
D．30×40+2×30x+2×40x＝600
3．（2022秋•汉阳区校级期末）如图，某农家乐老板计划在一块长 130米，宽60米的空地开挖两块形状
大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓
通道，则垂钓通道的宽度为（ ）
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
二．填空题（共3小题）
4．（2022秋•澄迈县期末）如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部
分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为 540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为
．
5．（2022秋•山西期末）如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边
用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门．若要使羊圈的面积
为80m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 m．6．（2022秋•遵义期末）如图，在一个长为60m，宽为40m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分
为绿化用地，如果绿化用地的面积为2204m2，那么道路的宽为 m．
三．解答题（共10小题）
7．（2023春•二道区校级期末）哈市某展览馆计划将长60米，宽40米的矩形场馆重新布置，展览馆的中
间是个1500平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．求通道的宽为多少米？
8．（2022秋•天山区校级期末）如图，某中学准备建一个面积为 150m2的矩形花园，它的一边利用图书馆
的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是40m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25
米）
9．（2022秋•德城区期末）如图，某校要在校门口建一个体温超标临时隔离区，隔离区为长方形，面积为
10平方米，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一
边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），已知共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长AB是多
少米？10．（2022秋•钦州期末）如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，
原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2．
（1）求原正方形空地的边长；
（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建
成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的
面积为812m2，求小道的宽度．
11．（2022秋•南岸区期末）如图，一个长为a cm，宽为b cm的矩形铁片．
（1）如果a＝30，b＝20，在矩形的中央挖掉一个200cm2的矩形后，成为一个各条边一样宽的铁框，求
这个铁框的宽度；
（2）如果a＝2b，在四个角上分别裁掉四个边长为4cm的正方形，把它制作成一个体积为4576cm3的无
盖长方体，求原矩形的面积．12．（2022秋•鞍山期末）如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个
矩形）之后，恰好折成如图 2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为
32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
13．（2022秋•官渡区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一
门独立的课程，官渡区某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最
大可用长度为22米），用长为34米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计
了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
（1）BC＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若围成的菜地面积为96平方米，求此时的宽AB．14．（2022秋•安次区期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆
要全部用完）．
（1）如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？
（2）如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形
的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确．
15．（2022秋•渝中区期末）渝中区正在进行旧城改造和旅游升级，即将改造完毕的大田湾体育场外广场
正在打造体育生态公园，实现体育与环境的完美结合，为周边群众创造更加舒适的健身休闲环境．体育
场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线A﹣B﹣C表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已
知AB⊥BC，AB＝10米，BC＝70米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，
并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网 GH隔开），为
了充分利用墙体，点F必须在线段BC上．
（1）如图，设EF的长为x米，则DE＝ 米；（用含x的代数式表示）
（2）若围成的篮球场BDEF的面积为1500平方米，求篮球场的宽EF的长；（围网及墙体所占面积忽
略不计）
（3）篮球场BDEF的面积能否达到2000平方米？请说明理由．
16．（2022秋•赫山区期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．题型八：动态几何问题
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点
A，B同时开始移动，点P在AB上以1cm/s的速度向B点移动，点Q在BC上以2cm/s的速度向C点移
动．当点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动．下列时刻中，能使△PBQ的面积为15cm2的是
（ ）
A．2s B．3s C．4s D．5s
二．填空题（共1小题）
2．（2021秋•兰山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出
发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经
过 s后，P，Q两点之间相距25cm．
三．解答题（共2小题）
3．（2022秋•青云谱区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C
出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两
点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
4．（2022秋•澄迈县期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边
向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动．
（1）经过t s后（t＞0），△PBQ的面积等于4cm2，求t的值；
（2）经过t s后，（t＞0），PQ的长度为5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面积能否等于8cm2？
