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猜想 02 二次函数综合题（6 种常见题型专练）
题型一：线段周长问题 题型二：面积问题
题型三：角度问题 题型四：特殊三角形问题
题型五：特殊四边形问题 题型六：相似三角形问题题型一：线段周长问题
1．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点E，交直线
于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段 的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接 ．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若
存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线
上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；
3．（2023上·湖北随州·九年级统考期末）已知抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)如图1，若平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ， （点 在点 的左边），与线段 交于点 ．
设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，试求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），
并求 的最大值；
(3)如图2，若点 是在 轴右侧抛物线上的一动点，过点 作 轴交线段 于点 ，连接 ，是
否存在这样的点 ，使 是等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴
交于点 ，连接 ．点 是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴的平
行线交 于 ，交 轴于 ，设点 的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于 的代数式表示线段 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)过点 作 于点 ， ，
①求点 的坐标；
②连接 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为直角三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．5．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的
两个交点为 和 ，与 轴的交点为 ，顶点为点 ．
(1)求 、 的值；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点 的坐标；
(3)若点 使得 是以 为斜边的直角三角形，其中 ，求此时 的值．
6．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）抛物线 与x轴交于 两点，与
y轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)当 时， 为抛物线在第二象限内一点，点P到直线 的距离为d，则d与n的函数表达式
为_____；
(3)过 （其中 ）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，
线段 的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围．7．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点．与y轴交于点C，且 ，点P为抛物线 上的一个动点，过点P作
轴于点D，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴下方的抛物线上，且 时，求此时点P的坐标；
(3)第一象限抛物线上是否在在点P，使点P到直线 的距离是点D到直线 的距离的5倍？若存在，请
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，顶点为P，连接 ， 于点
B， ，Q是 （不与点O，B重合）上的一个动点，连接 ，将 沿着 对折后，点O落
在点C处， 交x轴于点D．
(1)求抛物线的表达式．
(2)当 的面积 的面积时，求点Q的坐标．
(3)在线段 上是否存在这样的点Q，使得 的值最小，若存在，请直接写出 的最小值；若不存在，
请说明理由．
9．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P： 的图
象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q： 的图象关于原点中心对称．(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE
长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件
的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2023上·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，并与
直线 交于B，C两点，其中C是直线 与y轴的交点，连接 ．(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)求证： 为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当 的周长最小时，求出点P的坐标．
题型二：面积问题
1．（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点．(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
2．（2023上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点 和点 的坐标；
(3)若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标．
3．（2023上·云南临沧·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，
与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是抛物线上的一点，当 的面积为10时，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023上·江苏淮安·九年级统考期末）如图，在直角坐标系 中，二次函数 的图像
与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点．
(1)求出这个二次函数的表达式；
(2)在第一象限内的抛物线上有一点B，使 的面积等于6，求点B的坐标．
5．（2023上·广西梧州·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在一点 （不与点 重合），使 的面积与 的面积相等，若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023上·广东东莞·九年级统考期末）抛物线 与 轴交于点 ， 两点，
与 轴交于点 ，点 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点 在线段 上方的抛物线上运动（不与 ， 重合），过点 作 ，垂足为 ，
交 于点 ，作 ，垂足为 ，若点 的横坐标为 ，请用 的式子表示 ，并求 的面积
的最大值；
(3)如图2，点 是抛物线的对称轴 上的一个动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标，若不存在，说明理由．
7．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数 的图像与x轴交于 、
两点，与y轴交于点B．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，连接 ．
(1)求这个二次函数的表达式；(2)设 的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式；
(3)点P在运动过程中，能否使 的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
8．（2023上·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， ，
与 轴交于点 ，点 在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，若点 为直线 上方抛物线上的点，过点 作 轴交 于点 ，作轴交 于点 ，若 的面积为2，求 点坐标；
(3)如图2，点 为抛物线的顶点，当 时，在抛物线上是否存在点 使 是等腰三角形？若能，
请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．
9．（2023上·湖南益阳·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是抛
物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)作 轴于点 ， 为抛物线上位于点 ， 之间的一点，连接 ，若 恰好平分 的面积，
求点 的坐标．
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点 ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？若存
在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023上·湖南永州·九年级校考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，连接 ，点 为线段 上一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴交抛
物线于点 ．
(1)求抛物线的表达式和对称轴；
(2)当抛物线上的点 在 上方运动时，求 面积的最大值．
(3)已知点 是抛物线对称轴上的一个点，点 是平面直角坐标系内一点，当线段 取得最大值时，是否
存在这样的点 ， ，使得四边形 是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．题型三：角度问题
1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两
点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为 ，将直线 沿y轴向上平移3个单位
长度后恰好经过B、C两点．
(1)求直线 及抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且 ，求点P的坐标．
2．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，抛物线 交 轴正半轴于点 ，交轴分别于点 点 ，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线上第一象限内的一点，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，设点 的横坐标为 ．
求 为何值时，四边形 是平行四边形；
连接 ，当 时，求点 的坐标；
3．（2023上·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期末）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数
的图像与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，经过点 的直
线 与 轴交于点 ，与抛物线的另一个交点为 ．(1)直接写出点 的坐标、点 的坐标
(2)如图（1），若顶点 的坐标为 ，连接 、 、 ，请求出二次函数及一次函数的解析式，
并求出四边形 的面积；
(3)如图（2），连接 ，当 为何值时直线 与 轴的夹角为 ？
(4)如图（3），点 是直线 上方的抛物线上的一点，若 的面积的最大值为 时，请直接写出此时
点的坐标．
4．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，抛物线 经过 ， 两点，与x轴
交于另一点A，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点E在抛物线上，连接 并延长交x轴于点F，连接 ，若 是以 为底的等腰三角
形，求点E坐标．
(3)如图2，连接 、 ，在抛物线上是否存在点M，使 ，若存在，求出M点的坐标；
若不存在，请说明理由．
5．（2023上·山西运城·九年级统考期末）综合与探究：如图，二次函数 的图象与 轴交于
两点（点 在点 的左则），与y轴交于点 ，点 是抛物线的顾点．抛物线的对称轴交 轴于点 ，
点 是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点 的横坐标为 ，点 的坐标为
，连接 分别与 轴，对称轴交于点 ．(1)求 三点的坐标并直按写出顶点 的坐标；
(2)当 时．求点 的坐标；
(3)试探究：在点 运动过程中，是否存在点 ，使得 ，若存在，请直接写出 的值；若不存
在，请说明理由．
6．（2023上·江苏泰州·九年级校考期末）抛物线 经过点 和点 ．
(1)求a与b的关系式．
(2)若抛物线的对称轴是 轴．
①点C，D均在抛物线上，C点与A点关于 轴对称，且点D在第一象限，满足 ，求点D
的坐标；
②直线 与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上
的一点，点Q在y轴上，且四边形 是平行四边形，求点Q的坐标．
7．（2023上·云南昆明·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与x轴交于 ， 两
点，与y轴交于点C．且有 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，使得 是以 为底的等腰三角形，求出点P的坐标；(3)在（2）的条件下，若点Q在抛物线的对称轴上，并且有 ，直接写出点Q的坐标．
8．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线
与 轴交于 、 两点，交 轴于点 ，点 在抛物线上，且点 的坐标为 ，连接
， 的面积为24．
(1)求抛物线的解析式；
(2) 为第一象限抛物线上一点，连接 、 ，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与 之间的
函数关系式，并直接写出 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，作 轴于点 ，点 在线段 上， ，连接 ，线段 和 交于点
， ，求点 的坐标．9．（2023上·浙江湖州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，
与y轴交于点C，抛物线 经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一
个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的面积与 的面积相等时，求点P的坐标；
