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猜想 03 旋转综合题（3 种常见题型专练）
题型一：线段问题 题型二：面积问题
题型三：角度问题
题型一：线段问题
1．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期末）在锐角 中， ， ， ，将
绕点 按逆时针方向旋转，得到 ．
(1)如图1，当点 在线段 的延长线上时， 的度数为________ ；
(2)如图2，连接 ， ．若 的面积为4，求 的面积；
(3)如图3，点 为线段 中点，点 是线段 上的动点，在 绕点 按逆时针方向旋转过程中，点
的对应点是 ，直接写出线段 长度的最大值与最小值．2．（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图①在正方形 中，连接 ，点E是边 上
的一点， 交 于点F，点P是 的中点，连接 ．
(1)如图①，探究 与 有何关系，并说明理由；
(2)若将 绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接 ，取 的中点P，连接 ，请问在该条
件下，①中的结论是否成立，并说明理由；
(3)如果把 绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接 ，取 的中点P，连接 ，请你
直接写出 与 的关系．3．（2023上·山西阳泉·九年级统考期末）【阅读理解】如图1， 为等边 的中心角，将
绕点 逆时针旋转一个角度 ， 的两边与三角形的边 ， 分别交于点
， ．设等边 的面积为 ，通过证明可得 ，则
．
(1)【类比探究】如图2， 为正方形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正方形的边 ， 分别交于点 ， ．若正方形 的面积为 ，
请用含 的式子表示四边形 的面积（写出具体探究过程）．
(2)【拓展应用】如图3， 为正六边形 的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正六边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积为
，请直接写出正六边形 的面积
(3)【猜想结论】如图4， 为正 边形 ……的中心角，将 绕点 逆时针旋转一个角度
， 的两边与正 边形的边 ， 分别交于点 ， ．若四边形 面积
为 ，请用含 、 的式子表示正 边形 ……的面积．4．（2022上·山东济南·九年级校考阶段练习）在 中， ，点D，E分别是
的中点，点P是射线 上一点，连接 ，将线段 绕点P顺时针旋转 得到线段 ，连接
．
(1)问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段 与 的数量关系是 ， ．
(2)探究证明
当点P在射线 上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图（2）中的情形给出
证明．
(3)问题解决
若 ，连接 ，当 是等边三角形时，直接写出 的长度．5．（2023上·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，已知 中， ， ，点D是
所在平面内一点，连接 ， ， ．
(1)如图1，点D在 上， ，且 ，求 的面积；
(2)如图2，点D为 内部一动点，将线段 绕点B逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点G是
线段 的中点，连接 ，猜想线段 ， 之间存在的位置关系和数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，点C关于直线 的对称点为点 ，连接 ， ，点D为 内部一动点，连接 ．
若 ，且 ，当线段 最短时，直接写出 的面积．6．（2023上·福建厦门·九年级统考期末）在 中， ， ，将 绕
点A逆时针旋转，旋转角为 ，记点B，C的对应点分别为D，E．
(1)若 和线段 如图所示，请在图中作出 （要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)M是 的中点，N是点M旋转后的对应点，连接 ， ， ，则是否存在β与α的某种数量关系，
使得无论α取何值时，都有 ？若存在，请说明理由，并直接写出此时 与 的数量关系；若不
存在，也请说明理由．题型二：面积问题
1．（2021下·辽宁丹东·八年级统考期末）如图在 中， ，点D，E分别在边
上， ，连接 ， ，点M，P，N分别为 的中点，连接 ， ．
(1)图1中，线段 与 的数量关系是___________；位置关系是____________．
(2)将 绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
(3)将 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．2．（2023上·江西抚州·九年级统考期末）综合与实践：图形的几何变换
复习课上，老师对一张平行四边形纸片 进行如下操作：
(1)如图1，折叠该纸片，使边 恰好落在边 上，边 恰好落在边 上，得到折痕 和 ，判断
四边形 的形状，并说明理由；
(2)老师沿折痕将 和 剪下，得到两个全等的等腰三角形，已知等腰三角形的腰长为5，底边长
为6，底角度数为a，通过不同的摆放方式，三个学习小组利用几何变换设置了几个问题，请一一解答．
①善思小组：将两个三角形摆放成如图2的位置，使边 与边 重合，然后固定 ，将 沿着
射线 的方向平移（如图3），当四边形 为矩形时，求平移的距离．
②勤学小组：将两个三角形摆成如图4的位置，使 与 重合，取 的中点O，固定 ，
将 绕着点O按逆时针方向旋转（ 旋转角 ），如图5，在旋转过程中，四边形 的形
状是______．
③奋进小组：在②勤学小组的旋转过程中，利用图6进行探究，当 与 的重叠部分为等腰三角形时，旋转角为______（用含 的代数式表示），此时重叠部分的面积为_____．
3．（2023上·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图， 与 均为等腰直角三角形，
，F，G，H分别是 ， ， 的中点，连接 ， ， ．
(1)当E在 延长线上时，如图①， 的形状是_____；
(2)将 绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；
(3)若 ， ， 绕点C逆时针旋转一周，直接写出 面积的最大值和最小值．4．（2022上·吉林通化·九年级统考期末）如图， 中， ， ，点 、 在 边上，
，将 绕点 顺时针旋转 得 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求证： ；
(3)若 ， ，则 ______，四边形 的面积＝______．5．（2023上·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）如图 1，在 中， ，
， ，点 、 分别为边 、 的中点，连接 ，将 绕点 C 逆时针旋转
α（ ）．
(1)如图1，当 时，易知 和 的位置关系为 ；线段 和 的数量关系为 ；
(2)将 绕点 C 逆时针旋转至图 2 所示位置时，（1）中 和 的关系是否仍然成立？若成立，
请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)当 绕点 C 逆时针旋转过程中．
① 面积的最大值为 ；
②当 三点共线时，线段 的长为 ．题型三：角度问题
1．（2021上·广东广州·九年级广州市第二中学校考期中）如图，在 中， ， ，将
绕点B按逆时针方向旋转 ，得到 ，连接 ， 交于点F．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
2．（2022上·河北廊坊·九年级统考期末）如图， 中， ，D为 内一点，连接 ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
3．（2022上·河南商丘·九年级统考期末）（1）问题发现
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P， ， ， ，求 的度数．
针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将 绕点A逆时针旋转60°得到 ，连结
，得到等边三角形 ，在 中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路
提示，完成本题的解答；
（2）类比延伸
如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若 ，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说
明理由．4．（2023上·山西运城·九年级校考期末）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知 中， ， ， ，点 为平面内不与点 、 重
合的任意一点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得线段 ， 、 分别是 、 的中点，设直线
与直线 相交所成的较小角为 ，探究 的值和 的度数与 、 、 的关系，请你参与学习小组的
探究过程，并完成以下任务：
(1)填空：
【问题发现】
小明研究了 时，如图1，求出了 __________， __________；
小红研究了 时，如图2，求出了 __________， __________；【类比探究】
他们又共同研究了 时，如图3，也求出了 ；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律： __________（用含 、 的式子表示）； __________（用含
的式子表示）．
(2)求出 时 的值和 的度数．
