文档内容
猜想 04 与圆相关的几何综合（6 种模型）
题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
题型二：阿氏圆
题型三：瓜豆原理
题型四：圆中定值问题
题型五：圆中最值问题
题型六：辅助圆模型
题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•新洲区期末）已知平面直角坐标系中有 A（2，2）、B（4，0）两点，若在坐标轴上取点
C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
2．（2022秋•沙洋县校级期末）平面直角坐标系中，已知 A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点
C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共2小题）
3．（2022秋•龙亭区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝
60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P共有 个．
4．（2021秋•邻水县期末）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使
△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 ．
题型二：阿氏圆
一．填空题（共2小题）1．（2022秋•永嘉县校级期末）如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动
点，过点 P 作 PM、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为 M、N，则 PM+2PN 的取值范围为
．
2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径
做 C，分别交 AC，BC 于 D，E 两点，点 P 是 C 上一个动点，则 PA+PB 的最小值为
．
⊙ ⊙
二．解答题（共1小题）
3．（2021秋•定海区期末）如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过
点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM＝m，PA＝n．
（1）求证：∠POA＝2∠PAM；
（2）探求m、n的数量关系，并求n﹣m最大值；
（3）如图2：连结PB，设PB＝h，求 h+2m的最小值．题型三：瓜豆原理
一．填空题（共6小题）
1．（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边
AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小
值为 ．
2．（2021秋•嘉兴期末）如图， O的直径AB＝2，C为 O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转
90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 ．
⊙ ⊙
3．（2022春•槐荫区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的
一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为
．4．（2021秋•沭阳县校级期末）如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的
中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 ．
5．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2 ，点P在边AC上
运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD
长的最小值为 ．
6．（2022秋•和平区校级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F
为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG
的最小值为 ．
二．解答题（共1小题）
7．（2021秋•武昌区期末）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE与CF交于点D．
（1）若∠BAC＝74°，则∠BDC＝ ；
（2）如图2，∠BAC＝90°，作MD⊥BE交AB于点M，求证：DM＝DE；
（3）如图3，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，若点G为CD的中点，点M在直线BC上，连接MG，将线段GM绕点G逆时针旋转90°得GN，NG＝MG，连接DN，当DN最短时，直接写出
∠MGC的度数．题型四：圆中定值问题
一．解答题（共3小题）
1．（2021秋•吉林期末）某公园计划砌一个形状如图 1的水池（图中长度单位：m），后有人建议改为如
图2的形状，且外圆直径不变．
【问题】请你计算两种方案中的圆形水池的周长，确定哪一种方案砌的圆形水池的周边需要的材料多．
【猜想验证】如图3，如果将图2中的小圆半径改为r ，r ，r ，且r +r +r ＝r，其他条件不变，猜想
1 2 3 1 2 3
【问题】中的结论是否改变，并说明理由．
【拓展】如图4，若将图3中三个小圆改为n个小圆，小圆半径分别为r ，r ，…，r ，且r +r +…+r ＝
1 2 n 1 2 n
r，直接写出图4中所有圆的周长总和．
【应用】元宝是中国古代的货币，在今天也有着富贵吉祥的寓意，王师傅准备建设一个形如元宝的花坛，
如图5，花坛是由4个半圆所围成，最大半圆的半径为2.1米，直接写出花坛周边需要的材料总长（结
果保留 ）．
π
2．（2022秋•天河区校级期末）如图①，已知 O是△ABC的外接圆，∠ABC＝∠ACB＝ （45°＜ ＜
90°，D为 上一点，连接CD交AB于点E．⊙ α α
（1）连接BD，若∠CDB＝40°，求 的大小；
（2）如图②，若点B恰好是 中点α，求证：CE2＝BE•BA；
（3）如图③，将CD分别沿BC、AC翻折得到CM、CN，连接MN，若CD为直径，请问 是否为定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
3．（2021春•海曙区校级期末）如图1，E点为x轴正半轴上一点， E交x轴于A、B两点，交y轴于
C、D两点，P点为劣弧 上一个动点，且A（﹣2，0），E（2，0）⊙．
（1） 的度数为 °；
（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为 ；
（3）如图3，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，求线段AQ的长；
（4）如图4，连接PA、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： 为定值，并求出这
个定值．题型五：圆中最值问题
一．填空题（共3小题）
1．（2022秋•海安市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，D为BC上一点，当∠CAB最大时，连
接AD并延长到E，使BE＝BD，则AD•DE的最大值为 ．
2．（2022秋•江门期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G
为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为 ．
3．（2021秋•绵阳期末）如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），
M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是 M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
⊙ ⊙
二．解答题（共6小题）
4．（2021秋•汶上县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆
心，OE为半径作圆O交AO于点F．
（1）求证：AC是 O的切线；
（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出
⊙
PF+PE的最小值．5．（2021秋•花都区期末）如图， O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线
AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
⊙
（1）求证：MD是 O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若
⊙
不存在，说明理由；
（3）若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交 O于点F，交AD于点P，连接
AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
⊙
6．（2023春•丰城市期末）如图1，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，点E在射线AB上运动，将
△AED沿ED翻折，使得点A与点G重合，连接AG交DE于点F．
（1）【初步探究】当点G落在BC边上时，求BG的长；
（2）【深入探究】在点E的运动过程中，BG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，
请说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，点P为BG的中点，连接AP，点E在射线AB上运动过程中，求AP长的最
大值．7．（2021秋•秦淮区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，
0）．
（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美
点”．
①设 A、B、P 三点所在圆的圆心为 C，则点 C 的坐标是 ， C 的半径是
；
⊙
②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理
由；
（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 ．8．（2021秋•椒江区期末）如图1，已知 O的内接四边形ABCD，AB∥CD，BC∥AD，AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形ABCD为矩形．
⊙
（2）如图2，E是 上一点，连接CE交AD于点F，连接AC．
①当点D是 中点时，求线段DF的长度．
②当16S△DCF ＝3S四边形ABCD 时，试证明点E为 的中点．
（3）如图3，点E是 O上一点（点E不与A、C重合），连接EA、EC、OE，点Ⅰ是△AEC的内心，
点M在线段OE上，且ME＝2MO，则线段MI的最小值为 ．
⊙9．（2020秋•乐亭县期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原
点O为圆心，半径为3的 O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与 O相交于点D（其中点C，
O，D按逆时针方向排列），连接AB．
⊙ ⊙
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为 ；
（2）连接AC，BC，点C在 O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的
最大值是 ．
⊙
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为 O的切线？并说明理由．
⊙题型六：辅助圆模型
一．解答题（共10小题）
1．（2021秋•武夷山市期末）如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△HAC
与等边△DCB，连接DH．
（1）如图1，当∠DHC＝90°时，直接写出DC与CH的数量关系为 ；
（2）在（1）的条件下，点C关于直线DH的对称点为E，连接AE、BE，求证：CE平分∠AEB；
（3）现将图1中△DCB绕点C顺时针旋转一定角度 （0°＜ ＜90°），如图2，点C关于直线DH的对
称点为E，则（2）中的结论是否成立并证明．
α α
2．（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与
BD交于点E．
（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；
（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．
3．（2022秋•任城区校级期末）【阅读】
辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，
显得独特而隐蔽．
性质：如图①，若∠ACB＝∠ADB＝90°，则点D在经过A，B，C三点的圆上．
【问题解决】
运用上述材料中的信息解决以下问题：
（1）如图②，已知DA＝DB＝DC．
求证：∠ADB＝2∠ACB．
（2）如图③，点A，B位于直线l两侧．用尺规在直线l上作出点C，使得∠ACB＝90°．（要求：要有
画图痕迹，不用写画法）
（3）如图④，在四边形ABCD中，∠CAD＝90°，CB⊥DB，点F在CA的延长线上，连接DF，∠ADF＝∠ABD．
求证：DF是△ACD外接圆的切线．
4．（2021秋•盱眙县期末）（1）【学习心得】
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，
可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度
数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆 A，则点C、D必在 A上，∠BAC是 A的圆心角，而
∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
⊙ ⊙ ⊙
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以
BD的中点为圆心， BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心， BD长为半径的
圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚
的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．
5．（2021秋•宽城区期末）【问题原型】如图①，在 O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在
优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．
⊙
（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．
【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN
的最大值为 ．6．（2021秋•泗阳县期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋
转角 （0≤ ≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D， O是△BCD的内切圆，直线AO、
BC相交于点H．
α α ⊙
（1）若 ＝60°，则CD＝ cm．
（2）若AO⊥BC
α
①点H与 O的位置关系是 ；
A．点H在 O外
⊙
B．点H在 O上
⊙
C．点H在 O内
⊙
②求线段AO的长度．
⊙
（3）线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．
7．（2021秋•开福区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M在x轴负半轴上， M与x轴交于A、
B两点（A在B的左侧），与y轴交于C、D两点（点C在y轴正半轴上），且 ⊙ ，点B的坐
标为（3，0），点P为优弧CAD上的一个动点，连结CP，过点M作ME⊥CP于点E，交BP于点N，
连结AN．
（1）求 M的半径长；
（2）当BP平分∠ABC时，求点P的坐标；
⊙
（3）当点P运动时，求线段AN的最小值．8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D是线段BC上一点，延长BC至
点E，使得CE＝CD，过点E作EG⊥AD于点G，交AB于点F．
（1）如图1，连接CG，若AD平分∠BAC，CG＝2，求BC的长；
（2）如图2，H是平面内一点，连接AH、DH，DA平分∠EDH，∠BAH＝2∠CAD，用等式表示线段
BD、BF、DH之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，CD＝2，AC＝3，点M为平面内一点，连接 BM、DM，满足
∠AMD＝2∠H，当 BM 最小时，将△BDM 沿着 BD 翻折到同一平面内得△BDM’，过点 E 作
EK⊥BE，交直线DM’于点K，直接写出线段EK的长度．
9．（2022秋•丰都县期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，若∠CAD＝30°，CD＝2，求AB的长；
（2）如图2，将△ABC的边AC绕点C在同一平面内顺时针旋转90°得到△AEC，F为AE延长线上一点，
连接CF．若EF＝BD，∠ECF＝∠BAD，求证：AB＝2CD；（3）如图3，在（1）的条件下，M为射线AB上一动点，连接CM，DM，将△CDM沿CM翻折，得到
△MCD′，连接AD′，N为AD′的中点，连接BN，当BN的长度最小时，请直接写出 的值．
10．（2020秋•南京期末）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可
以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度
数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助 A，则点C、D必在 A上，∠BAC是 A的圆心角，而
∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
⊙ ⊙ ⊙
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接
BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ．
