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2022-2023 学年人教版数学七年级上册压轴题专题精选汇编
专题 07 解一元一次方程
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022七下·叙州期末）解方程 时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”
漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（ ）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C． D．
【答案】A
【完整解答】解：由题意得，
x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，
所以a＝ ，
则正确解为：
去分母得，2（2x﹣1）＝3（x+ ）﹣6，
去括号得，4x﹣2＝3x+1﹣6，
移项合并同类项得，x＝﹣3，
故答案为： A．
【思路引导】根据题意可知将x=2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1可求出a的值；再将a的值代入原
方程，然后求出原方程的解即可.
2．（2分）（2022七下·拱墅期末）已知关于 ， 的方程组 有下列结论：
①当 时，方程组的解是 ；②不存在一个实数 使得 ；③当 时；④当 时， ．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【完整解答】解： ，
得： ，
∴
把 代入②得： ，
解得： ，
∴原方程组的解为 ，
{x=11
①当 时，方程组的解是 ，故①正确；
y=7
②当 时，即 ，无解，所以②说法正确；
③当 时， ，即 ，解得： ；所以③说法正
确；
④当 时，即 ，解得： ；所以④说法错误；
综上所述：结论正确的有：①②③；
故答案为：C．
【思路引导】利用第一个方程减去第二个方程的4倍可得y，将y代入第二个方程中可表示出x，据此可得方程组的解，将a=3代入可得方程组的解，据此判断①；根据x+y=20求出a的值，据此判断②；根据同底
数幂的乘法法则以及负整数指数幂的运算性质可得x-y=-2，结合方程组的解求出a的值，据此判断③；令
x=y，求出x的值，据此判断④.
3．（2分）（2022·邯郸模拟）若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣
3+2＝5．以下说法中不正确的是（ ）
A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3
B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点
C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数
D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5
【答案】D
【完整解答】解：∵a*b＝ab﹣a+b，
∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，
∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，
∴x﹣1＜2，解得x＜3，A不符合题意；
∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，
∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x＝﹣1+ ，x＝﹣1﹣ ，B不符合题意；
1 2
∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+ ）2+ ＞0，
∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，C不符合题意；
∵（x﹣2）*3＝5，
∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，
解得，x＝3，D符合题意；
故答案为：D．
【思路引导】根据新运算的运算规则和二次函数的性质、不等式的性质、解方程等，判断可各个选项即可。
4．（2分）（2022七下·仁寿期中）方程7x+4＝8x的解是（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣3 D．x＝3
【答案】B
【完整解答】解：移项，可得：7x﹣8x＝﹣4，
合并同类项，可得：﹣x＝﹣4，系数化为1，可得：x＝4.
故答案为：B.
【思路引导】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得x的值.
5．（2分）（2022七下·自贡开学考）下面方程变形中，正确的是（ ）
A．2x﹣1＝x+5移项得2x+x＝5+1
B． + ＝1去分母得3x+2x＝1
C．（x+2）﹣2（x﹣1）＝0去括号得x+2﹣2x+2＝0
D．﹣4x＝2系数化为“1”得x＝﹣2
【答案】C
【完整解答】解：A、2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1，A不符合题意；
B、 + ＝1去分母得：3x+2x＝6，B不符合题意；
C、（x+2）﹣2（x﹣1）＝0去括号得：x+2﹣2x+2＝0，C符合题意；
D、﹣4x＝2系数化为“1”得：x＝﹣ ，D不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】根据移项前后要改变符号，可判断A选项；去分母时，等式两边都要乘以分母的最小公倍
数，可判断B选项；去括号时，括号外是负号每一项要改变符号，括号外是正号则不改变符号，即可判断
C选项；系数化为1时，是等式两边同时除以未知数的系数，即可判断D选项，据此即可选出正确选项.
6．（2分）（2021七上·北碚期末）若整数a是使得关于x的不等式组 有且仅有4个整数
解，且使关于y的一元一次方程 ＝ ＋1的解满足y≤87.则所有满足条件的整数a的值之和
为（ ）
A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17
【答案】A【完整解答】解： ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥ ，
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，
∴-1＜ ≤0，
解得：-11＜a≤-5，
＝ ＋1，
去分母得：3（2y+a）=5（y-a）+15，
去括号得：6y+3a=5y-5a+15，
移项得：y=15-8a，
∵该方程的解满足y≤87，
∴15-8a≤87，
∴a≥-9，
∵-9≤a≤-5，
∴整数a为：-9，-8，-7，-6，-5，它们的和为-35，
故答案为：A.
【思路引导】分别解关于x的不等式组 ，根据“该不等式组有且仅有4个整数解”得出-1
＜ ≤0，求出a的范围，解一元一次方程 ＝ ＋1得出y=15-8a，由于y≤87可得15-8a≤87，求出a的范围，从而得出整数a的值，再相加即可.
7．（2分）（2022七下·宁波开学考）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P、Q
两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间
为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；
③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12.其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【完整解答】解：设AC=x，
∴BC=4x-20，
∵AC+BC=AB，
∴x+4x-20=30
解之：x=10，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①正确；
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=15-t，
∵QM=BM+BQ
∴QM=15；
∵点N为QM的中点，∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，点P在点Q的左侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当t＞30时，
此时点P在点Q的右侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
综上所述AB=4NQ时，故②正确；运动过程中QM的长度保持不变，故③正确；
当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∴30-2t=t
解之：t=10，
当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点P与点Q重合，
∴t=30，
当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，PB＞BQ，
∴当PB=BQ时，t=10或30，故④错误.
∴正确结论有①②③，一共3个.
故答案为：C.
【思路引导】设AC=x，利用 BC比AC的4倍少20，可表示出BC，再根据AC+BC=30，建立关于x的
方程，解方程求出x的值，可求出BC，AC的长，可对①作出判断；分情况讨论：当0≤t≤15时，此时点P
在线段AB上，可表示出BP的长，利用线段中点的定义可表示出BM的长，由此可求出QM的长，利用线
段中点的定义求出NQ的长，可得到AB与NQ之间的数量关系；当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，
点P在点Q的左侧，同理可得到AB与NQ之间的数量关系；当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，分别
表示出AP，BQ，BP的长，利用线段中点的定义可表示出MB的长，即可求出NQ的长，可得到AB与
NQ之间的数量关系，可对②和③作出判断；当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，利用
BP=AB-AP，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点
P与点Q重合，可得到t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．（2分）（2022·兰溪模拟）解方程 ， 以下去分母正确的是 ( ).
A． B．C． D．
【答案】B
【完整解答】解：方程两边同时乘12，得
去括号，得
故答案为：B.
【思路引导】首先给方程两边同时乘以12，然后去括号即可.
9．（2分）（2022七上·石阡期末）把方程 去分母，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：去分母得：2x-（x+1）=6，
去括号得：2x-x-1=6.
故答案为：B.
【思路引导】给方程两边同时乘以6（右边的1不能漏乘），可得2x-(x+1)=6，去括号可得2x-x-1=6，据此
判断.
10．（2分）（2021七上·滨城期末）下列变形中正确的是（ ）
A．方程 ，移项，得
B．方程 ，去括号，得
C．方程 ，未知数系数化为1，得
D．方程 化为
【答案】D
【完整解答】解：方程 ，移项，得 ，A变形不符合题意；
方程 ，去括号，得 ，B变形不符合题意；方程 ，未知数系数化为1，得 ，C变形不符合题意；
方程 化为 ，利用了分数的基本性质，D符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】利用等式的性质逐项判断即可。
二．填空题（共9小题，满分18分，每题2分）
11．（2分）（2021七上·普陀期末）若 是关于x的方程 的解，则
．
【答案】2
【完整解答】解：由题意得
∴a-1=1-2a+4
3a=6
解之：a=2.
故答案为：2.
【思路引导】将x=1代入方程，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
12．（2分）（2022七下·宁波开学考）点O为直线l上一点，射线OA，OB均与直线l重合，将射线OB
绕点O逆时针旋转α（0≤α≤90°），过点O作射线OC，OD，OM，ON，使得∠BOC=90°，∠COD=2α，
∠COM= ∠AOC，∠CON= COD（OM在∠AOC内部，ON在∠COD内部），当∠MON= α
时，则α=【答案】20°
【完整解答】解：∵∠AOC+∠BOC+α=180°，
∴∠AOC=180°-90°- α=90°- α；
∵ ∠COD=2α，∠COM= ∠AOC，∠CON= ∠COD，
∠COM= （90°- α），∠CON= α，
∵∠MON=∠COM-∠CON
∴
解之：α=20°.
故答案为：20°.
【思路引导】利用平角的定义可表示出∠AOC的度数，结合已知条件可表示出∠COM，∠CON；然后根
据∠MON=∠COM-∠CON，建立关于α的方程，解方程求出α的值.
13．（2分）（2021七上·萧山月考） 关于 的一元一次方程 的解为 ，则
的值为 ．
【答案】5
【完整解答】解：∵一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，
∴a-2=1，2+m=4，
∴a=3，m=2，
∴a+m=5.【思路引导】根据一元一次方程的定义得出a-2=1，再把x=1代入方程得出2+m=4，从而得出a=3，m=2，
即可得出a+m的值.
14．（2分）（2021七上·长沙期中）定义新运算： ，例如：
，那么当 时， .
【答案】-4
【完整解答】解：∵
∴
又∵
∴
故答案为：-4.
【思路引导】根据新定义的运算法则把方程的左式分步化成整式，再解一元一次方程，即可解答.
15．（2分）（2021七下·沙坪坝期末）关于y的方程 的解为正数，关于x的不等
式组 有且只有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 .
【答案】-2
【完整解答】解：由方程 解得： ，则 ，
解不等式 得： ，
解不等式 得： ，
由不等式组有且只有三个整数解，即3，2，1，
得到 ，
解得： ，
又 ，
∴ ，
∵a是整数，
∴a=-2，-1，0，1；
则符合条件的所有整数a的和为-2.
故答案为：-2.
【思路引导】解方程求出关于y的方程的解，根据其解为正数可得到a的取值范围；再求出不等式组的解
集，根据不等式组有且只有三个整数解，可得到关于a的不等式组，然后确定出a的取值范围，可得到整
数a的值，即可求出所有整数a的和.
16．（2分）（2021七下·射洪月考）已知关于 的方程 的解是正整数，则符合
条件的所有整数 的积是 .
【答案】-12
【完整解答】解：对于方程 ，去分母，得 ，
去括号，得 ，移项、合并同类项，得 ，
由题意可知方程有解，因此
则可得 ，
因为原方程的解是正整数，a为整数，所以4+a=1，2，3，6，
解得：a=－3或－2或－1或2，它们的积是 .
故答案为：－12.
【思路引导】经过去括号、移项、合并同类项和系数化为1，解关于x的一元一次方程，得出符合条件的
正整数a，再求所有正整数a的积即可.
17．（2分）（2021七上·南开月考）已知关于x的方程 ＝1+ 中，a、b、k为常数，若无论
k为何值，方程的解总是x＝1，则a+ b的值为 ．
【答案】3
【完整解答】解：将 代入方程 ＝1+ 得
由题意可得： ，解得
则
故答案为：【思路引导】将x=1代入方程 ＝1+ 可得 ，再根据题意可列出方程
组 ，求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可。
18．（2分）（2021七上·如皋月考）若关于x的方程3x﹣7=2x+a的解与方程4x+3=﹣5的解互为倒数，则
a的值为 .
【答案】
【完整解答】解：方程3x﹣7=2x+a
移项，得：
合并同类项，得：
方程4x+3=﹣5
移项，得
∴
根据题意，得
移项、合并同类项，得：
故答案为： .
【思路引导】分别求出两方程的解，再根据解互为倒数建立关于a的方程，解之即可.
19．（2分）（2020七上·璧山期中）按照下面的程序计算：
如果输入 的值是正整数，输出结果是166，那么满足条件的 的值为 .
【答案】42或11
【完整解答】解：当4x-2=166时，解得x=42当4x-2小于149时，将4x-2作为一个整体重新输入
即4（4x-2）-2=166，解得x=11
故答案为：42或11.
【思路引导】根据题图给出的计算程序列出方程，求出x的值，即可得出答案.
三．解答题（共10小题，满分62分）
20．（8分）（2022七下·仁寿期中）解方程（组）
（1）（2分）5x﹣2＝3x+8
（2）（2分）
（3）（2分）
（4）（2分）
【答案】（1）解：5x﹣2＝3x+8
5x-3x=8+2
2x=10
x=5
（2）解：
2（2x+1）-6=5x-1
4x+2-6=5x-1
4x-5x=-1-2+6
-x=3
x=-3
（3）解：
由①×4-②得
x=1把x=1代入①得
1+y=2
y=1
∴
（4）解：
① -2得3y-5z=-2④
①-③得5y+z=6⑤
∴ ，
由⑤得：z=6-5y⑥
把⑥代入④得：3y-5（6-5y）=-2
解得：y=1
把y=1代入⑥得z=1
把y=1，z=1代入①得x=0
∴
【思路引导】（1）利用移项、合并、系数化为1即可解方程；
（2）先去分母（两边同时乘以6，左边的1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括
号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，
最后把未知数的系数化为1；
（3）用①方程的4倍减去②方程可求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得出方程组
的解；
（4）利用加减消元法先消x，可得 ，再利用代入消元法求出y、z的值，继而求出x即
可.21．（4分）（2022七下·南阳期末）当m取何值时，关于x的方程 ＝3x﹣m的解与方程2（1﹣
x）＝x﹣1的解互为相反数？
【答案】解：解方程2(1-x)=x-1，得x=1
∵解方程2(1-x)=x-1的解与 的解互为相反数
∴ 的解是x=1
把x=1代入方程
得
∴4m=-8
∴m=-2
【思路引导】先求出方程2（1-x）＝x-1的解为x=1，从而得出方程 的解为x=-1，再把
x=-1代入方程 ，求出m的值，即可得出答案.
22．（4分）（2022七下·宁波开学考）我们把有相同的解的两个方程称为同解方程.例如，方程2x=6与方
程4x=12的解都为x=3，所以它们为同解方程，若关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和 是同解
方程，求m的值．
【答案】解：x﹣2（x﹣m）=4
x-2x+2m=4
x=2m-4；3（x+m）-2x=6
3x+3m-2x=6，
x=6-3m；
∵ 关于x的方程x﹣2（x﹣m）=4和 是同解方程
∴2m-4=6-3m
∴5m=10
m=2.
【思路引导】分别求出两方程的解，再根据两个方程式同解方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的
值.
23．（4分）（2021七上·长沙期末）小李在解关于x的方程 －1去分母时，方程右边的－1
漏乘了3，因而求得方程的解为x＝－2，请你帮小李同学求出a的值，并且求出原方程的解.
【答案】解： 按小李的解法解方程，去分母得：2x－1＝x＋a－1，
整理，解得x＝a，
又∵小李解得x＝－2，
∴a＝－2，
把a＝－2代入原方程，得 ，
去分母得：2x-1=x-2-3，
整理，解得x＝－4，
将x=-4代入方程中，左式=右式，即x＝－4为原方程正确的解.
【思路引导】首先按小李的解法解方程2x－1＝x＋a－1，得x＝a，再根据错解的解为x=-2，代入求出a值，
再将a值代入原来的分式方程，按去分母、移项、合并同类项、系数化为1、求解即可.
24．（4分）（2022七下·仁寿期中）在数学实践课上，小丽解方程 时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝4，试求a的值，并解出原方程正确的解．
【答案】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入上式，解得a＝﹣1．
原方程可化为： ，
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1），
去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13，
系数化为1，得x＝13，
故a＝﹣1，x＝13．
【思路引导】由题意可得2(2x-1)+1＝5(x+a)，将x=4代入可得a的值，然后代入原方程中进行求解可得方
程的解.
25．（6分）（2022七下·卫辉期末）解方程和不等式组
（1）（3分）解方程
（2）（3分）解不等式组 并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
【答案】（1）解：
去分母可得：
去括号得：
整理得：
解得：
（2）解：
由①得：解得：
由②得：
解得：
在数轴上表示其解集如下：
所以不等式组的解集为：
【思路引导】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的表示方法表示在
数轴上即可.
26．（7分）（2022·太原模拟）
（1）（2分）计算： ；
（2）（5分）下面是小明同学解方程 的过程，请认真阅读，并完成相应的任务．
解：去分母，得 ． 第一步
去括号，得 ． 第二步
移项，得 ． 第三步
合并同类项．得 ． 第四步
系数化为1，得 ． 第五步
任务一：①解答过程中，第 ▲ 步开始出现了错误，产生错误的原因是 ▲ ；
②第三步变形的依据是 ▲ ．
任务二：①该一元一次方程的解是 ▲ ；
②写出一条解一元一次方程时应注意的事项．
【答案】（1）解：原式=1-9+．
（2）任务一：①一；等式右边的1漏乘以6（或去分母时漏乘了6），
②移项法则（或等式的基本性质一），
任务二：① ，
去分母，得3（x+3）-（5x-3）=6，
去括号，得3x+9-5x+3=6，
移项，得3x-5x=6-9-3，
合并同类项，得-2x=-6，
系数化为，得 ，
故答案为：x=3；
②答案不唯一如：
Ⅰ．去分母时，注意不要漏乘（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅱ．移项时，注意变号（或正确运用等式的基本性质）．
Ⅲ．去括号时，括号前面是“-”时各项都要变号．
【思路引导】 (1) 利用幂的运算及平方差公式计算；
(2) 利用等式的性质解方程是解决本题的根据，注意去分母时等式的各项都要乘以最简公分母，移项要变
号。
27．（7分）（2022七上·渠县期末）如图，点A和点B在数轴上对应的数分别为a和b，且（a+2）2+|b﹣
8|＝0.
（1）（1分）线段AB的长为 ；
（2）（3分）点C在数轴上所对应的为x，且x是方程 的解，在线段AB上是否存在点
D.使AD+BD＝CD？若存在，请求出点D在数轴上所对应的数，若不存在，请说明理由；
（3）（3分）在（2）的条件下，线段AD和BC分别以6个单位长度/秒和5个单位长度/秒的速度同时
向右运动，运动时间为t秒，点M为线段AD的中点，点N为线段BC的中点，若MN＝5，求t的值.
【答案】（1）解：∵（a+2）2+|b-8|=0，∴a+2=0，b-8=0，
∴a=-2，b=8，
∴线段AB的长为8-（-2）=10，
故答案为：10；
（2）解：在线段AB上存在点D.使AD+BD=CD，理由如下：
∵ ，
∴解得x=14，即点C在数轴上对应的数为14，
∵点D在线段AB上，
∴AD+BD=AB=10，
∵AD+BD=CD，
∴CD=10，
∴14-10=4，
即点D对应的数为4，
故答案为：4；
（3）解：∵点M为线段AD的中点，点N为线段BC的中点，
∴M对应的数是 ，N对应的数是 ，
即M、N初始位置对应的数分别为1，11，
又∵M在AD上，N在BC上，
∴可知M在1处向右，速度为6个单位/秒，N在11处向右，速度为5个单位/秒，
运动t秒后，M对应的数为：1+6t，N对应的数为：11+5t，
∵MN=5，
∴|（11+5t）-（1+6t）|=5，
解得：t=5或15.
∴t的值为5或15.
【思路引导】（1）根据偶次幂、绝对值的非负性可得a+2=0，b-8=0，求出a、b的值，进而可得线段AB
的长；
（2）首先求出方程的解，可得点C对应的数，根据线段的和差关系可得AD+BD=AB=10，结合
AD+BD=CD求出CD，进而可得点D对应的数；（3）根据中点的概念可得点M、N对应的数，运动t秒后，M对应的数为：1+6t，N对应的数为：11+5t，
然后根据MN=5进行计算.
28．（9分）（2020七上·芙蓉月考）已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，
其对应的数为x.
（1）（3分）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）（3分）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若
不存在，说明理由；
（3）（3分）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P
以6个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对
应的数是多少？
【答案】（1）解：∵点P到点A、点B的距离相等，∴点P是线段AB的中点．
∵点A、B对应的数分别为-1、3，∴点P对应的数是1
（2）解：①当点P在A左边时，-1-x+3-x=8，解得：x=-3；
②当点P在B点右边时，x-3+x-（-1）=8，解得：x=5．
即存在x的值，当x=-3或5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8
（3）解：①当点A在点B左边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则3+0.5t-（2t-1）=3，解得：
t= ，则点P对应的数为-6× =-4；
②当点A在点B右边，两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，则2t-1-（3+0.5t）=3，1.5t=7，解得：
t= ，则点P对应的数为-6× =-28．
综上可得：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是-4或-28．
【思路引导】（1）先得到点P是线段AB的中点 ，再计算求解即可；
（2）分类讨论，解方程计算求解即可；
（3）分类讨论： 点A在点B左边和点A在点B右边，解方程计算求解即可。
29．（9分）（2021七上·江油期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB＝
BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，在数轴上向
左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．（1）（3分）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．
（2）（3分）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多
少？
（3）（3分）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．
【答案】（1）解：由题意知：OC＝OA+AB+BC＝20+20+20＝60（cm），
∴当P运动到点C时，t＝60÷2＝30（秒）；
（2）①当点P、Q还没有相遇时，
2t+3t＝60﹣30，
解得：t＝6，
此时，QC＝3×6＝18（cm），QB＝BC﹣QC＝20﹣18＝2（cm），
∴|QB﹣QC|＝|2﹣18|＝16（cm），
②当点P、Q相遇后，
2t+3t＝60+30，
解得：t＝18，
此时，QC＝3×18＝54（cm），QB＝QC﹣BC＝54﹣20＝34（cm），
∴|QB﹣QC|＝|34﹣54|＝20（cm），
综上所述，经过6秒或18秒 P，Q两点相距30cm，此时|QB﹣QC|是16cm或20cm；
（3）∵|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24，
∴|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，
∵在数轴上，点A对应的数为20，点B对应的数为40，点C对应的数为60，
∴点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，
①点P对应的数为18时，OP＝18（cm），t＝18÷2＝9（s），
若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷9＝ （cm/s），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷9＝ （cm/s）（舍弃），
②点P对应的数为42时，OP＝42（cm），t＝42÷2＝21（s），若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），
v＝16÷21＝ （cm/s）（舍弃），
若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），
v＝4÷21＝ （舍弃）（cm/s），
综上所述，点Q的运动速度为： cm/s
【思路引导】（1）先求出线段OC的长，再根据时间= 列出算式进行计算，即可得出 答案；
（2）分两种情况讨论：①当点P、Q还没有相遇时，②当点P、Q相遇后，分别根据题意列出方程，解方
程求出t的值，再求出QC和QB的长，从而求出|QB﹣QC|的长，即可得出答案；
（3）根据题意得出|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，从而得出点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44
或56，分两种情况讨论：①点P对应的数为18时，求出t=9s，再分别求出当点Q对应的数为44或56时，
CQ的长，再利用速度= 得出v的值； ②点P对应的数为42时，求出t＝21s，再分别求出当点Q对
应的数为44或56时，CQ的长，再利用速度= 得出v的值，即可得出答案.
