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猜想 07 相似三角形（四种基本模型专练）
题型一：“8”字模型相似三角形
题型二：“A”字模型相似三角形
题型三：一线三等角构造相似模型
题型四：手拉手模型-旋转型相似
题型一：“8”字模型相似三角形
一．选择题（共6小题）
1．（2023春•荣成市期末）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学
大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望
井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H．图2中，四分仪为正方形ABCD．方井为矩形BEFG．
若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5．则井深BG为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2023春•重庆期末）如图，l ∥l ∥l ，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A、B、
1 2 3
C和点D、E、F，下列比例式中错误的是（ ）A． B． C． D．
3．（2022秋•辛集市期末）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD
＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG ：S△DEG 等于（ ）
A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2
4．（2022秋•秦都区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，
连接EF，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在EB上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：
①BF垂直平分EN；②△BEN是等边三角形；③△DEF∽△FEB；④S ＝3S ．其中，正确的结
BEF DEF
论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋•闵行区期末）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可
测量零件的内孔直径AB．如果 ＝ ＝3，且量得CD＝4cm，则零件的厚度x为（ ）
A．2cm B．1.5cm C．0.5cm D．1cm
6．（2022秋•南华县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD上的点，AE交BD于点F，交BC
延长线于点
G，若DE：CE＝3：1，则AF：FG＝（ ）A．3：4 B．3：5 C．9：16 D．9：25
二．填空题（共7小题）
7．（2022秋•香坊区期末）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E，AB＝1，CD＝2，△ABE的面积为1，
则△CDE的面积为 ．
8．（2022秋•如皋市期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法：如图所示，在
井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于
点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为 ．
9．（2022秋•静安区期末）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的
边 EF 于点 P．如果点 F 恰好是边 CD 的黄金分割点（DF＞FC），且 PE＝2，那么 PF＝
．
10．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为 10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径 AB．如果 ＝ ＝ ，且量得CD的
长是3cm，那么零件的厚度x是 cm．
11．（2022秋•芦淞区期末）如图，直线y＝kx﹣2（k＞0）与双曲线 在第一象限内的交点R，与x轴、
y轴的交点分别为P、Q．过R作RM⊥x轴，M为垂足，若△OPQ与△PRM的面积相等，则k的值等于
．
12．（2022秋•丹东期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上的点，连接CE．以点E为圆心，以任意
长为半径作弧分别交EC，ED于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于 MN长为半径作弧，两弧
在∠CED内交于点P，连接EP并延长交DC于点H，交BC的延长线于点G．若AB＝16，AE：AD＝
1：4，则EH的长为 ．
13．（2022秋•庐阳区期末）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE＝CF，CE交AF
于M．若E为AB中点，则 ＝ ；若∠CMF＝60°，则 ＝ ．三．解答题（共11小题）
14．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝
12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．
15．（2022秋•市南区期末）将一块长方体蛋糕平均分成 3份，若按照如图1方式进行分割，每份的蛋糕
胚一样多，但奶油不一样多（①和③奶油多，②奶油少），那么如何分割，才能使得3份的蛋糕胚和
奶油一样多呢？如图2，首先我们可以将蛋糕抽象成矩形，用加粗线条表示有奶油的边，然后将矩形沿
其对角线分割并拼成如图3的平行四边形ABCD，分别取边AB、CD的三等分点E、F和G、H，如图
4，按EG、FH分割成3份（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ），此种分法能够保证每份的蛋糕坯一样多，奶油是否一样多，
我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否相等，请你给出判断并加以证明．
16．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E，F分别在线段BD，AC上，连结AD，EF交于点G，∠CEF＝2∠CAD．
（1）求证：△ABC∽△EFC．
（2）若BE＝2DE， ＝ ，求 的值．
17．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC
分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
18．（2022秋•文山市期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DB平分∠ADC，且
AB2＝BE•BD．求证：△ABE∽△DCE．
19．（2022秋•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且
AB2＝BE•BD．
（1）求证：△ABE∽△DCE；（2）AE•CD＝BC•ED．
20．（2022秋•吉州区期末）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，若PB＝3，PC＝
1，PD＝2，求PA的长度．
21．（2022秋•平谷区期末）如图，已知锐角∠ABC，以AB为直径画 O，交BC边于点M，BD平分
∠ABC与 O交于点D，过点D作DE⊥BC于点E． ⊙
（1）求证⊙：DE是 O的切线；
（2）连接OE交B⊙D于点F，若∠ABC＝60°，AB＝4，求DF长．
22．（2022秋•辛集市期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
（1）在图①中， 的值为 ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
23．（2022秋•双流区期末）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪
AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测
出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知
AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪 AB高2m，观测仪 CD高1m，BE＝1.6m，FD＝0.8m，深坑宽度 EF＝
8.8m，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
24．（2022秋•南开区校级期末）如图，在 ABCD中，G是CD延长线上一点，连接BG交AC，AD于
E，F． ▱
（1）求证：△ABE∽△CGE；
（2）若AF＝2FD，求 的值．题型二：“A”字模型相似三角形
一．选择题（共4小题）
1．（2023春•东平县期末）如图，P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不一定能保证
△ABC∽△ACP的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
2．（2023春•海东市期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为CD上的点，F为BC的中点，连接
AE，AF，点M，N分别是AE和AF的中点，若DE＝2，则MN的长为（ ）A． B．2 C． D．3
3．（2023春•芝罘区期末）操场上有一根竖直的旗杆AB，它的一部分影子（BC）落在水平地面上，另一
部分影子（CD）落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为1.2m，地面的影长为2.6m，同时测得一
根高为2m的竹竿OM的影长是ON＝1.6m，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
4．（2023春•环翠区期末）如图，在 ABCD 中，点 E在对角线 BD上，EM∥AD，交 AB于点 M，
EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一▱定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
5．（2023 春•八步区期末）如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，F 是 AD 的中点，
FG∥DE，若BC+FG＝15，则DE的长为 ．
6．（2023春•南关区校级期末）明珠绿星数学社团想利用标杆测量楼高，小明先在 N处竖立一根高1.6m
的标杆MN，发现点B、M、P在同一直线上．测得PN＝0.5m，AN＝4.5m，已知，点A、N、P在同一直
线上，MN⊥AP于点N，AB⊥AP于点A．则楼高AB为 m．7．（2023春•重庆期末）如图，小明站在两路灯 AB、CD之间的点F处，两路灯底部的距离BD＝10m，
两路灯的高度均为8m，小明身高EF＝1.6m，他在路灯AB下的影子FM＝1m，在路灯CD下的影子为
FN，则FN＝ ．
8．（2023春•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点．将
△ADC绕点A旋转得到△AD C （点D与点D 对应，点C与点C 对应），当点C 落在边AB上时，联
1 1 1 1 1
结BD ，那么线段BD 的长是 ．
1 1
9．（2022秋•阳曲县期末）已知：如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D位于边AB上，过
点D作边BC的平行线交边AC于点E，过点D作边AC的平行线交边BC于点F，设AE＝x，四边形
CEDF的面积为y，则y关于x的函数关系式是 ．（不必写定义域）
三．解答题（共7小题）10．（2023春•龙口市期末）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计
算小河的宽度．
题目 测量小河的宽度（AB的长）
测量目标示意图
相关数据 BC＝1.5m，DE＝2m，BD＝4m．
11．（2023春•广州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度
数．
12．（2022秋•峄城区期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向
以每秒 cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，
设运动的时间为t秒．
（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；
（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？13．（2023春•牟平区期末）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．
如图所示，现将一高为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向
移动1.8米至DE的位置（CG＝DE），此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度．
14．（2023春•振兴区校级期末）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝ ，连接BD、CE．当 ＝60°时，通过测量，猜想出图
中与BD相等的线段，并加以证明． α α
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）王老师修改条件，并提出新问题，请你解答．如图2，AB＝BC，AD＝DE，∠ABC＝∠ADE＝ ，连接BD、CE．当 ＝120°时，请用已学的知识求出
α α
的值．
15．（2023春•德化县期末）如图，将线段AB平移得到CD，使A与D对应，B与C对应，连接AD，
BC．
（1）求证：∠B＝∠ADC；
（2）点G在BC的延长线上，点C与C′关于直线DG对称，直线DC′交BC的延长线于点E．点F
在线段CE上，且∠DFE＝∠EDF．
①设∠B＝ ，求∠FDG的度数（用含 的代数式表示）；
α α
②证明： ．16．（2022秋•大连期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D为AC中点，过
D作DE⊥AC交AB于点E．动点P从点D出发，沿射线DE以1cm/s的速度运动．过D作DM∥AB，过
P 作 PM⊥DM 于点 M．设点 P 的运动时间为 t（s）．△PDM 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S
（cm2）．
（1）当点M落在BC边上时，求t的值；
（2）当点M在△ABC内部时，求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．题型三：一线三等角构造相似模型
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•荣昌区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，
连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2022秋•宁德期末）如图，在边长为4的等边△ABC中，点D是AB边上一个动点，沿过点D的直线
折叠∠A，使点A落在BC边上的点F处，折痕交AC于点E，当BF＝1，AE＝ 时，则AD的长是（
）
A． B． C．2 D．
3．（2022秋•邹城市校级期末）如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D．AB＝2，DE＝4，BD＝6．点C
为BD上一点，连接AC、CE．当BC＝（ ）时，可使AC⊥CE．A．3 B．2或4 C． D．2或3
二．填空题（共5小题）
4．（2023春•宁波期末）如图，在矩形ABCD中AB＝7cm、BC＝8cm，现将矩形沿EF折叠，点C翻折后
交AB于点G，点D的对应点为点H，当BG＝4cm时，线段GI的长为 cm．
5．（2022秋•武功县期末）如图，四边形 ABCD是正方形，AB＝6，E是BC中点，连接DE，DE的垂直
平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于F，则AF＝ ．
6．（2022秋•大名县校级期末）如图，在等边三角形ABC中，点D、点E分别在BC、AC上，且∠ADE＝
60°．
（1）写出和∠CDE相等的角： ；
（2）若AB＝3，BD＝1，则CE长为 ．
7．（2022 秋•盐湖区期末）如图，在△ABC 中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过 CB 的中点 D 作
DE⊥AD，交AB于点E，则EB的长为 ．8．（2022秋•武侯区校级期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝
CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，∠EFB＝15°，若AH＝2，AD＝5+ ，则四边形EFGH的
周长为 ．
三．解答题（共8小题）
9．（2023春•牟平区期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝ AB＝3BD，求AD：AC的值．
10．（2022秋•德惠市期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．11．（2022秋•武侯区期末）为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物 AB的高度，小军同学采取
了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点 D
处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在
同一条直线上．已知小军的眼睛距离地面的高度 ED的长约为1.75m，BC和CD的长分别为40m和
1m，求建筑物AB的高度．（说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF）
12．（2022秋•魏都区校级期末）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．
（1）若AP＝3，求BD的长；
（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．
13．（2023春•黄冈期末）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个顶点，OA
1 1 1 1
交AB于点E，OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；
1
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m
分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为
8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，
顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若
存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
14．（2022秋•郸城县期末）【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E
作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△AED∽△BFE．
（2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．
【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B
重合），连结 CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为
．
15．（2022秋•岚山区校级期末）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别
为E、D．求证：△BDC∽△CEA．
【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB于点E．若BE＝
DE， ，AC＝20，求BD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB， ，CD
＝ ，求平行四边形ABCD的面积．
16．（2022 秋•黄浦区期末）已知，如图 1，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝∠ADC＝90°，CD＝4，
cos∠ACD＝ ．（1）当BC∥AD时（如图2），求AB的长；
（2）联结BD，交边AC于点E，
①设CE＝x，AB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
②当△BDC是等腰三角形时，求AB的长．题型四：手拉手模型-旋转型相似
一．填空题（共4小题）
1．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3 ，BC＝6，点P在边AC上运动（可
与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小
值为 ．
2．（2022秋•建邺区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，点D是线段AB上一动点，作
△CDE∽△CAB，连接BE．若△BCE是等腰三角形，则∠CDB＝ ．
3．（2022秋•黄浦区期末）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE
的垂线，交边AD于点F，如果AB＝3，BC＝5，那么DF的长是 ．
4．（2022 秋•黔江区期末）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰直角△ABC 和等腰直角
△ADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；② MP•MD＝
MA•ME；③2CB2＝CP•CM；④sin∠CPB＝ ；其中正确的结论有 ．（写出所有正确结
论的序号）．二．解答题（共11小题）
5．（2023春•钢城区期末）如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AC，AD＝AE，点D在BC边上，∠BAD＝
∠CAE，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AE∥BC，DA＝DC，连结CE．
求证：四边形ADCE是菱形．
6．（2023春•永城市期末）如图，点E在正方形ABCD的AD边上（不与点A，D重合），连接EC，将
△DEC沿EC翻折，使点D落在点F处，作射线DF交CE于点M，交AB于点N，连接BF．
（1）求证：△ADN≌△DCE；
（2）过点A作AH∥BF交射线DN于点H．
①求∠AHF的度数；
②直接写出线段AH与FM之间的数量关系．7．（2022秋•东河区期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠DAB＝∠EAC，∠C＝∠E．
（1）求证：AD•BC＝AB•DE；
（2）若S△ADE ：S△ABC ＝4：9，BC＝6，求DE的长．
8．（2022秋•建邺区期末）如图，点E在线段BC上，AB⊥BC，DC⊥BC，∠AED＝90°．求证AB•CD＝
BE•EC．
9．（2022秋•大东区期末）如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠ABC＝∠DBE，
∠BAD＝∠BCE．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）若AB：DB＝5：2，AC＝6，直接写出线段DE的长度为 ．10．（2022 秋•松原期末）已知△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得到
△A'BC'，点A、点C的对应点分别是点A′、点C′．
感知：如图①，当BC'落在AB边上时，∠A'AB与∠C′CB之间的数量关系是 （不需要证
明）；
探究：如图②，当BC′不落在AB边上时，∠A′AB与∠C′CB是否相等？如果相等，请证明；如果
不相等，请说明理由；
应用：如图③，若∠BAC＝90°，AA'、CC′交于点E，则∠A′EC＝ 度．
11．（2022秋•靖江市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在边AB上，CE2＝
BE•DE．
（1）求证：∠DCE＝45°；
（2）当AC＝3，AD＝2BD时，求DE的长．12．（2022秋•静安区期末）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D
不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD
交于点E，联结BF．
（1）如图所示，当点D在线段CB上时，
①求证：△ACD∽△ABF；
②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当AB＝2BE时，求CD的长．
13．（2022秋•驿城区期末）已知在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D．
（1）在图1中，写出其中两对相似三角形．
（2）已知BD＝1，DC＝2，将△CBD绕着点D按顺时针方向进行旋转得到△C'BD，连接AC'，BC．
①如图2，判断AC'与BC之间的位置及数量关系，并证明；
②在旋转过程中，当点A，B，C'在同一直线时，求BC的长．14．（2022秋•梅里斯区期末）在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一动点，∠CDE＝∠BAC＝ ，CD
＝ED，连接BE，EC． α
（1）问题发现：
如图①，若 ＝60°，则∠EBA＝ ，AD与EB的数量关系是 ；
（2）类比探究α ：
如图②，当 ＝90°时，请写出∠EBA的度数及AD与EB的数量关系并说明理由；
α
（3）拓展应用：
如图③，点E为正方形ABCD的边AB上的三等分点，以DE为边在DE上方作正方形DEFG，点O为
正方形DEFG的中心，若OA＝ ，请直接写出线段EF的长度．15．（2023春•广饶县期末）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：如图1，在等边△ABC中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边
△APQ，连接CQ，∠ABC与∠ACQ的数量关系是 ；
（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰
△APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连接CQ，判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正
方形APEF对角线的交点，连接CQ．若正方形APEF的边长为10， ，求正方形ADBC的边长．
