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专题 07 解直角三角形及其应用
重点 会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
难点 会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型，解决某些简单的实际问题
易错 用三角函数计算式，忽视“在直角三角形中”这个条件
一、解直角三角形
【例1】在 中， ，那么 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设 相邻直角边为x，
∵ ，
∴斜边= ，
根据勾股定理可得
对边 ，
∴ ，
故选A．
【例2】如图，在 中， ， ， ，且 为锐角， 的值是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点A作 于点D．
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
二、解直角三角形在实际问题中的应用
【例1】3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树 垂直
于水平平台 ，通往平台有一斜坡 ， 、 在同一水平地面上， 、 、 、 、 均在同一平面
内，已知 米， 米， 米，斜坡 的坡度是 ，李同学在水平地面 处测得树冠顶端
的仰角为 ，则樱花树的高度 约为（ ）（参考数据： ， ，
）
A．15米 B．13米 C．12米 D．9米
【答案】C【详解】解：延长 交水平面于 ，过点 作 水平面于 ，如图所示：
在 中，斜坡 的坡度是 ， 米，设 ，则 ，
解得 ，
米， 米，
米， 米，
米，
在 中， ， ，则 ，
， 米， 米，
，解得 米，
故选：C．
【例2】如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度 m，从飞机上看地平面指挥台B
的俯角 ，则飞机A与指挥台B的距离是（ ）
A．1200 B． C．2400 D．
【答案】C
【详解】解：由题意得， ， ，
∴ m，
答：飞机A与指挥台B的距离为2400m,
故选C．
三、用三角函数计算时，忽视了“在直角三角形中”这个条件
解锐角三角形或钝角三角形时，要注意添加适当的辅助线，构造直角三角形.
【例1】如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段的长为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【详解】解：如图，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选:B．
【例2】如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测
得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（
）A． km B． km C． km D． km
【答案】C
【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点，
根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3km，
在Rt△CBD中，
CD=BC×sin60°=3× = (km)，
故选择：C．
一、单选题
1．在学校操场旁边的台阶上有一个“翔”的雕塑，雕塑后面是很长的一段台阶CD，意寓拥抱梦想，展翅
翱翔，如图，雕塑的上边缘点A距地面平台高度为AB的长，点B距台阶底端C的距离 米，台阶底
端C与顶端D的连线可视作坡度为1:0.75的斜坡，且 米．若A，B，C，D四点在同一平面内，且
在点D看石雕上边缘点A的俯角为 ，则雕塑“翔”的高度AB约为（ ）米．（参考数据：
， ， ）
A．2.21 B．2.20 C．2.25 D．2.31
【答案】C【详解】解：过 作 于 ，如图所示：
则四边形 为矩形，
， ，
台阶底端 与顶端 的连线可视作坡度为 的斜坡，
设 米，则 米，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
则 （米 ， （米 ，
（米 ，
米，
在点 看石雕上边缘点 的俯角为 ，
，
在 中， ，
（米 ，
则 （米
故选： ．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6 ，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′
作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（ ）
A．6 B．3 C．3 D．6 ﹣6
【答案】D【详解】解： ,
又△DB′F 为等腰直角三角形， ,
又在矩形 ABCD， , ,
又 ， 等腰直角三角形,
, ,
三点共线，
在等腰直角△RCE，CE=CD=6,
BE=BC-CE= ,
故选D..
3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内⊙C
上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．
【答案】C
【详解】∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，
∴∠BAO=60°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴AO=3，∴cos∠BAO= ，
∴AB= =6，
∴⊙C的半径为3，
故选：C．
4．如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D
处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度
AB为（ ）
A．3米 B．4.5米 C．6米 D．8米
【答案】B
【详解】解：如图所示,
设两个交点分别为F、P, 根据题意得FC=DP=DE=1.5米,故
∠DPE=∠E, 在Rt△PDE中, ∠DPE=∠E=45 ,
又知DP//BA,故∠BAE=∠DPE=∠E,则AB=BE.
设AB=x米,BD=(x-1.5)米.因为FC//AB,即∠DFC=∠DAB,∠FDC=∠ADB,
所以△ABD~△FCD, 则
即： ，移项并合并系数化为1, 解得：x=4.5,
即AB=4.5米，
故选B.
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosB＝ ，则BC的长为( )
A．6 B．2 C． D．【答案】A
【详解】解：因为在直角△ABC中,cosB= ,
所以 ,
解得:BC=6．
故选A．
6．如图，△ABC是等边三角形，AB=4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针
旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，
设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝ DM＝ x，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，如图1，DM＝EN＝x，EM＝NF＝2− x，
在Rt△AFN中，AF2＝(2− x) 2＋(2+x)2＝ ，
当D在BC的延长线上时，如图2，DM＝EN＝x，EM＝NF＝ x＋2，
在Rt△AFN中，AF2＝( x+2) 2＋(2-x)2＝ ，
当x＝ 时，AF2有最小值 ，∵ ＞
∴AF的最小值为： ，
故选D.
二、填空题
7．要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再
过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是_____米．
【答案】20
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED＝20．
故答案为：20．
8．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP= ，tan∠A= ，∠B=120°，BC=2 ，则
AP=________．
【答案】2 或
【详解】作CD⊥AB的延长线于D．
∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°．∵BC＝2 ，∴DC＝BC•sin60°＝2 • 3．
∵tan∠A ，∴AD＝6，∴AC ，∴AO ．
∵OP ，∴AP＝2 或 ．
故答案为2 或 ．
三、解答题
9．如图，已知 中， ， ，将 绕点A顺时针方向旋转60°到 ，
点B，C的对应点分别为点 ， ，连接 ，
（1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求 的长．
【答案】（1）见图
（2）
【详解】解（1）（2）
∵图形旋转后，对应各边相等， 绕 顺时针旋转 ，可得
∴ 是等边三角形
又∵在 和 中
∴ ，即 平分
延长 交 于
因为 中， ，所以
∵ 是等边三角形， 平分
∴根据等腰三角形“三线合一”得 垂直平分
所以
由于 ，又是等腰直角三角形， 垂直平分 ，则
所以
故答案为： .
10．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶
梯式自动扶梯 长为10m，扶梯 的坡度 为 ．改造后的斜坡式动扶梯的坡角 为
（1）请你求出 的长度；
（2）请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：）
【答案】（1）AD=5；（2）19.2m
【详解】（1）解∵扶梯 的坡度 为 ，
即 ．
在 中，
，
解得 ．
因为 不合题意，
所以 ．
（2）在 中， ，
答：改造后的自动扶梯AC的长约为 ．
一、单选题
1．如图，四边形 内接于 ， ， ， ，点 为 的中点，则线段 的长
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过C作 交 延长线于点E， 于F，
则 ，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴ ，
∵
∴
∵点C为弧 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
在 和 中∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 ，
∴ ，
故选：B．
2．如图，沿AB方向架桥 ，以桥两端B、D出发，修公路 和 ，测得 ，
， ，则公路 的长为（ ）
A．900m B． m C． m D．750 m
【答案】D
【详解】过点C作 ，垂足为E，
，
，
，
，
，
在Rt 中， ， m，
m，在Rt 中， ，
m，
故选：D．
3．如图，直线 ， 与 和 分别相切于点A和点B，点M和点N分别是 和 上的动点，MN沿
和 平移，若 的半径为1， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 和 的距离为2 B．当 与 相切时，
C． D．当 时，MN与 相切
【答案】B
【详解】连结 ，如图1，
∵ 与 和 分别相切于点A和点B，
∴ ， ，
∵ ，
∴点A、O、B共线，
∴ 为 的直径，∴ 和 的距离为2；
作 于H，如图1，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 与 相切，如图2，连结 ，
当 在 左侧时， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ， ，即 ，
当 在 右侧时， ，
∴ 的长为 或 ；
当 时，作 于E，延长 交 于F，如图2，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ 为 的切线．故选：B．
4．如图，在四边形 中， ， ， ， ，则对角线 的最小值为
（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【详解】解：过点A作 ，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小时， 最小，
∵ ，
∴ 最小为 ，
∴ 的最小值为 ，故选B．
5．为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到
地面的距离 米，小明身高 米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，
已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域 的长为（ ）米．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知：四边形 是矩形，
， 米，
米，
（米），
在 中， ，
（米），
在 中， ，
（米），
(米)，
故选：B．
6．在四边形 中， ， ， ， ， （如图）．点O是边 上
一点，如果以O为圆心， 为半径的圆与边 有交点，那么 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图1，过点D作 于H，
则 ， ， ，
在 中， ，
当 与 相切时，此时 与线段 有一个公共点，此时半径最小，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
由 得， ，
解得 ；
如图2，当以 为半径的 过点B时，半径最大，过点O作 于F，设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得，
即 ，
解得 ，即 的最大半径为 ，
所以当以O为圆心， 为半径的圆与边 有交点，那么 的取值范围为 ，
故选：C．
二、填空题
7．如图， 为 的直径，弦 、 交于点P，若 ，则 _______．
【答案】 ##
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴设 ，则 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．如图，线段 ， 分别表示甲、乙建筑物的高， 于点B， 于点D，两座建筑物
间的距离 为 ．若甲建筑物的高 为 ，在点A处测得点C的仰角 为 ，则乙建筑物的高
为___________m．
【答案】55
【详解】解：过点A作 于点E，如图，
可得，四边形 是矩形，
∴
∵
∴
∴
故答案为：55
三、解答题9．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼
的水平距离为180m，这栋楼有多高（结果取整数）？
【答案】415m
【详解】解：如图，
由题意可得， ，
在 中， m，
∴ m
在 中， m，
∴ m，
∴ m，
即这栋楼的高度约为415m．
10．如图，在平行四边形 中，E为 边上一点，连接 ，F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；(2)连接 ，当 为直角三角形时， ， ， ， ______．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【详解】（1）证明：在平行四边形 中， ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵
∴ ，即 ，解得 ，
∴
当 时，如下图：
则 ，
由勾股定理可得： ，
，
当 时，如下图：
由题意可得： ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ 与 矛盾，∴ ，即此种情况无解，
综上，故答案为：
