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专题08 《二元一次方程组》计算题、解答题、应用题重点题
型分类
专题简介：本份资料专攻《二元一次方程组》中“解二元一次方程组”、“有关二元一次
方程（组）解答题”、“列方程组解应用题”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时
使用或者考前刷题时使用。
考点1：解二元一次方程组
方法点拨：（1）代入消元法。我们先把第一个方程看成只有一个未知数（另一
个字母看成已知数），通过移项去括号等把它写成字母等于的形式，然后我们
把第二个方程里面的那个字母换成刚才我们得到的代数式，这样我们就得到了
一个一元一次方程。把这个一元一次方程解出来，得到其中一个未知数的值。
代入到方程组中其中一个方程，就得到了一个未知数的值，到这里，方程组就
被我们解出来了。（2）加减消元法。得到一个二元一次方程组，我们通过乘以
一个数，想办法把两个方程中其中相对应的一个未知数的系数化为相同相反的
数。然后让这两个式子做差或和，便可以消去一个未知数，得到一个一元一次
方程，以下步骤和代入消元法里面的一样。
1．解方程组
2．解方程组：
3．解下列方程组
(1) （代入消元法）
(2) （加减消元法）
4．解方程（组）：
(1)
(2)
5．解方程组：
(1)
(2)
6．解方程组
(1)
(2)7．解方程组：
(1)
(2)
8．解方程组：
(1)
(2)
9．解方程组：
(1) ；
(2) ．
10．下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组： ．
解：① ，得 ③， 第一步，
② ③，得 ， 第二步，
． 第三步，
将 代入①，得 ． 第四步，
所以，原方程组的解为 ． 第五步．
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______．
、代入消元法
、加减消元法
(2)第______步开始出现错误，具体错误是______；
(3)直接写出该方程组的正确解：______．
考点2：有关二元一次方程（组）解答题
方法点拨：（1）解含参的二元一次方程组，也就是说将二元一次方程组中的字
母参数看作是数字，求解出二元一次方程组的解，这个解中一般会包含着字母
参数；（2）根据解的关系求解字母参数，将第一步中解出来的解代入到解的关系中，就变成了关于字母参数的方程，求解即可。（3）1、将不含参数的方程
组合新的方程组，求解；2、将解代入含有参数的方程组中，解出字母参数。
1．已知方程组 的解 、 的值之和等于2，求 的值．
2．已知关于x,y的方程组 的解是正数，化简
3．在解方程组 时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为
，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为 ，甲把a看成了什么？乙把b
看成了什么？求出原方程组的正确解．
4．若关于x,y的方程组 与 的解相同，求a,b的值；
5．已知关于 ， 的方程组 ，若该方程组的解 ， 的值互为相反数，求
的值和方程组的解．
6．甲、乙两同学同时解方程组 ，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的
解为 ，乙看错了方程②中的 ，得到的方程组的解为 ，求原方程组的正确
解．
7．对 ， 定义一种新运算 （中 ， 均为非零常数）．例如：
；已知 ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的不等式组 恰好只有 个整数解，求 的取值范围．
8．解关于x、y的二元一次方程组 时，小虎同学把c看错而得到 ，而正
确的解是 ，试求a+b+c的值．
9．已知 ， 是实数，且 与 互为相反数，求实数 的倒数．
10．对于实数 定义两种新运算“※”和“*”： (其中 为常数，
且 )，若对于平面直角坐标系 中的点 ，有点 的坐标 与之对应，则称点 的“ 衍生点”为点 ，例如： 的“ 衍生点”为 ，即
．
（1）点 的“ 衍生点”的坐标为
（2）若点 的“ 衍生点” 的坐标为 ，求点 的坐标；
考点3：列方程组解应用题
方法点拨：首先，二元一次方程应用题最重要的就是设正确的未知量为未知数，
有时候并不是直接设要求的量为未知量，而是设其他的量，间接求出问题所要
求的量。具体怎么设是具体情况而定。
其次，确定未知量直接的关系，因为是二元一次方程，所以一般需要列出两个
等式。如果一下子写不出的话可以尝试多读几遍题目或者换个未知量设为未知
数。
1．为缓解电力供需矛盾，促进能源绿色低碳发展，某市推行峰谷分时电价政策．峰谷分时
电价为：峰时（8:00～22:00）每度电0.55元，谷时（22:00～次日8:00）每度电0.3元．小
颖家10月份用电120度，缴纳电费61元．
(1)求小颖家10月份，峰时、谷时各用电多少度？
(2)为响应节电政策，小颖11月份计划将20%的峰时用电转移至谷时，这样在她用电量保持
不变的情况下能节省电费多少元？
2．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三
角形的腰长和底边的长．
3．某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原
料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原
料50吨．
(1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
(2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全
部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比
计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值．
4．为巩固拓展脱贫攻坚成果，开启乡村振兴发展之门，某村村民组长组织村民加工板栗并
进行销售．根据现有的原材料，预计加工规格相同的普通板栗、精品板栗共4000件．某天
上午的销售件数和所卖金额统计如下表：
普通板栗（件） 精品板栗（件） 总金额（元）
甲购买情况 2 3 350
乙购买情况 4 1 300
(1)求普通板栗和精品板栗的单价分别是多少元．
(2)根据（1）中求出的单价，若普通板栗和精品板栗每件的成本分别为40元、60元，且加
工普通板栗a件（ ），则4000件板栗的销售总利润为w元．问普通板栗和精品板栗各加工多少件，所获总利润最多？最多总利润是多少？
5．对于任意一个四位正整数m，若满足百位数字比千位数字大1，个位数字比十位数字大
1，且各个数位上的数字不为零，我们就把这个数叫作“虎虎生威数”，将“虎虎生威
数”m的千位、个位上的数字交换位置，百位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的
数 ，记 ．
(1)最小的虎虎生威数是______； ______；
(2)已知p，q都是虎虎生威数，其中 ， （
， ：且均为整数），若 ，且满足
是11的倍数，求p、q的值．
6．茜茜数码专卖店销售容量分别为 、 、 、 和 的五种移动 盘，2020年
10月1日的销售情况如下表：
盘容量
1 2 4 8 16
销售数量
5 6 3
（只
(1)由于不小心，表中销售数量中， 和 销售数量被污染，但知道 的销售数量比
的销售数量的2倍少2只，且5种 盘的销售总量是30只．求 和 的销售数量．
(2)若移动 盘的容量每增加 ，其销售单价增加10元，已知2020年10月1日当天销售
这五种 盘的营业额是2730元，求容量为 的移动 盘的销售单价是多少元？
7．若m是一个两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的
“邻居数”为“最佳邻居数”，m的“最佳邻居数”记作n，令 ；
若m为一个三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依次类推．
例如：50的“邻居数”为44与55， ， ，
∵ ，∴55为50的“最佳邻居数”，∴ ，
再如：492的“邻居数”为444和555， ， ，
∵ ，∴444是492的“最佳邻居数”．
(1)求 和 的值；
(2)若p为一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，且 ．求p
的值．
8．为纪念一二·九运动86周年，我校组织八年级学生远赴新密参观豫西抗日纪念馆，学校负责人前去联系车辆，目前有甲、乙两种类型的客车供学校租用，据了解：3辆甲型客车
与4辆乙型客车的总载客量为276人，2辆甲型客车与3辆乙型客车的总载客量为199人．
(1)请帮算一算：1辆甲型客车与1辆乙型客车的载客量分别是多少人？
(2)我校八年级学生共850人，拟租用甲、乙两型客车共20辆，一次将全部师生送到指定地
点．若每辆甲型客车的租金为800元，每辆乙型客车的租金为1000元，请给出最节省费用
的租车方案，并求出最低费用．
9．如图，长方形ABCD中放置了9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图），求图中
阴影部分的面积．
10．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一
户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理
费用）
污水处理价格 每户每月用水量
自来水销售价格
（单价：元/吨） （单价：元/吨）
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过
b 0.80
30吨的部分
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
(1)求a，b的值．
(2)6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
(3)若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？
11．一艘轮船在相距120千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小
时，从乙地到甲地逆流航行用10小时．（请列方程或方程组解答）
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用
的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？12．如图，已知点A、点B在数轴上表示的数分别是-20、64，动点M从点A出发，以每秒
若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点N从点B出发，以每秒若干个单位长度的速度
向左匀速运动．若点M、N同时出发，则出发后12秒相遇；若点N先出发7秒，则点M出
发10秒后与点N相遇．动点M、N运动的速度分别是多少？
