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专题08推理能力课之全等辅助线综合压轴题专练（原卷
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在 中， ，点 ，分别以点B和点C为圆心，
大于 的长为半径作弧，两弧交于E，F两点，作直线 ，交 于点H，交
于点G．若 ，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 和 中， ， ，
，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点．把 绕点 在平面
自由旋转，则 的面积不可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题
3．如图，四边形 中， ， ， ，则 的
面积为______．
14．在 中， ，点 在 边上， ．若
，则 的长为__________．
5．如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，点 在 轴上运动，以
为边作等腰 ， （点 ， ， 呈顺时针排列），当点 在 轴
上运动时，点 也随之运动．在点 的运动过程中， 的最小值为______．
三、解答题
6．如图，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 于
点 ， 于点 ．
2（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：① ；②
；
（2）当直线 绕点 旋转到如图2所示的位置时，求证： ；
（3）当直线 绕点 旋转到如图3所示的位置时，试问 ， ， 具有怎样的
数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．
7．有如下一道作业题：
如图1，四边形ABCD是正方形，以C为直角顶点作等腰直角三角形CEF，DF．
求证：△BCE≌△DCF．
（1）请你完成这道题的证明：
（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接
FC．
①求证：∠BFC＝45°．
②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．
8．在 中，直线 经过点 ， 于 ， 于 ，
3于 ．请解答下列问题：
（1）如图①，求证： ；（提示：过点 作 于 ）
（2）如图②、图③，线段 ， ， 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若 ， ， ，则 ______．
9．如图，正方形 中， 是 的中点， 交 外角的平分线于 ．
（1）求证： ；
（2）如图，当 是 上任意一点，而其它条件不变， 是否仍然成立？若成
立，请证明，若不成立，请说明理由．
10．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆
4时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于
点F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
11．把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆
时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是 ，AE与BC的位置关系是 ．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
12．如图1，在等腰 中， ， ，点 是线段 的中点，将线
段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）如图2，若 ，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段 和 之间
的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）
（2）如图3，若 ，其他条件不变，探究线段 、 和 之间的等量关系，
并说明理由．
5（3）如图4，若 ，其他条件不变，探究线段 、 和 之间的等量关系为
______．
13．[问题背景]（1）如图1， 是等腰直角三角形， ，直线 过点 ，
， ，垂足分别为 ， ．求证： ；
[尝试应用]（2）如图2， ， ， ， ， 三点共线， ，
， ， ．求 的长；
[拓展创新]（3）如图3，在 中， ，点 ， 分别在 ， 上，
， ，若 ，直接写出 的值为 ．
14．在菱形 中， ，点 是射线 上一动点，以 为边向右侧作等
边 ．
（1）如图1，当点 在菱形 内部或边上时，连接 与 的数量关系是
______， 与 的位置关系是________；
（2）当点 在菱形 外部时（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；
若不成立，请说明理由．（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，若 ，求四
边形 的面积．
615．如图1，在等腰直角三角形 中， ．点 ， 分别为 ， 的
中点， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时针方向旋
转 得到 ，连接 ， ．
（1）证明： ；
（2）如图2，连接 ， ， 交 于点 ．
①证明：在点 的运动过程中，总有 ；
②若 ，当 的长度为多少时， 为等腰三角形？
16．（1）如图，在正方形 中， 、 分别是 ， 上的点，且 ．
直接写出 、 、 之间的数量关系；
（2）如图，在四边形 中， ， ， 、 分别是 ，
上的点，且 ，求证： ；
7（3）如图，在四边形 中， ， ，延长 到点 ，延长
到点 ，使得 ，则结论 是否仍然成立？若成立，请证
明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．
17．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等
边△APE．
（1）如图1，当点P在线段BD上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________；
CE与AD的位置关系是________；
（2）当点P在线段BD的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以
证明，若不成立，请说明理由、（请结合图2的情况予以证明或说理．）
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若AB＝2，BE＝ ，求四边形ADPE的
面积．
18．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD
8＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．
（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度；
（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求
△CEF的面积；
（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在
BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明
你的猜想．
19．综合与实践问题情境：一次数学课上，老师出示了课本中的一道复习题：如图，
和 都是等边三角形， 、 分别是 、 上的点，且 ，连接
、 ．
9初步探究：
（1）试判断 与 的数量关系，并说明理由；
（2）求证：四边形 是平行四边形；
深入探究：
（3）如图2，四边形 和四边形 都是正方形， 、 分别是 、 上
的点，且 ，连接 、 ，试判断四边形 的形状，并说明理由；
拓展延伸：
（4）如图3，四边形 和四边形 都是菱形， ，
， 是 上一点，连接 、 ，延长 交 于 ，若四边形
是平行四边形，请直接写出 的长．
20．如图1，已知一次函数 的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点
B，且 的面积是24，P是线段 上一动点．
10（1）求k值；
（2）如图1，将 沿 翻折得到 ，当点 正好落在直线 上时，
①求点 的坐标；
②将直线 绕点P顺时针旋转 得到直线 ，求直线 的表达式；
（3）如图2，上题②中的直线 与线段 相交于点M，将 沿着射线 向上
平移，平移后对应的三角形为 ，当 是以 为直角边的直角三角形时，
请直接写出点 的坐标．
21．对于平面直角坐标系 中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺
时针旋转 得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中
点D为点C关于点P的“垂直图形”．
（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．
①若点A的坐标为 ，则点B的坐标为_______；
②若点B的坐标为 ，则点A的坐标为_______．
（2） ．线段 关于点G的“垂直图形”记为 ，点E的
对应点为 ，点F的对应点为 ．
①求点 的坐标（用含a的式子表示）；
②若 的半径为 ， 上任意一点都在 内部或圆上，直接写出满足条件的
的长度的最大值．
1122．已知 中， ， ，点 为直线 上的一动点（点 不
与点 、 重合），以 为边作 ， ，连接 ．
（1）发现问题：如图①，当点 在边 上时，
①请写出 和 之间的数量关系________，位置关系________；
②线段 、 、 之间的关系是_________；
（2）尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、
、 之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，若 ，
，则线段 的长为________．
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