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第 17 章 勾股定理(A 卷·知识通关练)
核心知识1 勾股定理
1．(2022秋•南关区校级期末)如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积
为( )
A．7 B．5 C．25 D．1
【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，
∴正方形C的面积＝3+4＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方是解答此题的关键．
2．(2022秋•成县期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BD＝4，CD＝2，则AD的长
度是( )
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】设AD＝a，根据题意，得出AB＝a+2，在Rt△ABD中，根据AB2＝AD2+BD2，列出方程，解方程
即可求解．
【解答】解：设AD＝a，∵AB＝AC，CD＝2，
∴AB＝AC＝AD+DC＝a+2，
∵BD是AC边上的高，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
即(a+2)2＝a2+42，
解得a＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
3．(2022秋•石景山区期末)在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2√13，则底边上的高为( )
A．12 B．2√3 C．3√2 D．18
1
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质得出BD＝CD= BC=√13，再根据勾股定理
2
求出AD的长即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
1
∴BD＝CD= BC=√13，
2
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD=√AB2-BD2=√52-(√13) 2=2√3，
即底边上的高为2√3，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB=13cm，BC=5cm，则△BCD的周长为( )
A．18cm B．17cm C．11.5cm D．11cm
【分析】由勾股定理得AC=12，再由垂直平分线的性质得BD=AD，从而得出答案．
【解答】解：∵∠C=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2-BC2=√132-52=12cm，
∵斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，
∴BD=AD，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+DA=BC+AC=5＋12=17cm .
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是
解题的关键．
5．(2021秋•沈北新区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：(1)CD的长；
(2)BD的长．
【分析】(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的长，再根据等面积法即可求出CD的长；
(2)直接由勾股定理求解即可．
【解答】解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB=√AC2+BC2=√202+152=25，
∵CD⊥AB，
1 1
∴s = AB⋅CD= AC⋅BC，
△ABC 2 2
AC⋅BC 20×15
∴CD= = =12；
AB 25
(2)在Rt△BDC中，由勾股定理得，BD=√BC2-CD2=√152-122=9．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
核心知识2 勾股定理的证明
1．(2022秋•南岸区校级期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理
的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(
)
A． B．
C． D．
【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积
表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+(b﹣a)2＝a2+b2，
2
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：(a+b)2；
1
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c2＝2ab+c2，
2
∴(a+b)2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
1 1
C、梯形的面积为： (a+b)(a+b)= (a2+b2)+ab；
2 2
1 1 1
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+ c2＝ab+ c2，
2 2 21 1
∴ab+ c2= (a2+b2)+ab，
2 2
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：(a+b)2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴(a+b)2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．
2．(2022秋•蒲江县校级期中)如图所示的正方形图案是用 4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形
ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列
三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出x与y的关系式，依次判断所给关
系式即可．
【解答】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，
∴x2+y2＝斜边2＝大正方形的面积＝25，
故①正确；
∵小正方形的边长为1，
∴x﹣y＝1，
故②正确；
∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
∴1+2xy＝25，
∴xy＝12，
故③正确；
∵(x+y)2＝x2+2xy+y2＝25+24＝49，x，y＞0，∴x+y＝7，
故④不正确．
综上可得①②③正确．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握正方形的性质及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面
积关系判断x与y的关系是解答本题的关键．
3．(2022秋•莲都区期中)如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S ，S ，S ，若EF＝4，则S +S +S 的值是(
1 2 3 1 2 3
)
A．32 B．80 C．38 D．48
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG
＝KF，再根据S ＝(CG+DG)2，S ＝GF2，S ＝(KF﹣NF)2，S +S +S ＝3EF2，求出EF2的值即可．
1 2 3 1 2 3
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKJ是正方形，
∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，
∴S ＝(CG+DG)2
1
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S ＝GF2＝EF2，
2
S ＝(KF﹣NF)2＝KF2+NF2﹣2KF•NF，
3
∴S +S +S ＝GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF＝3GF2＝3EF2＝48，
1 2 3
故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根
据已知得出3GF2＝144是解决问题的关键．
4．(2022秋•西安期中)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所
示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
【分析】在直角△BCD中，已知BC，CD，根据勾股定理即可计算BD的长，即可计算风车的外围周长．
【解答】解：如图：
∵BC＝7，AD＝AC＝12，
∴CD＝AC+AD＝24，
在直角△BCD中，BD为斜边，
∴BD=√BC2+CD2=√72+242=25，∵BD+AD＝25+12＝37，
∴风车的外围周长为4×37＝148．
故答案为 148．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中正
确的计算BD是解题的关键．
核心知识3 勾股定理在实际生活中的应用
1．(2022秋•绿园区校级期末)如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行( )
A．6m B．8m C．10m D．18m
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运
用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6(m)，间距为8米，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=√82+62=10(m)．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行
求解．
2．(2022秋•桥西区校级月考)新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测
温仪，离地AB＝2.1米(如图所示)，一个身高1.6米的学生(CD＝1.6米)正对门缓慢走到离门1.2米的地
方时(BC＝1.2米)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于 ．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，由勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.1米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.1﹣1.6＝0.5(米)．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=√AE2+DE2=√0．52+1．22=1.3(米)，
即人头顶离测温仪的距离AD等于1.3米，
故答案为：1.3米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得
线段AD的长度．
3．(2021秋•青冈县期末)在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到
水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程解答即可．
【解答】解：若设湖水的深度x尺．则荷花的长是(x+0.5)米．在直角三角形中，根据勾股定理，得：(x+0.5)2＝x2+22，
解之得：x＝3.75，
∴湖水的深度为3.75尺．
故答案为：3.75．
【点评】考查了勾股定理的应用，能够从实际问题中抽象出数学模型是解决此题的关键．熟练运用勾股
定理列方程求解．
4．(2022秋•莱西市期末)在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开
始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多
少m？(结果保留根号)
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计
算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB=√132-52=12(m)，
∵此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣0.5×10＝8(m)，
∴AD=√CD2-AC2=√64-25=√39(m)，
∴BD=AB-AD=(12-√39)(m)．
答：船向岸边移动了(12-√39)m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确
的示意图．领会数形结合的思想的应用．
5．(2022秋•崂山区校级期末)如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处
进行爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，
且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否
有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【分析】过C作CD⊥AB于D．根据BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝
1 1
500米．利用S = AB•CD= BC•AC得到CD＝240米．再根据240米＜250米可以判断有危险．
△ABC 2 2
【解答】解：公路AB需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
因为BC＝400米，AC＝300米，∠ACB＝90°，
所以根据勾股定理有AB＝500米．
1 1
因为S = AB•CD= BC•AC
△ABC 2 2
BC⋅AC 400×300
所以CD= = =240(米)．
AB 500
由于240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理．
核心知识4 利用勾股定理作图与计算
1．(2021秋•莱州市期末)如图，O点为数轴原点，A点对应3，OB⊥OA，连接AB，AB＝4．以O为圆心，
OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数为 ．
【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【解答】解：∵在Rt△AOB中，OA＝3，AB＝4，
∴OB=√42-32=√7．
∵以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，
∴OC＝OB=√7，
∴点C表示的实数是√7．
故答案为：√7．
【点评】本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是
解答此题的关键．
2．(2022秋•南京期末)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，且点A表示的数为﹣1，若
以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ．
【分析】先利用勾股定理求出AC，根据AC＝AM，求出OM，由此即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3，AD＝BC＝1，
∴AC=√AB2+BC2=√32+12=√10，
∵AM＝AC=√10，OA＝1，
∴OM＝AM﹣OA=√10-1，
∴点M表示点数为√10-1．
故答案为：√10-1．
【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长．
3．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与
正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
(1)点B表示的数为 ；得出的结论是： 与数轴上的点是一一对应的．
(2)若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数√5，3和﹣π对应起来，则点A表示的实数为
，点C表示的实数为 ，点D表示的实数为 ．【分析】(1)先根据勾股定理可得OB表示的长度，然后根据实数与数轴的关系即可得出结果；
(2)根据数轴确定三个点表示的大小关系，然后比较三个数据即可得出结论．
【解答】解：(1)应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：√2，
OB为圆的半径，则OB=√2，所以数轴上的点B表示的数为：√2，它是无理数．
得出的结论是实数与数轴上的点是一一对应的；
故答案为：√2，实数；
(2)根据数轴可得A表示负数，C和D表示正数，且D表示的数大于C表示的数，
∴A表示﹣π，C表示的数是√5，D表示的数是3．
故答案为：﹣π，√5，3．
【点评】此题考查了实数与数轴，关键是熟练掌握实数在数轴上的点的特征．
4．(2021秋•安溪县期末)如图，在4×4方格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)在图1中，正方形ABCD的面积S正方形ABCD ＝ ．边长AB＝ ；
(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为10的格点正方形(四个顶点都在方格的顶点上)，并用圆规在数轴
上表示实数√10．
【分析】(1)结合网格和利用勾股定理即可算出正方形ABCD的边长；
(2)画出边长为3和1的长方形的对角线，对角线长就是√10，再画一个边长为√10的正方形即可．
【解答】解：(1)AB=√22+12=√5，则正方形ABCD的面积＝5；
故答案为：5；√5；
(2)如图所示：．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角
形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
(1)拼成的正方形的面积为 ，边长为 ；
(2)如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的一 1点为圆心，直角三角形
的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ；
(3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是
．
【分析】(1)设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；
(2)根据勾股定理计算，并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；
(3)根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．
【解答】解：(1)设拼成的正方形的边长为a，
则a2＝5，
a=√5，
即拼成的正方形的边长为√5，
故答案为：5，√5；
(2)由勾股定理得：√12+22=√5，
∴点A表示的数为√5-1，
故答案为：√5-1；1 1
(3)根据图形得：S阴影 ＝2×2×2×
2
+ 2×2×
2
= 4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为√6．
故答案为：√6．
【点评】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
核心知识5 勾股定理的逆定理及其应用
1．(2022秋•绿园区校级期末)木工师傅想利用木条(单位都为：米)制作一个直角三角形的工具，那么下列
各组数据不符合直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+22≠32，
∴不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵72+242＝252，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，判断三个数能否组成直角三角形的条件是看是否符合勾股定理的
逆定理，即a2+b2＝c2．
2．(2022秋•南京期末)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB=√41，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、设AB＝3x，则BC＝4x，AC＝5x，
∵(3x)2+(4x)2＝(5x)2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵42+52＝(√41)2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝40°，∠B＝50°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是
解此题的关键．
3．(2021秋•金山区期末)以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是( )
A．3k，4k，5k(k＞0) B．32，42，52
1 1 1
C． ， ， D．√3，√4，√5
3 4 5
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直
角三角形判定即可．
【解答】解：A、(3k)2+(4k)2＝(5k)2，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
1 1 1
C、( )2+( )2≠( )2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
4 5 3
D、(√3)2+(√4)2≠(√5)2，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．(2022秋•高新区校级月考)如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
(1)判断∠D是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形ABCD的面积．
【分析】(1)连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；
(2)根据S四边形ABCD ＝S
△ABC
+S
△ADC
即可得出结论．【解答】(1)解：∠D是直角．
理由：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，
∵DA2+CD2＝242+72＝625，
∴AC2＝DA2+DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；
(2)解：∵S四边形ABCD ＝S
△ABC
+S
△ADC
，
1 1
∴S四边形ABCD =
2
AB•BC +
2
AD•CD，
1 1
= ×20×15+ ×24×7，
2 2
＝234．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．(2022秋•龙口市期中)如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足
为E，求△BDE的周长．
【分析】先根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用角平分线的性质得到ED＝CD，那
么BD+ED＝BD+CD＝BC＝12，进而求得△BDE的周长．
【解答】解：在△ABC中，因为AC＝5，BC＝12，AB＝13，
所以AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，所以AC2+BC2＝AB2，
所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，
所以ED＝CD，
所以BD+ED＝BD+CD＝BC＝12．
在Rt△ADE和△Rt△ADC中，
{AD=AD
，
DE=DC
∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，
所以AE＝AC＝5，
所以BE＝AB﹣AE＝13﹣5＝8，
所以△BDE的周长＝BE+BD+ED＝8+12＝20．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角
形就是直角三角形．也考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
核心知识6 勾股数
1．(2021秋•张家川县期末)在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，√2，√3
【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B、∵32+42＝52，
∴3、4、5是勾股数；
C、22+82≠102，
∴2，8，10不是勾股数；
D、12+(√2)2＝(√3)2，√2，√3均不是整数，
∴1，√2，√3不是勾股数；
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
2．(2021秋•绥德县期末)若3，4，a是一组勾股数，则a的值为( )
A．√7 B．5 C．√7或5 D．6【分析】分a为最长边，4为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，和勾股定理的逆定理作答即可．
【解答】解：当a为最长边时，a=√32+42=5，三边是整数，能构成勾股数，符合题意；
当4为最长边时，a=√42-32=√7，不是正整数，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足
a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．
3．(2022春•广西月考)下列各组数是勾股数的是( )
A．a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5 B．a＝2，b＝2，c＝2√2
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝5，b＝12，c＝13
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数判定则可．
【解答】解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、2√2不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、52+42≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数；
②两个较小数的平方和等于最大数的平方．
4．(2022秋•招远市期中)在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它
们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．100 B．200 C．240 D．360
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出b、c的值，再求出答案即可．
【解答】解：从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即20＝2×(8+2)，
b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝20时，b＝102﹣1＝99，
c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝20时，c＝102+1＝101，
所以当a＝20时，b+c＝99+101＝200．
故选：B．【点评】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出b＝(n+2)2﹣1，c＝(n+2)2+1是解此题的关键．
5．(2022•石家庄三模)已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
(1)当n＝1999时，写出整式A+B的值 (用科学记数法表示结果)；
(2)求整式A2﹣B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
【分析】(1)根据题意可得，A+B＝(n2+1+2n)＝(n+1)2，把n＝1999代入计算应用科学记数法表示方法进行
计算即可得出答案；
(2)把A＝n2+1，B＝2n，代入A2﹣B2中，可得(n2+1)2﹣(2n)2，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计
算即可得出答案；
(3)先计算B2+C2＝(2n)2+(n2﹣1)2，计算可得(n2+1)2，应用勾股定理的逆定理即可得出答案．
【解答】解：(1)A+B＝(n2+1+2n)＝(n+1)2，
当n＝1999时，
原式＝(1999+1)2
＝20002
＝4×106；
故答案为：4×106；
(2)A2﹣B2＝(n2+1)2﹣(2n)2
＝(n2)2+2n2+1﹣4n2
＝(n2)2﹣2n2+1
＝(n2﹣1)2；
(3)嘉淇的发现正确，理由如下：
∵B2+C2＝(2n)2+(n2﹣1)2
＝4n2+(n2)2﹣2n2+1
＝(n2+1)2，
∴B2+C2＝A2，
∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．
【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的
计算方法进行求解是解决本题的关键．
核心知识7 原命题、逆命题
1．(2021秋•南关区期末)下列说法，正确的是( )A．每个定理都有逆定理
B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题
D．假命题的逆命题都是假命题
【分析】根据命题，逆命题，真命题，假命题之间的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误；
B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确；
D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真
假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．(2021秋•信都区月考)下列定理中，没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两锐角互余
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆
定理．
【解答】解：A、直角三角形两锐角互余逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；
B、同位角相等，两直线平行逆定理是两直线平行，同位角相等；
C、对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，逆命题是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补逆定理是同旁内角互补，两直线平行；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，关键是写出四个选项的逆命题，然后再判断真假．
3．(2022秋•夏津县校级月考)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
【分析】写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可．【解答】解：命题“两个全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”
逆命题是假命题，故A不符合题意；
命题“若一个三角形的两个内角分别为 30°和60°，则这个三角形是直角三角形”的逆命题是“一个三角
形是直角三角形，则它的两个内角分别为30°和60°”，逆命题是假命题，故B不符合题意；
命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，逆命题是假命题，故C
不符合题意；
命题“如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数”的逆命题是“如果一个数是无理数，那么
它是无限不循环小数”，逆命题是真命题，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是能写出每个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假．
4．(2022春•清镇市期中)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．如果a＝0，那么ab＝0
B．两个全等三角形的面积相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形
D．如果a＞b，那么a2＞b2
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据等腰三角形的概念、全等三角形的判定定理、实数的性质判
断即可．
【解答】解：A、如果a＝0，那么ab＝0的逆命题是如果ab＝0，那么a＝0，是假命题；
B、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形全等，是假命题；
C、有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形的两腰相等，是真命题；
D、如果a＞b，那么a2＞b2的逆命题是如果a2＞b2，那么a＞b，是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．(2021秋•鼓楼区校级期末)下列定理中逆命题是假命题的是( )
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，再根据对顶角的概念、平行线的性质、勾股定理的逆定理、等角对
等边判断即可．【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，符合题意；
B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意；
C、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是一个三角形两边的平方和等于第三边的平
方，这个三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；
D、在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等的逆命题是在一个三角形中如果两角相等那么
它们所对的边也相等，是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个
命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命
题称为另一个命题的逆命题．
核心知识8 利用勾股定理解决折叠问题
1．(2021•西城区校级模拟)如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与
BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )
A．8 B．6 C．4 D．10
【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，
根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD＝6，
在Rt△NBD中，x2+62＝(18﹣x)2，
解得x＝8．
即BN＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较
强．2．(2022•平果市模拟)如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接
AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为( )
3√3 √3 5
A． B．4 C． D．
2 2 2
【分析】先证△ACD是等边三角形，可得∠ADC＝60°，由折叠的性质可得∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝
ED＝3，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于N，
∵BC＝8，BD＝3，
∴CD＝5，
∵AC＝5，
∴AC＝DC，
又∵∠ACB＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，
∴∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝ED＝3，
∴∠EDC＝60°，
∵EN⊥BC，
∴∠DEN＝30°，1 3 3√3
∴DN= DE= ，NE=√3DN= ，
2 2 2
3√3
∴点E到直线DC的距离为 ，
2
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决
问题是解题的关键．
3．(2022秋•胶州市校级月考)如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点
D'处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．20 C．16 D．40
【分析】利用AAS证明△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设AF＝x，则D′F＝BF＝16﹣x，则在Rt△AFD′中，
根据勾股定理求x，可得AF＝AB﹣BF，因为BC为AF边上的高，所以可求△AFC的面积．
【解答】解：由题意可得，
BC＝D′A，∠D′＝∠B＝90°，
在△AD′F和△CBF中，
{∠AFD'=∠CFB
∠AD'F=∠CBF，
AD'=CB
∴△AD′F≌△CBF(AAS)，
∴D′F＝BF，
设AF＝x，则D′F＝BF＝16﹣x，
∵BC＝D′A＝8，∠AD′F＝90°，
∴x2＝82+(16﹣x)2，
解得x＝10，
∴AF＝10，1 1
∴重叠部分△AFC的面积= ×AF•BC= ×10×8＝40，
2 2
故选：D．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用、矩形的性质、三角形面积，求出 AF的
长是解题的关键．
核心知识9 勾股定理中的规律性问题
1．(2021春•八步区期末)如图，△OA A 是等腰直角三角形，OA ＝1，以斜边OA 为直角边作等腰直角三
1 2 1 2
角形OA A ，再以OA 为直角边作等腰直角三角形OA A ，…，按此规律作下去，则OA 的长为(
2 3 3 3 4 2021
)
√2 √2
A．(√2) 2021 B．(√2) 2020 C．( ) 2021 D．( ) 2020
2 2
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【解答】解：∵△OA A 为等腰直角三角形，OA ＝1，
1 2 1
∴OA =√2，
2
∵△OA A 为等腰直角三角形，
2 3
∴OA ＝2＝(√2)2；
3
∵△OA A 为等腰直角三角形，
3 4
∴OA ＝2√2=(√2)3．
4
∵△OA A 为等腰直角三角形，
4 5
∴OA ＝4＝(√2)4，
5
……
∴OA 的长为(√2)2021﹣1＝(√2)2020，
2021
故选：B．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及等腰直角三角形的性质等知识；熟练应用勾股定理，得出规律是
解题的关键．2．(2022春•恩施市期末)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以CD为斜边作等腰直角三
1
角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…，按照此规律继续
2
下去，则S 的值为 ．
2022
【分析】根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分S 、S 、S 、S 的值，
1 2 3 4
1
根据面积的变化即可找出变化规律“S ＝4×( )n﹣1，依此规律即可解决问题．
n 2
【解答】解：如图所示，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，∠CED＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2，
√2
∴DE= CD，
2
√2
即等腰直角三角形的直角边为斜边的 倍，
2
1
∴S ＝22＝4＝4×( )0，
1 2
√2 1
S ＝(2× )2＝2＝4×( )1，
2 2 2
√2 1
S ＝(√2× )2＝1＝4×( )2，
3 2 2
√2 1 1
S ＝(1× )2= = 4×( )3，
4 2 2 2
…，1
∴S ＝4×( )n﹣1，
n 2
1 1
∴S ＝4×( )2021＝( )2019．
2022 2 2
1
故答案为：( )2019．
2
【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根
1
据面积的变化找出变化规律“S ＝4×( )n﹣1是解题的关键．
n 2
3．(2022秋•任城区期中)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础
上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是
．
【分析】根据每次增加的个数，得出变化的规律，依次写出图(5)和图(6)的正方形的个数即可得出答案．
【解答】解：∵由图(1)到图(2)增加了4个正方形，4＝22，
由图(2)到图(3)增加了8个正方形，8＝23，
∴按此规律，由图(3)到图(4)增加了24个正方形，
由图(4)到图(5)增加了25个正方形，
由图(5)到图(6)增加了26个正方形，
∵26＝64，
故答案为：64．
【点评】本题主要考查勾股定理和图形的变化规律，关键是要能根据每次正方形增加的个数得出变化规
律．
4．(2022秋•温江区校级期中)细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：√1
OA
2
2＝(√1)2+1＝2，S
1
=
2
(S
1
是Rt△OA
1
A
2
的面积)；
√2
OA
3
2＝(√2)2+1＝3，S
2
=
2
(S
2
是Rt△OA
2
A
3
的面积)；
√3
OA
4
2＝(√3)2+1＝4，S
3
=
2
(S
3
是Rt△OA
3
A
4
的面积)；
……
(1)请用含有n(n为正整数)的式子填空：OA 2＝ ，S ＝ ；
n n
1 1 1 1
(2)求 + + + ... + 的值．
S +S S +S S +S S +S
1 2 2 3 3 4 9 10
【分析】(1)认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．
(2)化简整理后代入求值．
√n
【解答】解：(1)由已知条件可知OA 2＝n，S = ；
n n 2
√n
故答案为：n； ；
2
1 1 1
= + +⋯+
(2)原式 √1 √2 √2 √3 √9 √10，
+ + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
= + +⋯+
√1+√2 √2+√3 √9+√10
√2-√1 √3-√2 √10-√9
＝2×[ + +⋯+ ]
(√2+√1)(√2-√1) (√3+√2)(√3-√2) (√10+√9)(√10-√9)
＝2×[√2-√1+√3-√2+⋯+√10-√9)
＝2×(√10-1)
＝2√10-2．
【点评】此题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定
义和有关二次根式的化简运算．5．细心观察所给图形，认真分析各式，然后回答问题：
√1 √2 √3
1+(√1)2＝2，S = ；1+(√2)2＝3，S = ；1+(√3)2＝4，S = ；…
1 2 2 2 3 2
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
20
(3)求出S2 +S2 +S2 +…+S2 的值．
1 2 3 2018
【分析】(1)根据题目中给出的式子，可以用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)根据图形和题目中的式子，可以写出OA 的的前几项，然后即可发现规律，从而可以写出OA 的长；
n 20
(3)根据题目中S的值，可以计算出所求式子的值．
【解答】解：(1)由题意可得，
√n
1+(√n)2＝n+1，S = ；
n 2
(2)由图可得，
OA ＝1，
1
OA =√12+12=√2，
2
OA
3
=√12+(√2) 2=√3，
OA
1
=√12+(√3) 2=√4，
…，
则OA =√20=2√5；
20
(3)S2 +S2 +S2 +…+S2
1 2 3 2018
√1 √2 √3 √2018
＝( )2+( )2+( )2+…+( )2
2 2 2 2
1 2 3 2018
= + + +⋯+
4 4 4 41+2+3+⋯+2018
=
4
2018×(1+2018)
2
=
4
2037171
= ．
4
【点评】本题考查勾股定理、图形的变化类，解答本题的关键是发现图形中 OA 的变化规律，利用数形
n
结合的思想解答．
核心知识10 利用勾股定理解决最短路径问题
1．(2021秋•福田区校级期末)如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯
子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 m．
【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即
可．
【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：
则AC＝底面周长＝24m，BC＝10m，
在Rt△ABC中，AB=√242+102=26(m)，
故答案为：26．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短
和勾股定理是常用求解方法．
2．(2021秋•河口区期末)如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁
虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：
∵高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.6m，BD＝0.8m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
√ 6 8
A′B=√A'D2+BD2=
( )
2+(
)
2
10 10
＝1(m)．
故答案为：1m．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是
解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3．(2021春•丰南区期中)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁
如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．5√29 B．5√37 C．10√5+5 D．25
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之
间线段最短解答．
【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15，AD＝20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB=√BD2+AD2=√152+202=25；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC＝CD+AD＝20+10＝30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=√302+52=5√37；
∵25＜5√29＜5√37，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：D．【点评】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
4．(2021春•西城区校级期末)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛
藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，
因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
(2)若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
【分析】(1)根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可；
(2)在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：(1)如图所示，在Rt△ABC中，
BC＝20，AC＝5×3＝15，
∴AB=√AC2+BC2=√152+202=25(尺)，
答：葛藤长为25尺，
故答案为：25；
(2)在Rt△ABC中，
BC＝20，AC＝3n，
∴AB=√AC2+BC2=√(3n) 2+202=√9n2+400(尺)，答：葛藤长为√9n2+400尺，
故答案为：√9n2+400．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解决问
题的关键．
5.(2021秋•锡山区期中)在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，
宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点 A处，
沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长
是 分米．
【分析】根据题意把图形的侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：情形1：平面展开图所示，
AB=√(1+2+6+2+1) 2+52=13(分米)．
情形2：平面展开图如图所示：AB=√102+72=√149(分米)，
∵√149＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是√149分米．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后
再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．
核心知识11 勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用
1．(2022秋•宁德期中)如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，求BD
的长．
【分析】首先利用勾股定理逆定理判断△ACD是直角三角形，∠ADB＝90°，然后再利用勾股定理计算
BD长即可．
【解答】解：∵AC＝13，AD＝12，DC＝5，且52+122＝169＝132，
∴DC2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝20，AD＝12，
∴BD=√AB2-AD2=√202-122=16．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
2．(2022秋•玄武区校级期中)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、
E，且CB2＝AE2﹣CE2．
(1)求证：∠C＝90°；
(2)若AC＝4，BC＝3，求CE的长．
【分析】(1)连接BE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；
(2)设CE＝x，则AE＝BE＝4﹣x，在Rt△BCE中，根据BE2﹣CE2＝BC2列出方程计算即可求解．
【解答】(1)证明：连接BE，
∵AB边上的垂直平分线为DE，
∴AE＝BE，
∵CB2＝AE2﹣CE2，
∴CB2＝BE2﹣CE2，
∴CB2+CE2＝BE2，
∴∠C＝90°；
(2)解：设CE＝x，则AE＝BE，
在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，
∴(4﹣x)2﹣x2＝32，
7
解得：x= ，
8
7
∴CE的长为 ．
8【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用．
3．(2022秋•紫金县期中)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
(1)求AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
【分析】(1)根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，从而可得∠D＝90°，然后根据四边形ABCD的面
积＝△ADC的面积+△ABC的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：(1)∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝17，BC＝8，
∴AC=√AB2-BC2=√132-122=5，
∴AC的长为5；
(2)∵AD2+CD2＝42+32＝25，AC2＝52＝25，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积
1 1
= AD•CD+ AC•BC
2 2
1 1
= ×4×3+ ×12×5
2 2
＝6+30
＝36，
∴四边形ABCD的面积为36．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题
的关键．
4．(2022秋•绥德县期中)如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为 1．四边形ABCD的四个
点都在格点上．(1)求四边形ABCD的面积和周长；
(2)∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
1 1 1 1
【分析】(1)根据题意可得四边形ABCD的面积=4×5- ×2×1- ×5×1- ×2×4- ×(1+3)×1，
2 2 2 2
然后进行计算即可解答，再利用勾股定理求出AD，CD，AB，BC的长，从而求出四边形ABCD的周长；
(2)连接BD，利用勾股定理求出BD2，再根据勾股定理的逆定理进行计算，可证△BAD是直角三角形，即
可解答．
1 1 1 1
【解答】(1)解：四边形ABCD的面积=4×5- ×2×1- ×5×1- ×2×4- ×(1+3)×1
2 2 2 2
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴CD=√5，AD=√5，BC=√26，AB=√20=2√5，
∴四边形ABCD的周长=CD+AD+BC+AB=4√5+√26，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为4√5+√26；
(2)解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
核心知识12 利用勾股定理证明线段之间的关系问题
1．(2021秋•新泰市期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．则∠ABC＝
90°，请说明理由．
【分析】连接AC，根据垂直定义可得∠ADC＝90°，从而在Rt△ACD中，利用勾股定理可得AD2+CD2＝
AC2，从而可得AC2＝2AB2，然后根据已知AB＝BC，可得AC2＝AB2+BC2，从而可得△ABC是直角三角形，
即可解答．
【解答】解：连接AC，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵AD2+CD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
2．如图，在四边形ABFC中，AC2＝AB2+BC2，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2，连接EF．
(1)找出图中的所有直角三角形；
(2)求证：AB＝BC．【分析】(1)根据直角三角形的判定解答即可；
(2)根据边之间的关系解答即可．
【解答】解：(1)∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵CD⊥AD，
∴△ADC，△EDC，△EDF，△ABC，△ABE是直角三角形；
(2)∵AC2＝AB2+BC2，AD2＝2AB2﹣CD2，
∵△ADC是直角三角形，
∴AC2＝AD2+DC2，
∴AB2+BC2＝AD2+DC2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣DC2+DC2
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据直角三角形的判定解答．
3．(2022秋•芗城区校级期中)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到
点E，使得CE＝DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接 AE，交 BD 的延长线于点 H，连接 CH，依题意补全图 2．若 AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝
AH2+BH2．【分析】(1)证明△BCD≌△FCE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出
结论；
(2)由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由(1)可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF
＝90°，得出∠AHB＝90°，由勾股定理可得出结论．
【解答】证明：(1)在△BCD和△FCE中，
{
BC=CF
∠BCD=∠FCE，
CD=CE
∴△BCD≌△FCE(SAS)，
∴∠DBC＝∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
(2)由题意补全图形如下：
延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC＝CF，
∴AB＝AF，
由(1)可知BD∥EF，BD＝EF，
∵AB2＝AE2+BD2，
∴AF2＝AE2+EF2，
∴∠AEF＝90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠AHB＝90°，
∴AB2＝AH2+BH2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆
定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
核心知识13 利用勾股定理解决动点问题
1．(2022秋•姜堰区期中)如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2
个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，AE＝AF；
(2)当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．
【分析】(1)根据题意可得：BE＝2t，再根据线段中点的定义可得BF＝EF＝t，从而可得DF＝8﹣t，DE＝
2t﹣8，然后根据垂直定义可得∠ADB＝∠ADE＝90°，再分别在Rt△ADF和Rt△ADE中，利用勾股定理
可得AF2＝16+(8﹣t)2，AE2＝16+(2t﹣8)2，最后令AE＝AF，从而可得16+(8﹣t)2＝16+(2t﹣8)2，进行计算
即可解答；
(2)当t＝5时，BE＝2t＝10，DE＝2，然后分别在Rt△ADB和Rt△ADE中，利用勾股定理求出 AB2和
AE2，最后利用勾股定理的逆定理证明△ABE是直角三角形，即可解答．
【解答】解：(1)由题意得：
BE＝2t，
∵F为BE的中点，
1
∴BF＝EF= BE＝t，
2
∵AD＝4，BD＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝8﹣t，DE＝BE﹣BD＝2t﹣8，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
在Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝16+(8﹣t)2，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝16+(2t﹣8)2，
令AE＝AF，∴16+(8﹣t)2＝16+(2t﹣8)2，
16
解得：t= 或t＝0(舍去)，
3
16
∴当t= 时，AE＝AF；
3
(2)△ABE是直角三角形，
理由：当t＝5时，BE＝2t＝10，
∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，
在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2＝42+82＝80，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝42+22＝20，
∵AB2+AE2＝100，BE2＝102＝100，
∴AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题
的关键．
2．(2021秋•安溪县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，
以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长(用含t的代数式表示)；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．
【分析】(1)首先利用勾股定理求出AC，然后利用t表示AP，接着表示PC即可求解；
(2)根据已知条件可以得到CP＝CB，然后可以得到关于t的方程即可求解．
【解答】解：(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC=√AB2-BC2=8cm，
当点P在AC上，∴4t＝AB+AP，
∴AP＝4t﹣10，∴PC＝AC﹣AP＝8﹣(4t﹣10)＝(18﹣4t)cm；
(2)∵△BCP是以PB为底边的等腰三角形，
∴CP＝CB，
∴18﹣4t＝6，
∴t＝3．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰
三角形的判定与性质是解决问题的关键．
核心知识14 数形结合思想
1．(2022秋•兴庆区校级期末)阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P (x ，y )，P (x ，y )，它们之间的距离P P =√(x -x ) 2+(y - y ) 2．
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
(1)已知A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离．
(2)已知△DEF各顶点的坐标为D(1，6)，E(﹣2，2)，F(4，2)，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【分析】(1)根据两点距离公式进行计算便可；
(2)根据两点的距离公式求出各条线段的长度，再判定三角形的性质可求解．
【解答】解：(1)根据两点的距离公式得，AB=√(2+3) 2+(4+8) 2=13；
(2)△DEF为等腰三角形．
理由：∵D(1，6)，E(﹣2，2)，F(4，2)，∴DE=√(1+2) 2+(6-2) 2=5，
EF=√(4+2) 2+(2-2) 2=6，
DF=√(4-1) 2+(2-6) 2=5，
∴DE＝DF，
∴△DEF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了两点的距离公式及应用，关键是读懂题意，运用两点距离公式计算两点距离和
应用两点距离公式解决具体问题．
2．(2022秋•景德镇期中)阅读材料，回答下列问题：
在直角坐标系中，已知平面内 A(x ，y )、B(x ，y )两点坐标，则 A、B 两点之间的距离等于
1 1 2 2
√(x -x ) 2+(y - y ) 2．
2 1 2 1
例如：已知点P(3，1)，Q(1，﹣2)，则这两点间的距离PQ=√(3-1) 2+(1+2) 2=√13．
特别地，如果两点M(x ，y )、N(x ，y )所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么
1 1 2 2
这两点间的距离公式可简化为MN＝|x ﹣x |或|y ﹣y |．
1 2 1 2
(1)已知A(1，2)、B(﹣2，﹣3)，试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间
的距离；
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，4)、B(﹣1，2)、C(4，2)，你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．
【分析】(1)直接利用两点间的距离公式计算；
(2)由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
(3)先根据两点间的距离公式计算出AB、AC、BC，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【解答】解：(1)AB=√(1+2) 2+(2+3) 2=√34；
(2)AB＝5﹣(﹣1)＝6；
(3)△ABC为直角三角形．理由如下：
∵AB=√(0+1) 2+(4-2) 2=√5，AC=√(0-4) 2+(4-2) 2=2√5，BC=√(-1-4) 2+(2-2) 2=5，
∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．
3．(2021春•白云区校级月考)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，﹣1)、B(3，2)、C(1，﹣
2)．
(1)判断△ABC的形状，请说明理由．
(2)求△ABC的周长和面积．
(3)在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值为 √13 ．
【分析】(1)分别求出AB、AC、BC的长度，用勾股定理的逆定理判断；
(2)三边和即为周长，直角边乘积的一半即为面积；
(3)C关于x轴的对称点C′，连接AC′交x轴于P，AC′的长度即是AC+CP的最小值．
【解答】解(1)∵AB2＝32+42＝25，AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，
∴AC2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)∵AB2＝32+42＝25，AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20，
∴AB＝5，AC=√5，BC＝2√5，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝5+3√5，
1 1
△ABC的面积为 AC•BC= ×√5×2√5=5；
2 2
(3)作C关于x轴的对称点C′，连接AC′交x轴于P，如图：∵C关于x轴的对称点C′，
∴CP＝CP′，
AC+CP＝AC+CP′，
又两点之间线段最短，
∴AC+CP最小值即为线段AC′的长度，
而AC′=√22+32=√13，
∴AC+CP最小值是√13，
故答案为：√13．
【点评】本题考查勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握“将军饮马”模型．
4．(2021春•同安区校级月考)如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B
厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂E．
(1)设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想√x2+9+√(15-x) 2+25的最小值为多
少？
【分析】(1)依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；
(2)根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，
构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；
(3)根据AE+BE=√x2+9+√(15-x) 2+25可作出图形，当A、E、B共线时，利用勾股定理求出AB的值即
可．
【解答】解：(1)在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=√(8-x) 2+25，BE=√x2+1，∴AE+BE=√(8-x) 2+25+√x2+1，
(2)根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．
∴AF＝AC+CF＝6．
在Rt△ABF中，BA=√AF2+BF2=√62+82=10，
∴此时最少需要管道10km．
(3)根据以上推理，可作出下图，设ED＝x，BD＝3，CD＝15，AC＝5，当A、E、B共线时，求出AB的
值即为原式的最小值．
在Rt△ABF中，AF＝8，BF＝CD＝15，
由勾股定理可得：AB=√82+152=17，
∴√x2+9+√(15-x) 2+25的最小值为17．
【点评】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，
利用两点之间线段最短是解决问题的关键．
核心知识15 分类讨论思想1．(2022秋•雁塔区校级期中)若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为( )
A．13 B．119 C．169 D．119或169
【分析】由于直角三角形的斜边不能确定，故应分m为直角边与斜边两种情况进行讨论．
【解答】解：当m为直角边时，m2＝122﹣52＝119；
当m为斜边时，m2＝52+122＝169．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜
边长的平方是解答此题的关键．
2．(2022秋•宿州月考)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6√3，CD＝1，则BC的长
为( )
A．5 B．7 C．5或7 D．3√3+1
【分析】在Rt△ADB中，根据∠ABC＝60°，AD=6√3，求得BD＝6，然后分情况讨论即可求得BC的长．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ABC＝60°，AD=6√3，
6√3
∴BD= =6，
√3
如图，当点C在点D右边时，
BC＝BD+DC＝6+1＝7；
如图，当点C在点D左边时，
BC＝BD﹣CD＝6﹣1＝5，
故BC的长为：5或7．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形以及分类讨论，解题关键是正确画出分类讨论的三角形图形求解．3．(2022秋•新昌县校级期中)如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD
＝1．
(1)求AC与AB的长．
(2)点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．
【分析】(1)由勾股定理直接求得AC，设AB＝x，由勾股定理列出x的方程，便可求得AB；
(2)分三种情况：AP＝AD；AP＝DP；AD＝DP．分别进行解答便可．
【解答】解：(1)由勾股定理得，AC=√AD2+CD2=√32+12=√10，
设AB＝BC＝x，则BD＝x﹣1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，x2﹣(x﹣1)2＝32，
解得x＝5，
∴AB＝5；
(2)当AP＝AD＝3时，，△ADP为等腰三角形；
当AP＝DP时，如图，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵∠PAD+∠B＝90°，∠PDA+∠BDP＝90°，
∴∠PDB＝∠B，
∴PD＝PB＝PA，1
∴AP= AB＝2.5；
2
当AD＝DP＝3时，如图，过D作DE⊥AP于点E，
∴AE＝PE，
设AE＝PE＝x，则BE＝5﹣x，
∵AD2﹣AE2＝DE2＝BD2＝BE2，
即32﹣x2＝42﹣(5﹣x)2，
解得x＝1.8，
∴AP＝3.6．
综上，当AP＝2.5或3或3.6时，△ADP为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
4．(2022秋•南昌期中)如图，已知OA＝12，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°．
(1)当△AOP是等边三角形时，求OP的长；
(2)当△AOP是直角三角形时，求OP的长．
【分析】(1)根据等边三角形的性质可求解；
(2)可两种情况：当∠APO＝90°时，当∠OAP＝90°时，利用含30°的角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：(1)∵∠AON＝60°，△AOP为等边三角形，
∴OP＝OA＝12；
(2)当∠APO＝90°时，
∵∠AON＝60°，
∴∠OAP＝30°，∵OA＝12，
1
∴OP= OA＝6；
2
当∠OAP＝90°时，
∵∠AON＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝24，
，∴当OP＝6或24时，△AOP为直角三角形．
【点评】本题主要考查含30° 角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
5．(2022秋•浑南区月考)已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动
点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，
在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点
到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，
(1)线段AC＝ ；
(2)当t＝1秒时，求△BPQ的面积；
(3)当点AP＝CP时，CQ＝ ；
(4)若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．
【分析】(1)由勾股定理得出AC＝10；
(2)计算出BP和BQ的长，进而求得结果；
(3)设AP＝CP＝x，根据勾股定理列出方程x2﹣(8﹣x)2＝62求得x的值，得出运动的时间，进而求得CQ的
值；
(4)分为0＜t＜2时，BP+BQ＝10和BP+BQ＝14及2≤t≤4时，AP+AQ＝10或14，从而得出结果．
【解答】解：(1)∵∠B＝90°，
∴AC=√AB2+BC2=√82+62=10，故答案为：10；
(2)∵AP＝2t＝2，BQ＝3t＝3，
∴BP＝AB＝AP＝8﹣2＝6，
1 1
∴S = BP⋅BQ= ×6×3=9；
△BPQ 2 2
(3)设AP＝CP＝x，
在Rt△BCP中，由勾股定理得，
CP2﹣BP2＝BC2，
∴x2﹣(8﹣x)2＝62，
25
∴x= ，
4
25 25
∴t= ÷2= ＞2，
4 8
∴点Q在AC上，
25 45
∴CQ＝5×( -2)= ，
8 8
45
故答案为： ；
8
5
(4)(6+8+10)× =10，24﹣10＝14，
5+7
当0＜t＜2时，BP+BQ＝10时，
8﹣2t+3t＝10，
∴t＝2(舍去)，
当BP+BQ＝14时，
8﹣2t+3t＝14，
∴t＝6(舍去)，
当2≤t＜4时，
当AP+AQ＝10时，
2t+10﹣5(t﹣2)＝10，
10
∴t= ，
3
当AP+AQ＝14时，
2t+10﹣5(t﹣2)＝14，∴t＝2，
10
综上所述：t＝2或 ．
3
【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积公式等知识，解决问题的关键是分类讨论．
