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专题 08 投影
了解投影、平行投影、中心投影、正投影的概念，能够确定物体在太阳光下的
重点
影子的特征；判定中心投影下物体影子的位置和大小
难点 物体正投影的形状、大小与它相对的投影面的大小关系，画出物体的正投影
易错 根据物体的影子判断投影类别，确定光源类型
一、平行投影
平行投影的特点：（1）平行投影中，同一时刻的光线是平行的；（2）平行投影的物高与影长对应成
比例．
【例1】如图，一个矩形窗框 被太阳光照射后，形成的影子完全留在水平地面上，影子的形状不可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】矩形在阳关的投射下对边应该是平行且相等的，所以不会是梯形．
故答案为：C．
【例2】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：A、两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，树高与影长的比相等，所
以A选项满足条件；
B、两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向不一致，故错误；
C、两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向不一致，故错误；
D、两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子不成比例，故错误.
故选：A
二、中心投影
中心投影的特点：（１）等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体影子短，离点光
源的物体影子长；（2）等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点
光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度短．
【例1】如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变
化情况是（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
【答案】B
【详解】如图所示：
当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．
故选： B .
【例2】如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 ，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：三角板的一边长为 ，则设投影三角板的对应边长为 ，
三角板与其投影的相似比为 ，
，
，
投影三角板的对应边长为 ．
故选：B．
三、利用投影解决实际问题
两个多边形相似，必须同时具备两个条件：（1）角分别相等；（2）边成比例．
【例1】把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形，
故选：B．
【例2】如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选C．
一、单选题
1．下列哪种光线形成的投影不是中心投影（ ）
A．台灯 B．太阳 C．手电筒 D．路灯
【答案】B
【详解】中心投影的光源为蜡烛、台灯、路灯这样的光，而平行投影的光源为太阳光与月光，由此可得形
成的投影不是中心投影的是太阳，故答案选择B.
2．下列选项中灯泡与影子的位置最合理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据中心投影的特点可知，光线照在物体上，在其背面形成影子，因此可知A，C，D错误，B正
确，故答案选择B.
3．如图， 和 是直立在地面上的两根立柱， 米，某一时刻 在阳光下的投影 米，
在阳光下的投影长为6米，则 的长为（ ）米．
A． B． C． D．14
【答案】A
【详解】解：如图，在测量 的投影时，同时测量出 在阳光下的投影长 为 米，
∵ ， 米， 米， 米，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A正确．
故选：A．
4．在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射如图所示的球．当球向下移动时，这个球在地面上的影子大小的变
化情况是（ ）
A．保持不变 B．越来越大 C．越来越小 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越
远，影子越小．
故选C．
5．一天下午小红先参加了校运动会女子100m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，如图是摄影师
在同一位置拍摄的两张照片，那么下列说法正确的是（ ）A．乙照片是参加100m的
B．甲照片是参加100m的
C．乙照片是参加400m的
D．无法判断甲、乙两张照片
【答案】A
【详解】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变
短，再变长；则乙照片是参加100m的，甲照片是参加400m的．
故选A．
6．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【答案】C
【详解】解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．
故选C．
二、填空题
7．身高相同的小颖和小丽，一天晚上，她们站在同一路灯下的不同位置，在灯光的照射下，小颖的投影
比小丽的投影长，我们可以判断小颖和小丽离灯光较远的是______．
【答案】小颖
【详解】中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点
光源远的物体的影子长，故离灯光较远的是小颖．
故答案为：小颖．
8．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m，
同一时刻测得DE影长为4.5m，则DE＝_________m．【答案】6
【详解】 ， ， ， ，
，
，
.
故答案为6.
三、解答题
9．如图所示，分别是两棵树及其影子的情形．
(1)请判断图中投影是________投影；（填“中心”或“平行”）
(2)请画出图中表示小丽影长的线段．
【答案】(1)平行
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，
∴图中投影是平行投影；
（2）解：如图所示： 是表示小丽影长的线段．10．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规
律．如图，在同一时间，身高为 的小明 的影子 长是 ，而小颖 刚好在路灯灯泡的正下
方 点，并测得 ．
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置 ；
(2)求路灯灯泡的垂直高度 ；
(3)如果小明沿线段 向小颖（点 走去，当小明走到 中点 处时，求其影子 的长；当小明继续
走剩下路程的 到 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处， 按此规律继续走
下去，当小明走剩下路程的 到 处时，其影子 的长为 ．（直接用 的代数式表示）
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3) ．
（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．
【详解】（1）解：如图
（2） ， ，
，
，，
， ，
，
m．
（3）同理 ，
，
设 长为 ，则 ，
解得： ，即 ．
同理 ，
解得 ，
，
可得 ，
故答案为： ．
一、单选题
1．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子和小强的影子一样长C．小明的影子比小强的影子短 D．无法判断谁的影子长
【答案】D
【详解】在同一时刻的阳光下，此时属于平行投影，小明的影子比小强的影子长，
∴小明的身高比小强高，
在同一路灯下,此时属于中心投影，影子的长度不仅与二人的身高相关，还有他们所处的位置相关，
两人由于离路灯的远近不同，影子的长度也就不同，
∴无法判断谁的影子长，
故选：D．
2．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆 的影子
一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 为16米，落在斜坡上的影长 为
8米， ；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆 竖立在斜坡上的影长 为2
米，则旗杆的高度为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【详解】解：如图作 交 于M， 于N．
由题意得 ，
∴ ，即 ，
∴ 米，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米， 米．
∵在直角 中， ，
∴ 米，
∴ 米．
故选B．3．如图， 是线段AB在投影面P上的正投影， ， ，则投影 的长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点A作 于点C，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
故选：A．
4．如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆
（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上
的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（ ）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【详解】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵杆高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
∴ ，
∴AB=8米．
故选：D．
5．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好
为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆AB的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C．8米 D．10米
【答案】A
【详解】解：如图，延长AB交DT的延长线于E．∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
易得四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD•cos30°＝8× ＝4 （米），CT＝ CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝ （米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝ ﹣4＝ （米），
故选：A．
6．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法 为了确定视
频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻 在一定条件
下，直杆的太阳影子长度 单位：米 与时刻 单位：时 的关系满足函数关系 是常
数 ，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t
是（）
A． B．13 C． D．
【答案】C
【详解】把（12，0.6）、（13，0.35）、（14，0.4）代入l=at2+bt+c中得：，解得 ，
∴l=0.15t2-4t+27，
∵0.15＞0，
∴l有最小值，
当t=- = ≈13.33时，该地影子最短；
故选C．
二、填空题
7．在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 ，它的影子
，木竿 的影子有一部分落在了墙上 ，则木竿 的长度为
__________．
【答案】3m
【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，
∴四边形DPMN是矩形
∴DN=PM,PD=MN
∴ ，
又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，
∴QD= = =2（m），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．
故答案为3m．
8．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片 ，此时各叶片影子在点M右侧成线段 ，测得
，垂直于地面的木棒 与影子 的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于
___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】 10
【详解】如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作
BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O是AB的中点，
∵ ，
∴点H是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵由题意可知： ，
∴ ，解得 ，
∴点O、M之间的距离等于 ，
∵BI⊥OJ，
∴ ，
∵由题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴四边形IHDJ是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴叶片外端离地面的最大高度等于 ，
故答案为：10， ．
三、解答题
9．在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一
时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为 米，甲树的影长为4米（如图1）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为
米，落在地面上的影长为 米．
小丽：测量丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子
长为 米，一级台阶高为 米，落在地面上的影长为 米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米．
(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．
(3)请选择丙树的高度为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】(1)5
(2)详见解析， 米
(3)C
【详解】（1）解： 一根长为1米的竹竿的影长为 米，甲树的影长为4米，
甲树的高度为： ．
故答案为：5；
（2）如图1：设 为乙树的高度， ，
四边形 是平行四边形，
由题意得： ，
解得： （米 ，
故乙树的高度 米；
（3）如图2，设 为丙树的高度， ，
由题意得： ，
，则 ，四边形 是平行四边形，
，
又由题意得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C．
10．小明在晚上由路灯 走向路灯 ，当他走到 处时，发现身后影子顶部正好触到路灯 底部，当他向
前再步行 到达 时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯 的底部．已知小明的身高是 ，两个路
灯的高度都是 ，且 ．
(1)求：两个路灯之间的距离；
(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如
果不是定值，求说明理由．
【答案】(1)两路灯之间的距离为 米
(2)两影长之和为定值，定值为 米
【详解】（1）解：由题意得 ，
∵ ，
∴ ∽ ，
则
解得： ，
，
故两路灯之间的距离为 米；
（2）解：两影长之和为定值，定值为 米．
理由：如图，设 米．∵ ，
∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，
∴ ， ，
则 ， ，
∵
∴ ，
，
解得 ，
两影长之和为定值，定值为 米．
