文档内容
专题 09 易错易混淆集训：有理数及有理数的运算有关的六大易错
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【易错点一 与运算相关的符号的判断不准确】............................................................................................1
【易错点二 乘法运算律应用不熟导致易错】................................................................................................3
【易错点三 乘除混合运算时，运算顺序错误导致易错】............................................................................8
【易错点四 数轴上多解时考虑不全产生漏解】..........................................................................................10
【易错点五 含绝对值化简时考虑不全产生漏解】......................................................................................13
【易错点六 含乘方运算时符号考虑不全产生漏解】..................................................................................15
【典型例题】
【易错点一 与运算相关的符号的判断不准确】
例题：（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）在 、 、 、 、 、 ，这几个
有理数中，负数的个数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C
【分析】分别求出 ，再进行判断即可．
【详解】解： ，
所以，负数有 ，3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数等知识点的应用，主要考查学生的计算和辨析能
力．【变式训练】
1．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）下列各对数中，相等的一对是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方运算，以及化简多重符号，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：A． ， ，故该选项不符合题意；
B． ， ，故该选项符合题意；
C． ， ，故该选项不符合题意；
D． ， ，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，以及化简多重符号，化简绝对值，正确的计算是解题的关键．
2．（2023·江苏·七年级假期作业）在 ，1.2， ，0， ， 中，负数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】根据小于0的数是负数，对各选项计算后再计算负数的个数．
【详解】因为 ， ，
所以负数有 ， ，共计2个
故选A
【点睛】本题考查负数的概念，解题关键是利用了小于0的数是负数的概念．
3．（2021秋·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）在 ， ，0， ， ， 中，
非负数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先化简，后根据正数和零统称非负数计算判断即可．
【详解】∵ ， ，0， ， ，
∴非负数有 ，0， 共3个，
故选C．
【点睛】本题考查了非负数即正数和零统称，正确理解定义是解题的关键．
4．（2023春·四川广安·七年级四川省华蓥中学校考阶段练习）在 这四个数中，最大
的数与最小的数的差是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．1
【答案】B
【分析】先化简各个数，再比较大小，最后作差即可．
【详解】解： ，
，
，
，
最大数是 ，最小数是 ，
∴最大数与最小数的差为
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方，有理数的大小比较以及减法运算，掌握运算法则和大小比较法则是
关键．
【易错点二 乘法运算律应用不熟导致易错】
例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
聪聪：原式＝ ；
明明：原式＝ ＝ ，
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法更简便？
(2)睿睿认为还有一种更好的方法，请你仔细思考，把它写出来．
(3)用你认为最合适的方法计算： ．
【答案】(1)明明的解法更简便
(2)更好的方法见解答
(3)
【分析】（1）观察两个同学的方法可得答案；
（2）将 变形成 ，再用乘法分配律即可；
（3）利用（2）的方法计算即可．
【详解】（1）解：观察两个同学的方法，明明的计算量要小一点，
∴明明的解法更简便；
（2）
；
（3）．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是把算式变形后再用乘法分配律．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）简便方法计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)0
(2)－149
【分析】对于（1），原式逆用乘法分配律计算即可求出值；
对于（2），原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值．
【详解】（1）原式＝
＝25×0
＝0；
（2）原式＝
＝
＝﹣150+1
＝﹣149．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算：
（1）（-3.59）× -2.41× +6× ；
（2） × +（-0.25）×3.5+ ×2．【答案】（1）0；（2）0．
【分析】（1）先确定积的符号，再逆用乘法的分配律计算即可；
（2）小数转化成分数，再逆用乘法的分配律计算即可．
【详解】（1）（-3.59）× -2.41× +6×
=3.59× +2.41× -6×
= ×（3.59+2.41-6）
= ×0
=0；
（2） × +（-0.25）×3.5+ ×2
=
=
= ×0
=0．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法运算律是解本题的关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）运用运算律进行简便运算：
（1）（－10）× ×（－0.1）×6；
（2）36× ；
（3）（－5）× ＋7× －（＋12）× ．
【答案】（1）2；（2）－26；（3）0【分析】（1）运用乘法结合律计算；
（2）运用乘法分配律先计算乘法，再计算加减；
（3）先去括号再提取 ，然后计算括号里的，最后根据0乘任何数都为0出答案．
【详解】解：（1）原式＝（10×0.1）× ＝2；
（2）原式＝36× －36× ＋36× ＝－27－20＋21＝－26；
（3）原式＝（－5）×7 －7×7 ＋12×7
＝（－5－7＋12）×7
＝0×7
＝0．
【点睛】本题考查了有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意的是能用方法的用简便
方法，想不到最简便使用乘法运算律的方法．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作用，充分运
用运算律能使计算简便高效．
例如： ．
解： ．
(1)计算： ，A同学的计算过程如下：
原式 ．
请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
(2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： ．
【答案】(1)A同学的计算是错误的，过程见解析(2)0
【分析】（1）先说明A同学的错误，再把除法变为乘法，最后运用运算律去括号计算即可；
（2）先根据积不变规律变形，再根据乘法运算律可以解答本题．
【详解】（1）解：∵A同学运用乘法分配律时第二个数的符号处理错误，
∴A同学的计算是错误的，
原式= ．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数的乘法分配律的计算方法．
5．（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：
计算：
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：
所以原式
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：
【答案】 ．
【分析】根据阅读材料先计算所求式子的倒数，从而得出原式的结果．
【详解】解：，
所以，原式 ．
【点睛】本题是阅读材料问题，考查了有理数的混合运算和对阅读材料问题的运用，掌握运算顺序，正确
判定符号计算是关键．
【易错点三 乘除混合运算时，运算顺序错误导致易错】
例题：（2023春·上海闵行·六年级校联考期末）计算：－16÷4× ＝ ；
【答案】
【分析】先把除法化为乘法，再计算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是有理数的乘除的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课前预习）计算 的结果是 ．
【答案】9
【分析】按照乘除混合运算顺序和运算法则计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注
意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ．
【答案】【分析】根据有理数的乘除运算法则，从左往右依次计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的乘除运算．解题的关键在于明确运算顺序．易错点是先计算乘法然后计算除
法．
3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算：
【答案】
【分析】根据有理数的乘除混合运算法则计算即可.
【详解】解：原式=
=
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握计算法则是解题关键.
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】先计算绝对值并将带分数化为假分数，然后将除法变为乘法，再约分计算即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，绝对值．有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算
加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合
运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．掌握有理数混合运算顺序是解题的关键．
5．（2023春·上海·六年级专题练习）计算： ．
【答案】2
【分析】把除法转化为乘法，运用乘法法则求积即可．【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解决本题的关键．
6．（2023秋·浙江·七年级专题练习）计算： ．
【答案】3
【分析】根据有理数的除法法则，除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数，先将除法统一成乘法，
再根据有理数乘法法则解题，注意偶数个负数相乘，结果为正．
【详解】
【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【易错点四 数轴上多解时考虑不全产生漏解】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）数轴上点A表示的数是﹣5，将点A在数轴上平移8个单位长度得
到点B，则点B表示的数是 ．
【答案】-13或3/3或-13
【分析】点A在数轴上平移8个单位长度，可以是向左或向右，即向右平移8个单位，即增加8，向左平
移就减少8．
【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是： ，如果A向左平移得到，点B表示的数是：
，
故点B表示的数是3或−13．
故答案为：3或−13．
【点睛】此题主要考查了数轴，掌握数轴上的点平移法则是解题关键．数轴上点的平移：向左平移，表示
的数减少，向右平移，表示的数增大．
【变式训练】1．（2023春·山东济南·六年级统考开学考试）数轴上点A表示的数是 ，将点A在数轴上平移4个单位
长度得到点B．则点B表示的数是 ．
【答案】2或
【分析】应用数轴上点的意义分类进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意，将点A在数轴上向右平移4个单位得到点B，则点B表示的数是 ；
将点A在数轴上向左平移4个单位得到点B，则点B表示的数是 ；
则点B表示的数是2或 ．
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴上点的意义进行求解是解决本题的关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考阶段练习）在数轴上，点A表示数 ，点B到点A的距离为5．则
点B表示的数为 ．
【答案】 或2/2或
【分析】与A点距离为4的点有两个，分别在A点左侧4个单位长度和A点右侧4个单位长度．
【详解】解：设点B表示的数为m，
∵点A表示数 ，点B到点A的距离为5，
∴ ，
解得 或 ，
∴点B表示的数为 或2，
故答案为： 或2．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数轴上有 ， 两点， ， 之间的距离为2，点 与原点
的距离为3，那么点 对应的数是 ．
【答案】 或
【分析】先根据点A到原点的距离为3，求出点A表示的数，再根据点A、点B之间距离为2，即可求出答
案．
【详解】解： 点 与原点 的距离为3，
点A所表示的数为：3或 ，
又 A、B之间的距离为2，
当点A所表示的数为3时，点B表示的数为1或5；
当点A所表示的数为 时，
点B表示的数为 或 ；
综上所述，点 对应的数是 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】此题考查了数轴上的点所表示的数与数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上点的特征以及数轴上
两点距离求法，并学会用数形结合的方法是解题的关键．
4．（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是 和6，点C
为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，且 ，则C点表示的数是
．
【答案】 或
【分析】设点C表示的数为x，根据点A表示的数为 ，点B表示的数为6，得到 ， ，
根据 ，或 ，且 ， 分类讨论即得．
【详解】设点C表示的数为x，
∵点A表示的数为 ，点B表示的数为6，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
或 ， ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，分
类讨论．
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点 、点 、点 是同一条数轴上的三个点，且 ，
若点 在数轴上表示的数是1，则点 在数轴上表示的数是 ．
【答案】 、1或
【分析】分 在 左侧，右侧， 重合，三种情况分类讨论即可；
【详解】解：①当 重合时，即 表示的数是1时， 满足题意；②当 不重合时， 为 的中点，
在 左侧时： 表示的数是： ；
在 右侧时： 表示的数是： ；
综上：点 在数轴上表示的数是 、1或 ；
故答案为： 、1或 ．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离．根据题意，正确的画图，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键．
【易错点五 含绝对值化简时考虑不全产生漏解】
例题：（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）若 ，则 的值为（ ）
A．0或1 B． 或0 C． D．
【答案】C
【分析】先得到 ，再分当 时， ，当 时， ，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知a、b、c均为不等于0的有理数，则 的值为
（ ）A．1或3 B．– 1或– 3 C．±1或±3 D．0或3
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质化，即正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，求值
即可．
【详解】解：分情况讨论：
当 时， ；
当 时， ；
当 中有一个小于0时， ；
当 中有两个小于0时， ；
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质，分情况讨论，找出所有情况．
2．（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）已知有理数a、b、c满足 ，则
．
【答案】0
【分析】根据“ ”可以判断 三数中的正负数个数，再根据绝对值的化简法则即
可求解．
【详解】解：∵
∴ 中有两个正数一个负数
∵
∴
∴ ；
故答案为：0
【点睛】本题考查绝对值的化简．判断绝对值符号里面的式子正负是解题关键．3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下
面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
【提出问题】三个有理数a、b、c满足 ，求 的值．
【解决问题】
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即 ， ， 时，
则： ；
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设 ， ，
则：
所以： 的值为3或-1．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足 ，求 的值；
（2）已知 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）-3或1；（2） 或 ．
【分析】（1）根据题意因为abc＜0，可分类两种情况，a、b、c三数均为负，a、b、c只有一个负数，另
两个为正数，再根据题目中给出的解题过程求解即可得出答案；
（2）根据绝对值的意义，先计算出a=±3，b=±1，根据条件a＜b求解即可得出答案．
【详解】解：（1） ，
∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当a，b，c都是负数，即 ， ， 时，
则： ；
②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设 ， ， ，
则 .
（2）∵ ， ，
∴a=±3，b=±1，∵ ，
∴ ， 或 ，
则 或 .
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义及有理数加减乘除运算，根据题意应用绝对值意义求解是解决本题
的关键．
【易错点六 含乘方运算时符号考虑不全产生漏解】
例题：（2023秋·安徽蚌埠·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后计算减法．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序，正确的进行计算，是解题
的关键．
【变式训练】
1．（2023·广西南宁·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】按照有理数混合运算的顺序计算即可．
【详解】解：原式【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注
意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
2．（2023·广东肇庆·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】按照有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了绝对值和含有乘方的有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3．（2023·广西贵港·统考一模）计算： ．
【答案】
【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）计算：
【答案】
【分析】先计算乘方，再根据乘法分配律的逆运算法则求解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】先算乘方和括号内的式子，然后算乘除法，最后算加减法即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（2023秋·贵州黔东南·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】根据含有乘方运算的有理数混合运算法则即可计算求值．
【详解】
【点睛】本题考查了含有乘方运算的有理数混合运算，熟记运算法则，注意计算顺序是解题关键．
