文档内容
班级 姓名 学号 分数
第二十八章 锐角三角函数(A 卷·知识通关练)
核心知识1 锐角三角函数
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是( )
A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝ ＝2 ，
∴tanA＝ ＝ ＝ ，cotA＝ ＝ ＝ ，sinA＝ ＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ＝
．
故选：B．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ，
∴sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ．tanA＝ ＝ ＝ ，cotA＝ ＝ ．
故选：A．
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，AC＝6，则AB等于( )
A．6 B． C．10 D．8
【解答】解：∵tanA＝ ，
∴cosA＝ ．
∴ ．∴AB＝10，
故选：C．
4．已知 为锐角，且 ，那么 的正切值为( )
α α
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，
α
∵sinA＝sin ＝ ＝ ，
∴设BC＝5αx，AB＝13x，
∴AC＝ ＝ ＝12x，
∴tanA＝ ＝ ＝ ，
即 的正切值为 ．
故选α：A．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，则cosB＝( )
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵sinA＝ ，
∴cosB＝sinA＝ ，
故选：A．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tanA＝ ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝ ＝
∴tanA＝ ＝ ，故答案为： ．
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得
AB为斜边．
由tanA＝ ＝2，得
BC＝2AC．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得
AB＝ ＝ AC．
cosB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，sinA＝ ，则BC＝ ．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝ ＝ ，
设BC＝5x，AB＝24x，
∴AC＝ ＝ x，
即 x＝24，
解得x＝ ，
∴BC＝ ．
故答案为： ．9．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 ．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴cosA＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
核心知识2．解直角三角形
10．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值为( )
A． B． C． D．1
【解答】解：如图：
在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝3，
∴tanB＝ ＝ ＝1，
故选：D．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝ ，则AC的长为( )A． B．3 C． D．2
【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝ ＝ ，BC＝ ，
∴AB＝ BC＝ × ＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2， ，则AC的长是( )
A． B．3 C． D．
【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，
∴sinA＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝3，
∴AC＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是( )A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，cosC＝ ，tanC＝ ，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝ ，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cos∠BAD＝ ，
∴cosC＝cos∠BAD＝ ，
故D不符合题意；
故选：C．
14．在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么下列结论正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA＝
C．tanA＝ D．以上均不正确
【解答】解：在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，
则△ABC是直角三角形，且AB是斜边．
因而sinA＝ ，
cosA＝ ，
tanA＝ ，
cotA＝ ．
所以，结论成立的是cosA＝ ．故选：B．
15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为( )
A． B． C． D．
【解答】解：如图：连接AD，
由题意得：
AD＝BD＝3，∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝45°，
∴sin∠ABC＝sin45°＝ ，
故选：B．
16．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝( )
A． B． C． D．6
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，
∴AB＝2AE，AE＝ED，
∵BC＝6，AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝3，
设AE＝DE＝x，则AB＝2x，
∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根据勾股定理得，
(2x)2＝x2+(x+3)2，
∴2x2﹣6x＝9，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得，
AC2＝x2+(x﹣3)2，
∴AC2＝2x2﹣6x+9，
∴AC2＝18，
∴AC＝3 (负值舍去)．
故选：B．
17．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为(
)
A． B． C． D．
【解答】解：法一：如图，连接AC，
在Rt△BEC中，BC＝ ＝5，
∵AD⊥BC，
∴ ＝8，
即 ，
解得AD＝ ，在Rt△ADB中，BD＝ ，
∴sin∠BAD＝ ．
法二：在Rt△BEC中，BC＝ ＝5，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝ ．
故选：C．
核心知识3．解直角三角形的应用
18．如图，沿 AB方向架桥 BD，以桥两端 B、D出发，修公路 BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝
1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为( )
A．900m B．900 m C．900 m D．1800m
【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°，
又∵∠BCD＝105°，
∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°，
在R△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1800m，
∴CE＝ BC＝900(m)，
在Rt△CDE中，∠DCE＝45°，
∴CD＝ CE＝900 (m)，故选：B．
19．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座
放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝
130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为( )(结果精确到1mm)．
(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73)
A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm
【解答】解：延长 DC，过点 A 作 AE⊥CD，垂足为 E，过点 B 作 BF⊥AE，垂足为 F，过点 B 作
BG⊥CD，垂足为G，
由题意得：EF＝BG，BF∥ED，
∴∠FBC＝∠BCD＝70°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，
在Rt△ABF中，AB＝200mm，
∴AF＝AB•sin60°＝200× ＝100 (mm)，
在Rt△BCG中，BC＝80mm，
∴BG＝BC•sin70°≈80×0.94≈75.2(mm)，∴EF＝BG＝75.2(mm)，
∴AE＝AF+EF＝100 +75.2≈248(mm)，
∴托板顶点A到底座CD所在平面的距离约为248mm，
故选：C．
20．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD＝ ，云梯底部离地面的距离BC为2m．
则云梯的顶端离地面的距离AE的长为( ) α
A．(2+15sin )m B．(2+15tan )m
C．17tan mα D．17sin mα
【解答】α解：∵AE⊥CE，BC⊥CE， α
∴∠AEC＝∠BCE＝90°．
∵BD∥CE，
∴BD⊥AE，BD⊥BC．
∴∠ADB＝∠BDE＝∠DBC＝90°．
∴四边形BCED是矩形．
∴DE＝BC＝2m．
∵AD＝ABsin∠ABD＝15sin (m)，
∴AE＝DE+AD＝2+15sin (mα)．
故选：A． α
21．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF
上点A处测得∠EAB＝37°，∠FAC＝60°，已知河宽30米，则B，C两点间的距离为( )(参考数据：
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ )A．(18+25 )米 B．(40+10 )米 C．(24+10 )米 D．(40+30 )米
【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵BC∥EF，
∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF，
∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°，
∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°，
∵AD＝30米，tan∠DBA＝ ，tan∠DCA＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得BD＝40米，CD＝10 米，
∴BC＝BD+CD＝(40+10 )米，
故选：B．
22．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝ ，则树高BC为( )
α
A．5sin 米 B．5cos 米 C．5tan 米 D． 米
【解答】α解：在Rt△ABC中，α α∵tan ＝ ，
∴BCα＝AC•tan ＝5tan (米)，
故选：C． α α
23．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度 PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离
为m米，∠PQT＝ ，则河宽PT的长为( )
α
A．msin B．mcos C．mtan D．
【解答】α解：由题意得： α α
PT⊥PQ，
∴∠APQ＝90°，
在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝ ，
∴PT＝PQ•tan ＝mtan (米)， α
∴河宽PT的长α度是mtαan 米，
故选：C． α
24．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高
AD约为( )
(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，
∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝ ≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm，
故选：B．
25．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝ ，则房顶A离地面EF的
高度为( ) α
A．(4+3sin )m B．(4+3tan )m C．(4+ )m D．(4+ )m
【解答】解α：过点A作AD⊥BC于α点D，如图，
∵它是一个轴对称图形，
∴AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴BD＝ BC＝3m，
在Rt△ADB中，
∵tan∠ABC＝ ，
∴AD＝BD•tan ＝3tan m．
∴房顶A离地面αEF的高α 度＝AD+BE＝(4+3tan )m，
故选：B． α
26．某学校安装红外线体温检测仪(如图1)，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节
(如图2)．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为( )米．(精确到0.1米．参考数据：sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈
，sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ )
A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7
【解答】解：设BC＝xm，
∵AB＝2m，
∴AC＝(x+2)m，
∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°
∴tan∠OBC＝tan67°≈ ，tan∠OAC＝tan37°≈ ，
∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈ x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈ (x+2)，
∴ x＝ (x+2)，
解得：x＝ ，
∴OC≈ x＝ ≈2.2m，
故选：B．
27．如图1是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图2是其侧面
结构示意图．量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝12cm，底座长DE＝13cm，托板AB固定在支撑板
的端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，当∠ACD＝2∠D＝60°时，点A到点
D的距离恰好是点C到直线DE的距离的2倍，则BC＝ 5 cm．为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点D旋转，使点B与点E重合，则此时点A到直线DE的距离为 cm．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，延长AB，DE交于点H，作CG⊥DH，垂足为G．
∵∠ACD＝2∠CDH＝60°，
∴∠CDH＝30°，
∴∠H＝∠ACD﹣∠CDH＝30°，
∴∠H＝∠CDH，
∴CH＝CD＝12cm，
∵CG⊥DH，∠H＝30°，
∴CG＝ CH＝6cm，
即点C到直线DE的距离为6cm，
∴点A到直线DE的距离为12cm，即AF＝12cm．
∵CG⊥DE，AF⊥DE，
∴CG∥AF，
∴△CHG∽△AHF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AH＝24cm，
∴AC＝AH﹣CH＝12cm，
∴BC＝AB﹣AC＝17﹣12＝5cm．
旋转后图形如下：过点A作AG⊥BD于G，交CD于H．
∵BC＝5cm，CD＝12cm，BD＝13cm，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠D，
∴cosA＝cosD＝ ＝ ．
在Rt△AGB中，AG＝AB•cosA＝17× ＝ cm．
即此时点A到直线DE的距离为 cm．
故答案为：5， ．
