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专题 09 直线、射线、线段与角、余角、补角之十一大题型
两点确定一条直线
例题：（2023秋·河南安阳·七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个
固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．
【答案】两点确定一条直线
【分析】根据直线的性质解答即可．
【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·七年级校考期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确
定一条直线”来解释的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案．
【详解】解：A、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
B、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；
D、可以用“两点间线段最短”来解释，符合题意，选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键．
2．（2023上·新疆和田·七年级和田市第三中学校考期末）木工师傅在锯木料时，先在木板上取出
两点，然后弹出一条墨线，这是利用了 的原理
【答案】两点确定一条直线
【分析】依据两点确定一条直线来解答即可．
【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的利用了两点确定一条直
线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键．
两点之间线段最短
例题：（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪
是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：
，【答案】两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·云南昆明·七年级统考期末）小敏从金马碧鸡坊去往云南民族村，打开导航，显示两
地直线距离为 ，但导航提供的三条可选路线长却分别为 ， 和 （如图），能
解释这一现象的数学知识是 （ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案．
【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为 ，但导航提供的三条可选路线长却分别为
， 和 （如图），能解释这一现象的数学知识是 “两点之间，线段最短”，故A
正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
2．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，从A地到B地有三条路径，当人们希望路程越短越好时，往往选择线段 ，这里体现的数学基本事实是 ．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短解答．
【详解】解：在路径： ， 以及曲线路线中， 最近，因为两点之间，线段最
短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键．
作图——画直线、射线、线段
例题：（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，平面上有四个点 ， ， ， ．按要求完成
下列问题：
(1)连结 ．
(2)画射线 ，射线 与线段 相交于点 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作图即可．
【详解】（1）解：如图：（2）解：如图：
【点睛】本题考查了作图——射线，线段，熟练掌握射线，线段的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）如图，平面上有三点 、 、 ，请按照下列语句画出
图形并作答．
(1)画直线 ，射线 ；
(2)连接 ，并延长 至点 ，使 ，取 的中点 ；
(3)若 ，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)11
【分析】（1）根据直线、射线的定义作图即可；
（2）按要求作图即可；
（3）先根据 求出 ，再根据中点的定义求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：图形如图所示：（2）解：图形如图所示：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查直线，射线，中点的定义，线段的和差关系等，属于基础题，熟练掌握定义是解
题的关键．
2．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下
列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后再使用黑色
字迹的签字笔描黑）：
(1)作射线 ；
(2)作直线 与直线 相交于点 ；
(3)在射线 上作线段 ，使线段 与线段 相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据射线的含义作图即可；
（2）根据直线的含义按要求作图即可；
（3）根据作一条线段等于已知线段作图即可．
【详解】（1）解：作射线 ，如图所示；；
（2）解：作直线 与直线 相交于点 ，如图所示；
（3）解：用圆规在射线 上截取 ，线段 即为所求．
【点睛】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，作一条线段等于已知线段，难度不大，属于
基础题．
线段的应用
例题：（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，
郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中
五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．
【答案】20
【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．
【详解】解：5个点中线段的总条数是 （种），
∵任何两站之间，往返两种车票，
∴应印制 （种），
故答案为：20．
【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有 个点，则线段的数量有
条”．
【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（ ）
A．12种 B．10种 C．6种 D．4种
【答案】A
【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数．
【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，
∴铁路部门供旅客购买的火车票要准备 （种），
故选：A．
【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程
票．
2．（2021上·浙江衢州·七年级统考期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州
每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（ ）
A．20种 B．15种 C．10种 D．5种
【答案】A
【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数．
【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）．
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．
线段中点的有关计算
例题：（2023上·云南红河·七年级统考期末）如图，已知线段 ， ，点M是 的中
点．
(1)求线段 的长；
(2)在 上取一点N，使得 ，求线段 的长．
【答案】(1)4
(2)10
【分析】（1）先求出 ，再根据中点的定义求解即可；
（2）根据 ， ，得出 ．再求出 ，看根据
，即可求解．【详解】（1）解：线段 ， ，
∴ ．
又∵点M是 的中点．
∴ ，
答：线段 的长度是4．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
又∵点M是 的中点， ，
∴ ，
∴ ，
答： 的长度是10．
【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，结合图形得出线段
之间的和差关系．
【变式训练】
1．（2023上·河南漯河·七年级校考期末）如图， 为线段 上一点，点 为 的中点，且
， ．
(1)图中共有______条线段．
(2)求 的长．
(3)若点E在直线 上，且 ，求 的长．
【答案】(1)6
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据线段的定义数出结果即可；
（2）先求 ，再求 即可；
（3）分两种情况讨论：①点 在线段 上，根据 ；②点 在线段 延长线上，
根据 进行计算即可．
【详解】（1）解：图中共有 ，共6条线段，
故答案为：6；（2） 点 为 的中点，
，
， ，
，即 ，
；
（3）分两种情况讨论：
①点 在线段 上，
；
②点 在线段 延长线上，
．
综上： 或 ．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键．
2．（重庆市开州区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）已知点B在线段AC上，点D在线
段AB上．
(1)如图1，若 ， ，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
(2)如图2.若 ，E为线段AB的中点， ，求线段AC的长度．
【答案】(1)1cm
(2)12cm
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段 的长度为 ；
（2）设 ，由线段的中点，线段的和差倍分求出 ，
，根据 可得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示：∵ ， ，
∴ ，
又∵D为线段 的中点，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2所示，设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵E为线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的
距离公式计算方法．
线段n等分点的有关计算
例题：（2023秋·四川成都·七年级统考期末）（1）如图1，点C在线段 上，M，N分别是 ，
的中点．若 ， ，求 的长；（2）设 ，C是线段 上任意一点（不与点A，B重合），
①如图2，M，N分别是 ， 的三等分点，即 ， ，求 的长；
②若M，N分别是 ， 的n等分点，即 ， ，直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）① ；②
【分析】（1）由中点的定义可得 ，然后根据 求解即可；
（2）由 ， 可得 ，然后根据 求解即可；
（3）仿照（2）的过程求解即可．
【详解】解：（1）∵M，N分别是 ， 的中点
∴
∵
∴
（2）①∵
∴
∵
∴ ；
②．
【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【变式训练】
1.（2023秋·陕西宝鸡·七年级校考期末）如图，已知点B在线段 上， ， ，P、Q
分别为线段 、 上两点， ， ，则线段 的长为 ．
【答案】7
【分析】根据已知条件算出BP和CQ，从而算出BQ，再利用PA=BP+BQ得到结果．
【详解】解：∵AB=9，BP= AB，
∴BP=3，
∵BC=6，CQ= BC，
∴CQ=2，
∴BQ=BC-CQ=6-2=4，
∴PQ=BP+BQ=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段
的和差倍分关系解题是关键．
2．（2023上·湖北十堰·七年级统考期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段 ，C
是直线 上的一点，M，N分别是线段 的三等分点，且 ．
(1)如图1，当点C在线段 上时，求 的长；
(2)如图2，当点C在 延长线上时，求 的长；
(3)当点C在 延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求 的长．
【答案】(1)6
(2)6
(3)见解析，6【分析】（1）由 可得 、 ，然后根据图形可得
即可解答；
（2）根据图形可得 即可解答；
（3）根据图形可得当点C在 延长线上时， ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ， ， ，
如图1：当点C在线段AB上时， ．
（2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时， ．
（3）解：如图：
当点C在 延长线上时， ．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键．
求一个角的余角、补角
例题：（22·23上·省直辖县级单位·期末）若 ，则 的余角等于 ， 的补
角等于 ．
【答案】
【分析】两个角的和为 ，则这两个角互余，两个角的和为 则这两个角互为补角，根据互
余与互补的定义求解即可.
【详解】解： ，
∠α的余角=
∠α的补角=
故答案为： ， .【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握“互余与互补的含
义”是解本题的关键.
【变式训练】
1．（22·23上·内江·期末）如果 ，那么 的余角等于 ； 的补角为
．
【答案】 /65度 /155度
【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解．
【详解】解： ，
的余角为： ， 的补角为： ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两
角之和是 或 ，并能熟练运用．
2．（22·23上·南京·期末）若 ，则 的余角为 °， 的补角为 °．
【答案】
【分析】根据两个角的和等于 （直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于 （平
角），就说这两个角互为补角，列式计算即可．
【详解】 的余角： ，
的补角： ，
故答案为： 、 ．
【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算．
角平分线的有关计算
例题：（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）已知O为直线 上一点， 是直角， 平分
．
(1)如图①，若 ，则 __________；若 ，则 __________；与 的数量关系为__________；
(2)当射线 绕点O逆时针旋转到图②的位置时，（1）中 与 的数量关系是否仍然成
立？请说明理由．
【答案】(1)（1） ； ；
(2) 仍然成立，理由见解析
【分析】（1）先求得 ，再根据角平分线的定义求得 ，再根据平角定义求解
即可；
（2）设 ，仿照（1）中方法，先求得 ，再根据角平分线的定义求得
，再根据平角定义求解即可．
【详解】（1）解：∵ 是直角， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
若 ，则 ，
故答案为： ； ； ．
（2）解： 仍然成立，理由为：
如图2，设 ，
∵ 是直角，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
则 ．
【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图， ， ， 平分 ，
平分 ．(1)求 的度数．
(2)若 ， ，用含 、 的代数式表示 的度数为______ ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）先求得 的度数，然后由角平分线的定义可知 ， ，
最后根据 求解即可；
（2）先求得 α ，由角平分线的定义可知 α ， ，最后根
据 求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ．
由角平分线的性质可知： ， ．
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
由角平分线的性质可知： ， ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得 和 的大小，然后再
依据 求解是解题的关键．2．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）如图，已知点 是直线 上一点，射线 分别是
、 的平分线．
(1)若 ，求 的度数．
(2)如果把“ ”条件去掉，那么 的度数有变化吗？请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)不会有变化，理由见解析．
【分析】（1）利用角平分线的定义得 ，根据邻补角的定义求得 ，
再根据角平分线的定义求出 ，然后根据 即可求解；
（2）由角平分线的定义得 ，再根据角的和差得
，代入整理可得结论．
【详解】（1） 射线 分别是 的平分线，
，
，
射线 分别是 的平分线，
，
；
（2）不会有变化，理由如下：
∵射线 分别是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
，
，，
的度数没有变化．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，此题关键是充分利用角平分线的定义．
三角板中角度计算问题
例题：（2023上·江西上饶·七年级校联考期末）如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知
∠BAC＝60°， ，则 的大小是 ．
【答案】
【分析】先求出 的度数，然后利用余角解题即可．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角板中角的和差，结合图形运用角的和差计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·浙江金华·七年级统考期末）如图，将一副三角板的顶点重合放置，三角板 绕点
旋转．当 时， °【答案】130或170/170或130
【分析】分两种情况讨论：当三角板 绕点 顺时针旋转时，当三角板 绕点 逆时针旋转
时，先求出 的度数，再根据 和
求解即可．
【详解】当OB在∠COD内部时， ，
∴ ；
当OB在∠COD外部时， ，
∴ ；
故答案为：130或170．
【点睛】本题考查了角的和差，熟知三角板中各角度和运用分类讨论的思想是解题的关键．
2．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：
如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，
是直角，OE平分 ．
问题发现：
(1)如图1，若 ，则 的度数为______；
(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究 和 的度数之间的关系，写出
你的结论，并证明．【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）先求解 再利用角平分线的含义求解
再利用角的和差关系可得答案；
（2）先求解 ，再利用角平分线的定义可得 ，再利用角的和
差关系可得结论；
【详解】（1）解：
平分
故答案为： ；
（2） ．
理由：因为 是直角
所以
所以
因为 平分
所以
所以
所以 ．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本
题的关键．角n等分线的有关计算
例题：（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在 的内部作射线 ，射线 把 分成
两个角，分别为 和 ，若 或 ，则称射线 为
的三等分线．若 ，射线 为 的三等分线，则 的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意得出 或 ，再根据角之间的数量关系，得出 ，
综合即可得出答案．
【详解】解：∵ ，射线 为 的三等分线．
∴ 或 ，
∴ ，
∴ 的度数为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．
【变式训练】
1.（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）定义：从 的顶点出发，在角的内部引一条射线 ，
把 分成 的两部分，射线 叫做 的三等分线．若在 中，射线 是
的三等分线，射线 是 的三等分线，设 ，则 用含x的代数式表
示为（ ）
A． 或 或 B． 或 或 C． 或 或 D． 或 或
【答案】C
【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．
【详解】解：如图：射线 是 的三等分线，射线 是的三等分线，
则 ， ，
；
如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的
三等分线，
则 ， ，
；
如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的
三等分线，
则 ， ，
；如图：射线 是 的三等分线，射线 是 的
三等分线，
则 ， ，
；
综上， 为 或 或 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
2.（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知 ，以射线 为起始边，按顺时针方向依
次作射线 、 ，使得 ，设 ， .
(1)如图1，当 时，若 ，求 的度数；
(2)备用图①，当 时，试探索 与 的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当 时，分别在 内部和 内部作射线 ， ，使
， ，求 的度数.
【答案】(1) ；
(2) ；理由见解析；
(3)
【分析】（1）根据图形可知 ，继而根据 ，即可
求解；
（2）根据图形得出 ，计算 ，即可得出结论；（3）分两种情况讨论，①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延长线，
②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1， ，
在 内部，
， ，
，
，
；
（2） ；理由如下：如图2，
，
射线 、 分别在 内、外部，
，
，
，
；
（3）①当 时，射线 与 重合，射线 与 互为反向延长线，
则 ， ，如图3，
， ，
，
，
；
②当 时，如图4，射线 、 在 的外部，如图4，则 ，
，
， ，
，
，
，
.
综合①②得 ．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
与余角、补角、角平分线有关角的综合问题
例题：（2023上·河南驻马店·七年级统考期末）如图，点O是直线 上一点， 平分 ，
在直线 另一侧以O为顶点作 ．
(1)若 ，那么 __________﹔ 与 的关系是__________；
(2) 与 有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1) ， 互余(2)∠AOE+∠COD=180°，见解析
【分析】（1）先根据平角的意义，得 ，再由条件可知
，可求得答案；
（2）先证得 ， ，再利用平角的定义证得
，即可证 ．
【详解】（1）解： 点O在直线 上，
，
又 ，
，
若 ，则 ；
故填： ，互余．
（2）解：
理由： 点O是直线 上一点， 平分
，
，
∴ ，
即：∠AOE+∠COD=180°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期末）如图，已知点 为直线 上一点，
， ， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)若 与 互余，求 的度数．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知角度结合平角的定义可求解 ， 的度数，再利用角平分线的定义
可求解；
（2）根据余角的定义，平角的定义可求解 的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可
求解．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
， ，
平分 ，
，
；
（2） 与 互余，
，
，
，
平分 ，
，
．
【点睛】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的
度数是解题的关键．
2．（2023下·上海普陀·六年级统考期末）定义：如果两个角的度数的和是 ，那么这两个角叫做
互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如： ， ，因为
，所以 和 互为半余角．
(1)如果 ， 是 的半余角，那么 的度数是_______；
(2)如图，已知 ，射线 在 的内部，满足 ， 是 的平分线．
①在 的内部画射线 ，使 ．并写出图中 的半余角：________；
② 是 的半余角，当 是 的 时，求 的度数．
【答案】(1)
(2)①画图见解析； ， .
② 度数为 或
【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得；
（2）①在 的内部画射线 ，使 ，则 ，
，根据 是 的平分线得 ，即可得
；②设 ，则 ， ，根据
是 的半余角得 ，当 是 的 时，
，若射线 在 内，则 ，即
，计算得 ；若射线 在 外，则
，则 ，计算得 ；即可得．
【详解】（1）解：∵ ， 是 的半余角，∴ ，
故答案为： ；
（2）解：①在 的内部画射线 ，使 ，如图所示：
则 ，
，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半余角有： ， ；
②设 ，则 ，
∴ ，
∵ 是 的半余角，
∴ ，
当 是 的 时， ，
如图所示，若射线 在 内，则 ，
∴ ，
，
；
如图所示，若射线 在 外，
则 ，
∴ ，
，
；
综上， 的度数为 或 ．
【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论．
一、单选题
1．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后
沿着线砌墙，这是因为（ ）
A．两点之间，直线最短 B．两点之间，线段最短 C．两点之间，射线最短 D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据两点确定一条直线判断即可．
【详解】根据两点确定一条直线判断，
故选D．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
2．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）若 与 互余， 与 互补，则 与 的关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 与 互余， 与 互补可得 ， ，由 得：
，由此即可得到答案．
【详解】解： 与 互余， 与 互补，
， ，
由 得： ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是要记住互为余角的两个角的和为 ，互为补
角的两个角的和为 ．
3．（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果
每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【答案】A
【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．
【详解】解：如图所示：
A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，
图中共有线段： ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，总共15条，所以共有15种不同的票价，
故选：A．
【点睛】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．
4．（2023下·甘肃武威·七年级统考期末）已知线段 ，点C是直线 上一点，
，若M是 的中点，N是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A．7cm B．3cm C．7cm或5cm D．5cm
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，再利用线段的中点定义求解即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
， ，若M是 的中点，N是 的中点，
．
， ，若M是 的中点，N是 的中点，
．
【点睛】本题考查了点与线段中点有关的计算，根据题意画出正确的图形是解题的关键．
5．（2023上·山东临沂·七年级统考期末）如图， 是直线 上的一点， 是一条射线， 平
分 ， 在 内，且 ， ．下列四个结论：①
；②射线 平分 ；③图中与 互余的角有2个．其中结论正确的序号有
（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②【答案】B
【分析】①根据 平分 ， ， ，以及平角是 ，求出
，即可得出结论；②求出 ，即可得出结论；③根据
，即可得出结论．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，故①错误；
∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴射线 平分 ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴图中与 互余的角有2个，故③正确；
综上，正确的是②③；
故选B．
【点睛】本题考查几何图形中角的计算．余角的定义，理清角之间的和差关系，是解题的关键．
二、填空题
6．（2023下·甘肃张掖·七年级校考期末）已知 ，则 的余角的度数是 ．
【答案】 /63度
【分析】根据余角的性质，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 的余角的度数是 ．
故答案为：【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互余的两个角的和等于 是解题的关键．
7．（2023上·新疆乌鲁木齐·七年级统考期末）乌鲁木齐市的数学期末考试通常在上午 时开始，
此时时钟的时针与分针的夹角是 度．
【答案】
【分析】根据钟表确定时针和分针的位置，利用钟表表盘的特征解答．
【详解】解： 点整，时针指向 ，分针指向 ，中间有三大格，
钟表 个数字，每相邻两个数字之间的夹角为 ，
点整分针与时针的夹角正好是 ．
【点睛】本题是一个钟表问题，解题的关键是理解每两个数字之间的度数是 度．
8．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，已知点 在线段 的延长线上，且 ，
为 的中点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】首先根据线段之间的数量关系，得出 ，再根据题意，得出 ，进而
得出 ，然后打入数据，计算即可得出答案．
【详解】解：∵点 为 的中点， ，
∴ ，
又∵ ，
由图可得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了线段之间数量关系，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答．
9．（2023上·江西吉安·七年级校考期末）在同一直线上有 不重合的四个点，，则 的长为 ．
【答案】6或10或16
【分析】由于没有图形，故 四点相对位置不确定，分：点C在B的左侧、右侧，点D在
C的左侧、右侧等，不同情况画图分别求解即可．
【详解】解：I．当点C在B的右侧，点D在C的左侧时，如图：
， ， ，
，
II．当点C在B的右侧，点D在C的右侧时，如图：
，
III．当点C在B的左侧，点D在C的左侧时，如图：
，点A、D重合，不合题意，
IV．当点C在B的左侧，点D在C的右侧时，如图：
，点A、D重合，不合题意，
综上所述： 的长为6或10或16
故答案为：6或10或16．
【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论、利用线段之
间的和差关系得到 的长度．
10．（2023下·江西南昌·七年级校考期末）如图，直线 与 相交于点O， ，平分 ， ， 平分 ．若射线 从射线 的位置出发，绕点O以每秒
的速度逆时针旋转一周，当旋转时间为t秒时， 三条射线中恰好有一条射线是另外
两条射线所组成的角的平分线，请写出旋转时间t的值为 秒．（旋转过程中 ，
， 都只考虑小于 的角）
【答案】1或13或25
【分析】利用角平分线求出 ， ，求出 ， ，求出
，由角平分线，求出 ， ，再分 平分 ， 平分 ，
平分 三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
分情况讨论：
①当 平分 时，∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ ；
② 平分 时，
则： ，
∴ ，
∴ ；
③当 平分 时：
则： ，
∴ ，
∴点 旋转的角度为： ，
∴ ；
综上： 的值为：1或13或25．
故答案为：1或13或25．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角的和差关系，是解题的关键．三、解答题
11．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，已知四点A，B，C，D，利用无刻度的直尺和圆
规按下列要求作图作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)连接 ，作直线 ；
(2)作射线 ，并在射线 上取一点E，使 ．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）连接 ， ，并将 向两边延伸，可得直线 ；
（2）以A为端点，连接 并延伸可得射线 ，在射线 上，以B为起点，依次截取两个
长，可得 ．
【详解】（1）解：如图，线段 、直线 即为所求作；
（2）解：如图，射线 、点E即为所求作．
【点睛】本题考查基本作图，熟知直线、射线、线段的定义，掌握基本作图是解答的关键．
12．（2023上·河南南阳·七年级统考期末）如图，点 是线段 上的一点，其中
， 是线段 的中点， 是线段 上一点．(1)若 为线段 的中点，求 的长度；
(2)若 为线段 的一个三等分点，求 的长度．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据线段中点的性质得出 ，结合图形，即可求解；
（2）根据线段中点的性质以及三等分点的性质，分类讨论，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是线段 的中点， 为线段 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ， ，
∵ 是线段 的中点，
∴ ，
∵ 为线段 的一个三等分点，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
∴ 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，数形结合，分类讨论是解题的关键．
13．（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图（甲）， 和 都是直角．(1)如果 ， 的度数为 ．
(2)图（甲）中相等的角有 ； ．如果 ，它们 （填“相等”或“不等”）
(3)在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与 相等的角．
【答案】(1)
(2) 和 ； 和 ；相等
(3)见解析
【分析】（1）根据 ， ，求出 的度数，然后即可求出 的度数；
（2）根据直角和等式的性质可得 ， ；
（3）作 ，等量代换即可得到 ．
【详解】（1） ， ，
，
，
故答案为：
（2） ， ，
， ，
；
如果 ，它们还会相等
，
， ，
，
故答案为： 和 ； 和 ；相等
（3）如图，作 ， 即为所要求画的角，，
，即
【点睛】本题考查了余角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
14．（2023上·吉林·七年级校考期末）如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为16，点
从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2
个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
(1) ， 两点间的距离等于________，线段 的中点表示的数为________；
(2)用含 的代数式表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
(3)求当 为何值时， ？
(4)若点 为 的中点，当点 到原点距离为 时， ________．
【答案】(1)20，6
(2) ，
(3) 或6
(4)2
【分析】（1）由数轴上两点间的距离公式可求 ， 两点之间的距离，由中点公式可求线段
的中点表示的数；
（2）根据点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点 从点 出发，
以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；（3）由 ，得到方程 ，求解即可得到答案；
（4）由线段中点的性质得出 ，求解即可得到答案．
【详解】（1）解： 点 表示的数为 ，点 表示的数为16，
， 两点间的距离等于 ，线段 的中点表示的数为 ，
故答案为：20，6；
（2）解： 点 从点 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
秒后，点 表示的数为： ，
点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，
秒后，点 表示的数为： ，
故答案为： ， ；
（3）解： ，
，
或6，
或6时， ；
（4）解： 点 为 的中点，点 到原点距离为8，
，
解得： 或 （负值舍去），
，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，
与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2023上·河北邢台·七年级统考期末）如图，点 在同一条直线上，从点 引一条射线
，且 ．(1)求 的度数．
(2)将 绕点 顺时针旋转 （ ，且 不是 的整数倍）得到 ，在
内引射线 ，在 内引射线 ，且 ．．
①若 ，求 的度数；
②若 ，请直接写出 的大小．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】（1）根据邻补角的定义和性质即可得出结论；
（2）①根据 的角度可得出 和 的度数，由此可得出 和 的度数，根据
和差关系即可得出结论；②分当 时和当 时，分别进行求解即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解：①如图1，
，
当 时，则 ，
， ，， ，
， ，
，
；
② 或 ．
如图2，当 时，
，
，
，
，
，
解得 ；
如图3，当 时，
，
，
，，
，
解得 ，
综上所述， 的大小为 或 ．
【点睛】本题主要考查了角的计算，涉及分类讨论的思想，由图得出角的和差关系是解题的关键．
