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专题09 相似三角形的证明与计算50题大腿专训
【精选2023年江苏地区最新考试题型专训】
【相似大题】
1．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在 中， ， 是 上的一点，且
．
(1)用直尺和圆规在图中作 ，使得点O在 上，且 经过C， 两点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，解答下列问题：
①判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
②若 的半径是3， ，求 的长．
2．（2023上·山西临汾·九年级校考阶段练习）如图， 是等边三角形， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的面积．
3．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）点E为线段 上一点，分别以 ， 为底边，在 同
侧作等腰三角形 和 ，且 ．连接 ，过点 作 交线段 于点 ，连接
．(1)求证： ；
(2)如图2，若 ， ， ，求 的长．
4．（2023上·海南海口·九年级校联考期中）如图，在正方形 中，点 是 边上一点(不与点 ，
重合)，且 ， 交边 于点 ．
(1)求证：
① ；
② ；
(2)若 ，求证： ．
5．（2023上·四川成都·九年级成都七中校考期中） （1）如图1，矩形 ， ， ，点
为 边上一动点， ，且 ，求 ．
（2）如图2，矩形 ，点 为对角线 上一动点，连接 ，作 ，交 的延长线于点 ，
连接 ．
①求证： ；
②若 ，探索四边形 的形状，并说明理由．6．（2023上·河南郑州·九年级郑州市第五十二中学校考期中）如图（1），已知点G在正方形 的对
角线 上， ，垂足为点E， ，垂足为点F．
(1)证明与推断：
①求证：四边形 是正方形；
②推断： 的值为______；
(2)探究与证明：将正方形 绕点C顺时针方向旋转a角（ ），如图（2）所示，试探究线段
与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：正方形 在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长
交 于点H．若 ， ，则 ______．
7．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图1，正方形 的对角线 交于点O，将
绕点O逆时针旋转得到 （旋转角为锐角），连接 ，则 ．(1)如图2，若题干中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究 与 的数量关系，并证明你的结论；
②若 ，求 的长；
(2)如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且 ，请直接写出
的长．
8．（2023上·福建三明·九年级统考期中）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和 ，其中
．将 和 按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为
点B）．当 时，延长 交 于点G．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)深入探究：老师将图2中的 绕点B逆时针方向旋转，使点E落在 内部；
①“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点A作 交 的延长线于点M，与 交于点N．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题：如图4，当 时，过点A作 于点H，若 ，
求 的长．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）（1）如图1，在矩形 中，点E，F分别在边 上，
，垂足为点G．求证： ．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在边 上， ，延长 到点H，使 ，
连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形 中，点E，F分别在边 上， ， ， ，求
的长．
10．（2022上·江西鹰潭·九年级校联考期中）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°．AD＝4.点
E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角
为a（0°＜a＜90°）．如图2，在旋转过程中．
(1)判断 与 是否全等，并说明理由；(2)当 时， 与 交于点 ，求 的长．
11．（2023上·广西·九年级校考期中）【探究与应用】
问题：如图①所示， 是 的角平分线．求证： ．
【解决问题的方法】（1）善于思考的小安发现：过点 作 交 的延长线于点 ，如图②，通
过证三角形相似，可以解决问题．请证明： ．
【应用提升】（2）请你利用上述结论，解决下列问题：
如图③，在四边形 中， ， 平分 ， 于点 ， 于点 ，
与 相交于点 ，求 的值．
12．（2023上·河南周口·九年级统考期中）综合与探究
已知四边形 是正方形， 是 边上的一点， 是 上的点， 是等腰直角三角形，
．
(1)如图1，连接 ，若 ．
①求 的度数；
②连接 ，求证： ．(2)若 是 的中点， 是射线 上一点，如图2， ，当 与正方形 的对角线平行时，直
接写出 的长．
13．（2023上·江苏扬州·九年级统考期中）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以
下探究：
在 中， 是 边上一点，且 （ 为正整数）， 是 边上的动点，
过点 作 的垂线交直线 于点 ．
(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程；
(2)如图2，当 ，且点 在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，请写出结论并证
明；
(3)请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论是___________（直接写
出结论，不必证明）
14．（2023上·山东青岛·九年级山东省青岛第二十六中学校考期中）【模型定义】
如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫
做三角形的内接正方形．
【问题探究】
（1）如图①，在 中， ， 边上的高 ， 是 的内接正方形，设正方形
的边长是x，求证： ；（2）在 中， ， ， ，请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，
并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
【拓展延伸】
（3）在锐角 中， ， ， ，且 ，请问这个三角形的内接正方形中哪个面
积最大？并说明理由．
15．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）点O为矩形 的对称中心， ， ，点E为
边上一点（ ），连接 并延长，交 于点F．四边形 与四边形 关于 所在
的直线成轴对称，线段 交 边于点G．
(1)求证： ．
(2)当 时，求 的长．
(3)如图2，连接 、 ，分别交 、 于点H，K．记四边形 的面积为 ， 的面积为，当 时，求 的值．
16．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图①，在正方形 中，点 是 上一动点，将正方形沿着
折叠，点 落在点 处，连接 ，延长 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)如图②，在（1）的条件下，延长 交 于点 ．
①求证：
②若 ，求线段 的长．
(3)将正方形改成矩形，同样沿着 折叠，连接 ，延长 交直线 于 两点，若
，则 _______．（用含 的代数式表示）．
17．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，在 中， ，点 是 边的一点，
，且 ，连接 并延长，交 于 ，交 的延长线于 ．(1)若 ， ，求 的长；
(2)求证： ．
18．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）如图，在 中， ， ， ，点
从点 开始沿 向点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动，如果 ，
分别从 ， 同时出发， 秒后停止运动，设运动时间为 秒．
(1)填空： ， ；
(2)当 为何值时， 的面积为 ？
(3)是否存在某一时间 ，使得 和 相似？若存在，请求出此时 的值，若不存在，请说明理由．
19．（2023上·湖南长沙·九年级统考阶段练习）如图， 是平行四边形 的对角线，在 边上取一
点F，连接 交 于点E，并延长 交 的延长线于点G．
(1)若 ，求证： ．
(2)若 ，求 的长．
20．（2023上·吉林长春·九年级长春外国语学校校考期中）如图，在 中， ， ，，点 在边 上，且 点 从点 出发，沿 方向匀速运动到终点 ，在 、 上
的速度分别是每秒 个单位长度和每秒 个单位长度 当点 不与 的顶点重合时，连结 ，作点
关于直线 的对称点 ，连结 、 ．设点 的运动时间为 秒．
(1) ______ ．
(2)用含 的代数式表示 的长．
(3)当点 、 、 共线时，求四边形 的面积．
(4)当 与 的直角边垂直时，直接写出t的值．
21．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）如图1，在矩形 中， ， ，点 是对
角线 上任意一点， 交 于点 ， 交 于点 ．
(1)当点 为 的中点时， __________．
(2)如图2，将四边形 绕点B逆时针旋转，连接 ， ．在旋转过程中， 是否发生变化，若不
变化，求出 的值，若发生变化，请说明理由．
(3)如图3，将四边形 绕点 逆时针旋转，连接 ， ，请直接写出旋转过程中 的值．22．（2023上·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期中）已知抛物线 与 轴交于
两点，与 轴交于点 ，连接 ，点 是 上方抛物线上一点．
备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴有一点 ，使 的周长最小，求 的坐标；
(3)过点 作 于点 ，求 的最大值；
23．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）问题情景：
我们知道，如图（a），在 中，若D，E分别是 ， 的中点，则 ，且 .
问题发现：（1）如图（b），在 中，D，E分别是 ， 的中点，若F为 的中点， 的延长
线交 于点G.
①若 ，则 ______； ② ______.
问题拓展：（2）如图（c），在（1）的条件下，若H为 的中点，BH交 于点M.若 ， ，
求 的长.
变式探究：若将问题（2）中的 改为 的平分线呢？（3）如图（d），在 中，D，E分别是 ， 的中点，若F为 的中点， 为 的平分线
交 于点M.若 ， ，请直接写出此时 的长.
24．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 两点，抛物线
过点 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ． 在第一象限内，抛物线上有一动点 ，连
接 交 于点 ．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
25．（2023上·山西临汾·九年级统考期中）综合与探究
问题情境
如图1，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，垂足为 ．
实践操作
（1）若 是 的中点，请直接写出 的长以及 的值．
（2）如图2，隐去 ，作 ，分别与 ， 交于点 ， ．若 ，求 的长．
拓展延伸
（3）如图3，在图2的基础上，连接 ， ， ，请直接写出图中阴影部分的面积．26．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象
与反比例函数 的图象交于点 和 ．
①直接写出 ____， ____， ____；
②请直接写出不等式 的解集____；连接 、 ，则 _______．
（2）如图 2，直线 与 x，y轴分别交于 A、B 两点，点 M是双曲 上一点，分
别连接 、 ．在双曲线上是否存在点 M，使得以 为斜边的 与 相似？若存在，请求
出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由．
27．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）阅读与思考：
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
在 中， 是线段 上一点，且 ，过点 作 交 于点 ，使以
为顶点的三角形与 相似，求 的长．(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答，
(3)如图，已知矩形 的边长 ，某一时刻，动点 从 点出发沿 方向以
的速度向 点匀速运动；同时，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动，是否存在
时刻 ，使以 为顶点的三角形与 相似?若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
28．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）如图，在 中，以A为圆心， 为半径画弧交 于点
F，再分别以B，F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点P，连接 并延长交 于点E，连接
，连接 ， 相交于点O．
(1)试判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)连接 交 于点Q，若四边形 的周长为40， ，求 的长．29．（2023上·陕西榆林·九年级统考期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【发现问题】
（1）如图1，在等边 中，点P是边 上任意一点，连接 ，以 为边作 的相似图形
，连接 ，判断 与 的数量关系，并说用理由；
【变式探究】
（2）如图2，在正方形 中，点P是边 上一点，以 为边作正方形 ，Q是正方形 对
角线的交点，连接 ．若正方形 的边长为10， ，求正方形 的边长．
30．（2022上·福建宁德·九年级校联考期中）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1
所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
(1)如图2，将正方形 绕点A按逆时针方向旋转，求 与 的数量关系和位置关系；
(2)如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形 和矩形 ，且 ， ， ，将矩形 绕点A按顺时针方向旋转，求 与 的数量关系和位置关系；
(3)在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中， 的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答
案）
31．（2023上·辽宁·九年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，点
D从点A出发（点D不与点A、B重合），以 的速度沿 边向终点 运动（点 不与点 、 重
合），连接 ，将 沿 翻折得到 ．设点D的运动时间为t（s）．
(1)用含t的代数式表示线段 的长；
(2)如图2，当 时，求t的值；
(3)当点A落在 内部时，求t的取值范围．
32．（2023上·山东济南·九年级统考期中）【问题背景】
中， ， ，P为 上的动点，小熙拿含 角的透明三角板，使 角的顶点落
在点P，三角板可绕P点旋转．
【用数学的眼光观察】
（1）如图1，当三角板的两边分别交 、 于点E、F时，以下结论正确的是：_______；
① ；② ；③ ；④ .【用数学的思维思考】
（2）将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交 的延长线、边 于点E、F． 与
相似吗？请说明理由；
【用数学的语言表达】
（3）在（2）的条件下，动点P运动到什么位置时， ？说明理由．
33．（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如图1，在矩形 中， ， ， ， ， 分别
从 ， ， ， 出发，沿 ， ， ， 方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是 ，
， ， ，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设
运动时间为 秒．
(1)当 为何值时，点 ， 重合；
(2)当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 的值或范围；
(3)如2图，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，当 为何值时， ．34．（2023上·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图，抛物线 的图象与
x轴分别交于点 与y轴交于点 ，且 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在线段 上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连接 ，若 ，垂足为点F，求
的长．
(3)在（2）的条件下，直线 上方的抛物线上是否存在一点Q，使四边形 面积最大，若存在，求出
点Q坐标，若不存在，说明理由．
35．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，在 中， ， ，
．动点P从点B出发，在 边上以每秒 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，
在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ．(1)用含t的代数式表示 的长．
(2)连结 ，如图①所示．当 与 相似时，求t的值．
(3)过点P作 于D，连结 ，如图②所示．当 时，直接写出线段 的长．
36．（2023上·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，
等边三角形 和 按如图1摆放，连接 延长 交 于点F，连接 ，保持 不
动，将 绕点A旋转．
【初步探究】（1）如图2，当点 ， 重合时，请直接写出 之间的数量关系：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；
若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】（3）如图3，当 和 都是等腰直角三角形， ．连接
延长 交 于点F，连接 ，试探究 之间的数量关系，并说明理由．
【推广应用】（4）如图4，在 中，若 ．连接 延长 交
于点F，连接 ，请直接写出 之间的数量关系：______；
37．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）（ ）问题发现
如图（ ），在 和 中， ， ， ，连接 交于点 ．
填空：
的值为______； 的度数为______．
（ ）类比探究如图（ ），在 和 中， ， ，连接 ，交 的延长线于点
．请求出 的值及 的度数，并说明理由．
38．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）已知：在 中， ，点 、点 分别在边
、 上且 ．
图1 图2 图3
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若 ，试探究线段 、 、 的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，连接 ，若 ， ， ，求 的长．
39．（2022上·山西运城·九年级统考期中）（1）在矩形 中， ， ， 于 ，
分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ， ．
①如图1，当 时，线段 与线段 的数量关系是 ；
②如图2，当 时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，请写出正确的结论，
并说明理由；（2）如图3，在四边形 中， ， ， 于 ，点 ， 分别在边
， 上，若 ，请直接写出 的长．
40．（2022上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形 和正方形
中，点 在一条直线上，连接 （如图1）
操作发现
（1）图1中线段 和 的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）在图1的基础上，将正方形 绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成
立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形 和正方形 都变为矩形，且 ， ＝ ，请仅就图3的情况探究 与 之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若 矩形 在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，
请直接写出 的值
41．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“折叠”为主题开展数学活动．
【问题发现】（1）如图 1，在正方形 中， ，F为 边的中点，E 为 边上一点，
连接 ，分别将 和 沿 翻折，点 A、C 的对应点分别为点 G、H，点 G 与
点 H 重合，则 ____°， _____；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形 中， ，F为 边的中点，E为 边上一点，连接 ，
分别将 和 沿 翻折，点A、C的对应点分别为点G、H，且D、H、G 三点共线，求
的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形 中， ，F为 边上的三等分点，E为 边上一点，连接
，分别将 和 沿 翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，点G与点H重合，
直线 交直线 于点P，请直接写出 的长．
42．（2023上·河北保定·九年级校考期中）如图（1）矩形 中， ， ， ，
将 绕点 从 处开始按顺时针方向旋转， 交 （或 ）于点 ， 交边
（或 ）于点 ，当 旋转至 处时， 的旋转随即停止.(1)特殊情形：如图（2），发现当 过点 时， 也恰好过点 ，此时， __________ （填
“ ”或“∽”）；
(2)类比探究：如图（3）在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理
由；
(3)拓展延伸：设 ，当 面积为4.2时，直接写出所对应的 的值.
43．（2023上·四川成都·九年级校考期中）问题探究：如图1，在正方形 ，点 分别在边
上， 于点 点 分别在边 上， ．
(1)①判断 与 的数量关系： _____ ；
②推断： ______(填数值)；
(2)类比探究：如图2，在矩形 中， ．将矩形 沿 折叠，使点 落在 边上的点
处，得到四边形 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ．试探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用1：如图3，四边形 中， ， ， ，点
分别在边 上，求 的值．
(4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP，若 ， ，求 的长．
44．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交
于 、 两点，与y轴交于点C．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D为
顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．
(3)如图②，连结 ，点M为线段 上一点，点N为线段 上一点，且 ，直接写出当n为
何值时 为等腰三角形．
45．（2023上·河北张家口·九年级统考期中）如图1，在三角形 中， ，
，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点
出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，运动时间为 秒，连接 ．(1)若 与 相似，求 的值；
(2)直接写出 是轴对称图形时 的值；
(3)如图2，连接 ，若 垂直 ，求 的值．
46．（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）已知抛物线经过 点 ．
(1)求抛物线解析式和直线 的解析式；
(2)若点 是第四象限抛物线上的一点，若 ，求点 的横坐标；
(3)如图2，点 是线段 上的一个动点（不与 重合），经过 三点的圆与过 且垂直于
的直线交于点 ，求当 最小时点 的坐标及 最小值．47．（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为 ，
，过点E作直线 轴，设直线l上的动点A的坐标为 ，连接 ，将线段 绕点B顺时
针方向旋转 得到线段 ，在射线 上取点C，构造 ，使得 ．
(1)如图1，当 时，求直线 的函数表达式．
(2)当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
(3)已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使 与 相
似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
48．（2023上·安徽合肥·九年级期中）如图，在 中， 为 边上的两个动点， ．
(1)若 （即 重合），则 时， ；
(2)若 ， ，则 与 相似吗？为什么？
(3)当 和 满足怎样的数量关系时， ？请说明理由．
49．（2023上·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图1，在 中， ，点 是边上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与
的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当 时，直接写出 的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求 与 的数量关系．
(3)将图1特殊化，如图3，当 时，若 ，求 的值.
50．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图1， 的直径 垂直弦 于点 ，且 ， ．
(1)求 的长．
(2)探究拓展：如图2，连接 ，点 是 上一动点，连接 ，延长 交 的延长线于点 ．
①当点 是 的中点时，求证： ；
②如图3，连接 ， ，当 为等腰三角形时，请计算 的长．
