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专题 09 矩形的性质与判定七类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用矩形的性质求角度、线段长
类型二、矩形与折叠问题
类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
类型五、斜边上的中线等于斜边的一半
类型六、矩形的性质与判定的综合问题
类型七、与矩形的性质与判定有关的作图
压轴专练
类型一、利用矩形的性质求角度、线段长
方法总结
1. 性质对应：明确矩形四个角为90°、对边相等、对角线相等且互相平分。
2. 方程求解：将已知条件与上述性质结合，建立关于角度或线段的方程（组）求解。
解题技巧
1. 直角三角形转化：矩形内含对角线常构成直角三角形，可运用勾股定理、三角函数。
2. 等量代换：灵活运用“对边相等”、“对角线互相平分”进行线段长度的等量代换。
例1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分
交 于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形 中， 、 相交于点O， 平分
分别交 、 于点F、E，若 ，则 的度数为 ．【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形 的对角线相交于点 ， 为 上的一
点， ， ，则 的周长为 ．
【变式1-3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形 中 为 上一点，且
为 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 是直角三角形，则 的长为
．
类型二、矩形与折叠问题
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。
解题技巧
1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。
2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。
例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形 中， ，点E是 上一动点，
连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为 ．
【变式2-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将 沿对角线BD折
叠得 ，FB和AD相交于点E，将 沿BE折叠得 ．若 ，则
的度数为 ．【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形 中， ， ，E为射线
上一动点，设 ．连接 ，点B关于 的对称点为 ，作射线 ．
(1)【基础探究】如图2，点E在线段 上，且射线 经过点D．
①求证： ；
②求此时x的值；
(2)【应用拓展】若射线 交 边于点F， ．
①当 时，求x的值；
②当 时，直接写出x的值．
【变式2-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形 中，
．
(1)如图1，P为 边上一点，将 沿直线 翻折至 的位置，其中点 是点 的对称点，当点
落在 边上时，求 的长．
(2)如图2，点 是 边上一动点，过点 作 交 边于点 ，将 沿直线 翻折得 ，
连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的长：(3)如图3，点 是射线 上的一个动点，将 沿 翻折，其中点 的对称点为 ，当
三点在同一直线上时，请直接写出 的长．
类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
方法总结
1. 先判后用：先根据已知条件（如一个角是直角且对边相等）判定四边形为矩形。
2. 性质求解：再利用矩形性质（四个直角、对角线相等且平分）建立方程，求角度或线段。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形是矩形”等简捷判定。
2. 构造直角三角形：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。
例3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)求 的度数．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形 中，点 分别在 上，
且 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【变式3-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， 于点E，延长 至点F，使
，连接 ， 与 交于点O．(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【变式3-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图， 中， ， 平分 ， ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)过点E作 于 ，若 ， ，求 的长．
类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
方法总结
1. 逐项检验：对每个结论，分别判断其是否可由已知条件结合矩形性质或判定必然推出。
2. 构造反例：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊矩形（如正方形）或改变形状进行验证。
解题技巧
1. 图形直观：准确画出一般矩形（非正方形）示意图，结合测量直观判断。
2. 逻辑推理：系统梳理矩形的性质链（边、角、对角线），结合全等、相似等几何知识严密推理。
例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形 中对角线相交于点O，有以下结论：①
；②若 ，则 是等边三角形；③ ；④ ；⑤ 平分
．正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-1】（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上，和 都是等边三角形，连接 交 于点 ．有下列结论：① ，② ，③
垂直平分 ，④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形 中，O为 中点，过点O的直线分别
与 、 交于点E、F，连结 交 于点M，连结 、 ．若， ，则下列结论，其中正
确结论的个数是（ ）
① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ．
A．1个 B．2个 C．2个 D．4个
【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在矩形 中， 为 中点， 过 点且
分别交 于 ，交 于 ，点 是 中点且 ，则下列结论正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型五、斜边上的中线等于斜边的一半
方法总结
1. 定理应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
解题技巧
1. 构造直角三角形：遇到中点及垂直条件，常连接直角顶点与斜边中点构造中线。
2. 求线段长度：已知斜边，则中线长为其一半；已知中线，则斜边长为中线的2倍。
例5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， 是 边上的高线， ．
(1)若 ， ，求 的长．
(2)若 是 边上的中线， ，求证： ．
【变式5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
点 是 、 的中点，点 在四边形 外，连接 ，且 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求矩形 的面积
【变式5-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在 中， ，则： ．探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究．
(1)如图1，取 边的中点 ，连接 ，易得结论： 为等边三角形，请说明理由，
(2)如图2， 为 的中线，点 是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点 在 的
外部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)如图3，当点 为边 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果 ，求
的度数，请直接写出你的结论．
【变式5-3】（25-26八年级上·河南焦作·期末）如图，在 中， ， ．
(1)观察猜想：如图1，作 边上的中线 ，得出以下结论：
① 的形状是___________；
② 与 之间的数量关系为___________．
(2)探索发现：如图2， 是 的中线， 是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点
在 的内部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由．
(3)拓展应用：如图3，分别以 为边作等边三角形 和等边三角形 ，连接 交 于点 ，
若 ，则 的长为___________．
类型六、矩形的性质与判定的综合问题
方法总结
1. 先判后用：首先利用已知条件（如一个角是直角的平行四边形）判定四边形为矩形。
2. 以性求值：再运用矩形的性质（四个角为90°、对角线相等）求角度、线段长或证明新结论。
解题技巧1. 判定择优：优先选择条件最直接的判定定理（如“有三个角是直角的四边形”）。
2. 数形结合：将几何关系转化为方程，常在直角三角形中用勾股定理，或用全等三角形传递边角关
系。
例6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在 中， 为 上一点，连接 ，分别作 ，
的平分线 ， ．
(1)求 的度数
(2)若 ， ，试判断四边形 的形状，并说明理由：
(3)如图2，在（2）的条件下，若 ， 为 外一点， 平分 ， ，且
，求 的长．
【变式6-1】（2025八年级上·上海·专题练习）如图①，在四边形 中，
，点E是 上一点，连接 交 于点G，延
长 交 的延长线于点F．
(1)若 ，求证： ；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接 ，求证： ；
(3)如图③，四边形 关于直线 的对称图形为四边形 ，延长 交 于点P．若
，求四边形 的面积．【变式6-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩
形纸片展开探究活动：
【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图 的形状，连接 ， ， ，则 °；
【解决问题】（2）将矩形 绕点 顺时针转动，边 与边 交于点 ，连接 ．如图2，当
时，求证： 平分 ；
【迁移应用】（3）如图 ，将矩形 绕点 顺时针转动，当点 落在 上时，连接 ， ，
交 于点 ，过点 作 于点 ．
①求证： ；
②若 ， ，直接写出 的长．
【变式6-3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现：
(1)如图1，在矩形 中， ， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作
和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值为_____．
知识应用：
(2)如图2，在矩形 中，点M，N分别在边 上，将矩形 沿直线 折叠，使点D恰好与
点B重合，点C落在点 处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线的垂线，垂足分别为E和F，以 为邻边作平行四边形 ，若 ， ，
的周长是否为定值？若是，请求出 的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边 外一点时，过点P分别作直线 的垂线、垂足分别为点E、
D、F．若 ，求出 的面积．
类型七、与矩形的性质与判定有关的作图
方法总结
1. 依据性质作图：根据矩形对边相等且平行、四个角为直角的性质，利用尺规作平行线、垂线或截取等
长线段。
2. 依据判定构图：以满足矩形判定条件（如作一个角为直角的平行四边形）为目标，逆向设计作图步
骤。
解题技巧
1. 先定直角：通常先作出一个直角，再根据条件（如边长）完成矩形。
2. 借助对角线：利用“对角线互相平分且相等”的性质，通过作线段的中垂线或等圆确定顶点。
例7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形 ．
(1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以 的长为半径画弧，交 于点E，连接 ；
②作 的平分线交 于点F；
③连接 ；
(2)在（1）作出的图形中，若 ， ，求 的面积．
【变式7-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点．请仅用无刻
度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，若 ，请在BC边上找点G，使 ．(2)如图②，P为AB边上一点，请在CD边上找点K，使 ．
【变式7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形 ， ， ，点 是边
上一点，连接 ．
(1)在边 上作出点 ，使得点 到 的距离等于线段 的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留
作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设点 到 的垂线段为 ，连接 ，若点 刚好是 的中点，补全图形（无需
尺规作图），并求此时 的长度．
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）在矩形 中， 是 边上一定点， 是直线 上一
动点，将 沿直线 翻折，点B的对应点为G．
(1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线 ；
（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的长度．
一、单选题
1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， 于
点 ，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 交于点
．若 ， ， （ ）
A．4 B． C． D．8
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形 中，点M在对角线 上，过M作 的平行线交
于E，交 于F，连接 和 ，已知 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形纸片 中， ， ，同学们按以下所给图
步骤折叠这张矩形纸片，则线段 长为（ ）
A．8 B．5 C． D．
5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别是边 、 上的动点
（点E不与A、B重合）且 ，若点G在五边形 内，且满足 ， ．则以
下结论正确的有（ ）个．① 与 一定互补；②点G到边 ， 的距离一定相等；③点G到边 ， 的距离不可能
相等；④点G到边 的距离的最大值为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，
，则 的度数为 ．
7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， 是 上的两点， ，连接 ，
， ， ．为使得四边形 是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一
种情况即可）．
8．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）在矩形 中， ， ，将 沿矩形 对
角线 折叠到 ，直线 与 交于点 ，则 的面积为 ．9．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形 中，点 为对角线 上的一点，
，垂足分别为 、 ，若 ，则 的长度为 ．
10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形 的顶点 在坐标原点，边 、 分别在 、
轴正半轴上， ， ， 是 中点， 在 轴上移动，将 沿 翻折至 ．当
的长最小时，此时 点的坐标为 ．
三、解答题
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中，点 在 上， 平分 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求 的长．
12．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图， 是矩形 的对角线，延长 至点 ，使 ，
请用无刻度的直尺及圆规按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）(1)作 的边 上的高 ，并写出简单的作图说明；
(2)延长 交 ， 分别于 ， 两点，连接 、 ，请你判断四边形 的形状并说明理由；
(3)若 ， ，请你求出 的长度．
13．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图所示，在 中， ， 是中线， 是 的
外角 的平分线， ，垂足为E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
14．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在 中， ， 为 边上的中线，点 为
的中点，连接 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
15．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现
思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可
以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义
出发完成证明过程．
已知：在平行四边形 中，对角线 ，交点为O．
求证：四边形 是矩形．应用定理
（2）如图2，在 中，O为 的中点，延长 交 的延长线于点E，连接 ，
， ．求证：四边形 是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．
16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）矩形折叠问题：
如图，把矩形 （ ）折叠，折痕为 ，点 在边 上，点 在边 上，记点 落在点
处，点 落在点 处．
(1)如图1，已知 ， ．
①甲同学折叠时使 ，点 落在矩形 的一边上，求 的长．
②乙同学折叠时使 ，且 ，求 的长．
(2)如图2，点 在点 处，作 的平分线交 的延长线于 ，过 作 的平行线交 ， 分别
于R，T．连结 ， ，若 ， ，求 的值．
