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公众号：高考试卷君公众号：高考试卷君公众号：高考试卷君公众号：高考试卷君云南民族大学附属高级中学 ２０２６届高三联考卷（五）
数学参考答案
１．【答案】Ａ
【解析】因为Ａ＝｛ｘ｜３－ｘ＞０，ｘ∈Ｎ｝＝｛１，２｝，Ｂ＝｛１，３，６｝，所以Ａ∪Ｂ＝｛１，２，３，６｝．故选Ａ．
２．【答案】Ｃ
{２－ａ＝０，
【解析】因为（２－ｉ）（１－ａｉ）＝２－ａ－（１＋２ａ）ｉ，所以 解得ａ＝２．故选Ｃ．
－（１＋２ａ）≠０，
３．【答案】Ｄ
【解析】因为ａ，ｂ共线，所以－２·ｔ－１×４＝０，解得ｔ＝－２．故选Ｄ．
４．【答案】Ｂ
３ｘ ３ｘ－９＋９ ９ ９ ９
【解析】ｆ（ｘ）＝
ｘ－３
＋ｘ＝
ｘ－３
＋ｘ＝６＋
ｘ－３
＋（ｘ－３）≥６＋２槡
ｘ－３
·（ｘ－３）＝１２，当且仅当
ｘ－３
＝ｘ－３，即ｘ＝６时取等
号．故选Ｂ．
５．【答案】Ｂ
【解析】由等比数列的性质得ａａ＝ａａ＝１，所以Ｔ ＝（ａａ）６＝１，可验证其它选项不一定成立．故选Ｂ．
６７ ５８ １２ ６７
６．【答案】Ｄ
ｙ２ ｙ２ ｘ２
【解析】由题意设该双曲线的方程为ｘ２－ ＝λ（λ≠０），把（２，４槡２）代入得λ＝－４，所以该双曲线的方程为 － ＝
４ １６ ４
公众号：高考试卷君
１．故选Ｄ．
７．【答案】Ａ
１
【解析】设ＢＣ＝２，则ＡＯ＝ＰＢ＝１，过点Ｑ作ＢＣ的垂线，垂足为Ｄ，则ＱＤ＝ ．过点Ｄ作ＰＣ的垂线，垂足为Ｅ，连
２
１
３ ３ ＱＤ ２ ２
接ＱＥ，则∠ＱＥＤ为二面角Ｂ－ＰＣ－Ｑ的平面角，ＤＥ＝ ＰＢ＝ ，所以ｔａｎ∠ＱＥＤ＝ ＝ ＝ ．故选Ａ．
４ ４ ＤＥ ３ ３
４
８．【答案】Ｃ
（ｘ＋１）２ （ｘ－１）２ ｘ２
【解析】因为ｆ（ｘ＋１）－ｆ（ｘ－１）＝－ｘ，所以ｆ（ｘ＋１）＋ ＝ｆ（ｘ－１）＋ ，所以ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ 是周期为２的周
４ ４ ４
２１２ ３２ ３２
期函数，因为ｆ（３）＋ｆ（５）＝６，ｆ（３）－ｆ（５）＝４，所以ｆ（３）＝５．因为ｇ（２１）＝ｇ（３），所以ｆ（２１）＋ ＝ｆ（３）＋ ＝５＋ ，
４ ４ ４
解得ｆ（２１）＝－１０３．故选Ｃ．
９．【答案】ＡＢＤ（每选对１个得２分）
【解析】展开式中共有９项，故Ａ正确；第３项为Ｃ２ｘ６（－１）２＝２８ｘ６，故Ｂ正确；各项系数的和为０，故Ｃ错误；二项
８
式系数的最大值为Ｃ４＝７０，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ．
８
１０．【答案】ＢＣ（每选对１个得３分）
【解析】槡１＋ｓｉｎ２α＝ｓｉｎα＋ｃｏｓα，故当ｍ＝０时，“ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｍ”是“槡１＋ｓｉｎ２α＝ｍ”的充要条件，当ｍ＝１
时，由ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１，可得槡１＋ｓｉｎ２α＝１，由槡１＋ｓｉｎ２α＝１可得ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝±１，Ｂ满足题意，同理Ｃ满足题意；
又ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤槡２，Ｄ不满足题意．故选ＢＣ．
云南·高三数学 第 １页（共５页）
书书书１１．【答案】ＢＤ（每选对１个得３分）
ｐ ｐ １
【解析】把Ｐ（２，２）代入Ｃ的方程得４＝４ｐ，解得ｐ＝１，对于Ａ，ＦＱ＝ｘ＋ ＞ ＝ ，故Ａ错误；对于Ｂ，若直线
Ｑ ２ ２ ２
１ π
ＰＱ经过点Ｆ，则ｙｙ＝２ｙ＝－ｐ２＝－１，所以ｙ＝－ ，故Ｂ正确；对于Ｃ，因为∠ＰＯＦ＝ ，当∠ＰＯＱ为钝角时，点
ＰＱ Ｑ Ｑ ２ ４
Ｑ必在ｘ轴下方，且ｋ ＜－１，所以－２＜ｙ＜０，故Ｃ错误；对于Ｄ，设直线ＯＱ的方程为ｋｘ－ｙ＝０，当点Ｐ到直线ＯＱ
ＯＱ Ｑ
２ ２ｋ－２ ２ ４ ３
的距离为 时， ＝ ，解得ｋ＝ 或ｋ＝ ，故Ｄ正确．故选ＢＤ．
５ 槡ｋ２＋１ ５ ３ ４
１２．【答案】０．４（写成０．４％也正确）
【解析】把这７个数按照从小到大排列为０．１，０．２，０．２，０．４，０．４，０．４，０．４，又７×４５％＝３．１５，故这７个数据的
４５％分位数是第４个数０．４．
１３．【答案】１
【解析】由题意得｛ｂ｝的前若干项依次为１，１，０，－１，１，０，－１，１，０，…，从第２项起构成周期为３的周期数列，且
ｎ
一个周期内的３个数之和为０，所以前１００项的和为１．
１４．【答案】（０，ｅ２］
ａ
【解析】由ｘ＞０，ａｘ＞０，得ａ＞０．设ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋１－ａ［ｌｎ（ａｘ）－１］，得ｆ′（ｘ）＝ｅｘ＋１－ ，由ｆ′（ｘ）在区间（０，＋!）上单调递
ｘ
增，且值域为Ｒ，所以存在ｘ∈（０，＋!），使得ｆ′（ｘ）＝０，即ｅｘ０＋１＝ ａ ，即ａ＝ｘｅｘ０＋１，且当ｘ∈（０，ｘ）时，ｆ′（ｘ）＜０，
０ ０ ｘ ０ ０
０
ｆ（ｘ）单调递减；当ｘ∈（ｘ，＋!）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，所以ｆ（ｘ）≥ｆ（ｘ）＝ｅｘ０＋１－ａ［ｌｎ（ａｘ）－１］＝ｅｘ０＋１－
０ ０ ０
ｘｅｘ０＋１［ｌｎ（ｘ２ｅｘ０＋１）－１］＝ｘｅｘ０＋１( １ －２ｌｎｘ－ｘ ) ．由ｘｅｘ０＋１＞０，设ｇ（ｘ）＝ １ －２ｌｎｘ－ｘ，则ｇ（ｘ）在区间（０，＋!）上单
０ ０ 公０ 众ｘ 号０ ：０ 高０ 考试ｘ卷君
０
调递减，且ｇ（１）＝０，所以０＜ｘ≤１，ａ＝ｘｅｘ０＋１ ∈（０，ｅ２］．
０ ０
ａ
１５．解：（１）由ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ＝ 及正弦定理，
２ｃｏｓＡ
ｓｉｎＡ ｓｉｎＡ
得ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝ ，即ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡ＝ ，（３分）
２ｃｏｓＡ ２ｃｏｓＡ
因为０＜Ａ＜π，ｓｉｎＡ≠０，
１ π
所以ｃｏｓＡ＝ ，Ａ＝ ．（６分）
２ ３
( １) １ 槡３ １
（２）由ｆ（ｘ）的图象经过点Ｐ０， ，得 ｓｉｎＡ＝ ＝ ，（８分）
２ ａ ２ａ ２
槡３
１×
ｂｓｉｎＡ ２ １
所以ａ＝槡３，ｓｉｎＢ＝ ＝ ＝ ，（１０分）
ａ 槡３ ２
π π
所以Ｂ＝ ，Ｃ＝ ，ｃ＝２ｂ＝２，（１２分）
６ ２
槡３ ( π)
所以ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ２ｘ＋ ．（１３分）
３ ３
２１ ２４
１６．解：（１）由题意珋ｔ＝ ＝３．５，珋ｚ≈ ＝４，（１分）
６ ６
６
∑ｔｚ－６ｔｚ
ｂ＾＝ｉ＝１ ｉｉ ≈ ９１－６×３．５×４ ＝ ９１－８４ ＝ ７ ＝０．４，（３分）
∑
６
ｔ２－６珋ｔ２
９１－６×３．５２ ９１－７３．５１７．５
ｉ＝１ ｉ
云南·高三数学 第 ２页（共５页）则ａ＾＝珋ｚ－ｂ＾珋ｔ＝４－０．４×３．５＝４－１．４＝２．６．（５分）
故＾ｚ＝０．４ｔ＋２．６．（６分）
由ｚ＝ｌｎｙ及上式得ｌｎｙ＾＝０．４ｔ＋２．６，即ｙ＾＝ｅ０．４ｔ＋２．６＝ｅ２．６·ｅ０．４ｔ．（８分）
其中ｅ２．６≈１３．４６．故指数回归方程为ｙ＾＝１３．４６·ｅ０．４ｔ．（９分）
（２）设随机变量Ｘ为５人中参与“低碳积分”活动的人数，则Ｘ～Ｂ（５，０．３）．（１１分）
恰有２人参与的概率Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２（０．３）２×（０．７）３＝１０×０．０９×０．３４３＝０．３０８７．（１５分）
５
１
１７．（１）证明：当ａ＝１时，要证明ｘ＞１，ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ），即证ｘ＞１，２ｌｎ槡ｘ－槡ｘ＋ ＜０，
槡ｘ
１
设槡ｘ＝ｓ，则ｓ＞１，问题转化为ｓ＞１，２ｌｎｓ－ｓ＋ ＜０，（２分）
ｓ
１ ２ １ （ｓ－１）２
设Ｆ（ｓ）＝２ｌｎｓ－ｓ＋ ，ｓ＞１，则Ｆ′（ｓ）＝ －１－ ＝－ ＜０，（４分）
ｓ ｓ ｓ２ ｓ２
所以Ｆ（ｓ）在区间（１，＋!）上单调递减，所以Ｆ（ｓ）＜Ｆ（１）＝０，即ｘ＞１，ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）得证．（６分）
（２）解：ｈ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－［ｇ（ｘ）］２＝ａｌｎｘ－
(
槡ｘ－
１)２
＝ａｌｎｘ－ｘ－
１
＋２，定义域为（０，＋!）．
槡ｘ ｘ
ａ １ ｘ２－ａｘ－１
求导得ｈ′（ｘ）＝ －１＋ ＝－ ．（７分）
ｘ ｘ２ ｘ２
令ｈ′（ｘ）＝０，即ｘ２－ａｘ－１＝０，其判别式Δ＝ａ２＋４＞０，
ａ＋ 槡ａ２＋４
故有唯一正根ｘ＝ ＞１．（８分）
０ ２
因此ｈ（ｘ）在区间（０，ｘ）上单调递增，在区间（ｘ，＋!）上单调递减，ｘ为极大值点．（９分）
０ ０ ０
公众号：高考试卷君
１
由ｘ满足ｘ２－ａｘ－１＝０，得ａ＝ｘ－ ＞０，
０ ０ ０ ０ ｘ
０
１ ( １) １
故极大值ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ－ ＋２＝ｘ－ ｌｎｘ－ｘ－ ＋２．（１０分）
０ ０ ０ ｘ ０ ｘ ０ ０ ｘ
０ ０ ０
( １) １ ( １)
设Ｆ（ｔ）＝ｔ－ ｌｎｔ－ｔ－ ＋２（ｔ＞１），则Ｆ′（ｔ）＝１＋ ｌｎｔ＞０，
ｔ ｔ ｔ２
且Ｆ（１）＝０，故Ｆ（ｔ）＞０对任意ｔ＞１成立，故ｈ（ｘ）＞０．（１２分）
０
( １) １
又ｈ ＝－ａ－ －ｅ＋２＜０，当ｘ→＋!时，ｈ（ｘ）→－!，
ｅ ｅ
故ｈ（ｘ）在区间（０，ｘ）和（ｘ，＋!）上各有１个零点．
０ ０
综上，函数ｈ（ｘ）的零点个数为２．（１５分）
１８．（１）解：设ｃ＝槡ａ２－ｂ２，则
ｃ
＝
槡ａ２－ｂ２
＝
槡３
，
ａ ａ ２
整理得ａ＝２ｂ．（２分）
因为Ｃ经过点Ｐ
(
１，
槡３)
，所以
１
＋
３
＝１，
２ ａ２ ４ｂ２
与ａ＝２ｂ联立得ａ２＝４，ｂ２＝１，（４分）
ｘ２
所以Ｃ的方程为 ＋ｙ２＝１．（５分）
４
（２）（ｉ）解：因为Ｐ
(
１， 槡
２
３)
，Ｆ
１
（－槡３，０），Ｆ
２
（槡３，０），（６分）
所以Ｐ Ｆ →
１
＝ ( －槡３－１，－ 槡
２
３) ，Ｐ Ｆ →
２
＝ ( 槡３－１，－ 槡
２
３) ，
云南·高三数学 第 ３页（共５页）所以 Ｐ Ｆ →
１
＝
槡
（槡３＋１） ２＋ ( 槡
２
３)２ ＝槡４＋２槡３＋
４
３ ＝２＋ 槡
２
３ ，
→ 槡３
同理可得 ＰＦ ＝２－ ．（８分）
２ ２
因为ｌ的斜率为ｋ，所以ｌ的一个方向向量ｎ＝（１，ｋ），
所以ｎ· ( Ｐ Ｆ → １ ＋ Ｐ Ｆ → ２ ) ＝（１，ｋ）· －槡３－１ ＋ 槡３－１ ， － 槡 ２ ３ ＋ － 槡 ２ ３
→ →
ＰＦ
１
ＰＦ
２
２＋
槡３
２－
槡３
２＋
槡３
２－
槡３
２ ２ ２ ２
－１－２槡３ｋ
＝ ＝０，（１０分）
(
２＋
槡３)
×
(
２－
槡３)
２ ２
１ 槡３
所以－１－２槡３ｋ＝０，ｋ＝－ ＝－ ．（１１分）
２槡３ ６
（ｉｉ）证明：由（ｉ）知，直线ｌ的斜率ｋ＝－
槡３
，且经过点Ｐ
(
１，
槡３)
，
６ ２
槡３ 槡３ 槡３ ２槡３
所以ｌ的方程为ｙ－ ＝－ （ｘ－１），即ｙ＝－ ｘ＋ ，（１３分）
２ ６ ６ ３
ｘ２
代入 ＋ｙ２＝１得ｘ２－２ｘ＋１＝０，（１５分）
４
解得ｘ＝１，（１６分）
公众号：高考试卷君
所以直线ｌ与Ｃ只有１个公共点．（１７分）
１９．（１）证明：由题意知，△ＡＢＣ是正三角形，且四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，
如图，连接ＢＤ与ＡＣ交于点Ｅ，连接ＢＥ，
１
则点Ｅ为ＡＣ中点，所以ＢＥ⊥ＡＣ．
因为三棱锥Ｂ－ＡＢＣ是正三棱锥，ＢＡ＝ＢＣ，所以ＢＥ⊥ＡＣ．（２分）
１ １ １ １
因为ＢＥ∩ＢＥ＝Ｅ，所以ＡＣ⊥平面ＢＥＢ，
１ １
因为ＢＢ平面ＢＥＢ，所以ＢＢ⊥ＡＣ．（４分）
１ １ １
因为ＡＡ∥ＢＢ，所以ＡＡ⊥ＡＣ，
１ １ １
又因为ＡＡ瓛ＣＣ，所以四边形ＡＣＣＡ是矩形．（５分）
１ １ １ １
( " ! #
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" # %
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&
（２）（ｉ）解：如图，取ＢＣ的中点Ｇ，连接ＡＧ，
以点Ａ为原点，直线ＡＧ，ＡＤ分别为ｘ，ｙ轴，过点Ａ与平面ＡＢＣ垂直的直线为ｚ轴建立空间直角坐标系，（６分）
因为△ＡＢＣ是边长为２槡３的正三角形，所以ＡＧ＝３，
( ２ )２
因为ＢＢ
１
＝２槡５，所以点Ｂ
１
到平面ＡＢＣ的距离为槡（２槡５）２－
３
×３ ＝４，
云南·高三数学 第 ４页（共５页）所以Ａ（０，０，０），Ｂ（３，－槡３，０），Ｃ（３，槡３，０），Ｂ
１
（２，０，４），（７分）
→ → → →
所以ＡＣ＝（３，槡３，０），ＡＢ
１
＝（２，０，４），ＡＢ＝（３，－槡３，０），ＢＢ
１
＝（－１，槡３，４），
→ → → → →
ＣＤ
１
＝ＤＤ
１
－ＤＣ＝ＢＢ
１
－ＡＢ＝（－４，２槡３，４），（８分）
设平面ＢＡＣ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１
{ｍ·Ａ → Ｃ＝０， {３ｘ＋槡３ｙ＝０，
则 即
ｍ·Ａ Ｂ → ＝０， ２ｘ＋４ｚ＝０，
１
取ｘ＝２，则ｍ＝（２，－２槡３，－１），（９分）
设平面ＤＡＣ的法向量为ｎ＝（ａ，ｂ，ｃ），
１
{ｎ·Ａ → Ｃ＝０， {３ａ＋槡３ｂ＝０，
则 即
→
ｎ·ＣＤ＝０， －４ａ＋２槡３ｂ＋４ｃ＝０，
１
取ａ＝２，则ｎ＝（２，－２槡３，５）．（１０分）
设平面ＢＡＣ与平面ＤＡＣ的夹角为θ，
１ １
ｍ·ｎ １１ １１槡６９７
则ｃｏｓθ＝ ＝ ＝ ，
ｍ ｎ 槡１７×槡４１ ６９７
１１槡６９７
所以平面ＢＡＣ与平面ＤＡＣ夹角的余弦值为 ．（１１分）
１ １ ６９７
→ → →
（ｉｉ）解：由（ｉ）知ＡＤ
１
＝ＡＣ＋ＣＤ
１
＝（３，槡３，０）＋（－４，２槡３，４）＝（－１，３槡３，４），
所以Ｄ
１
（－１，３槡３，４），（１２分）
因为三棱锥Ｂ－ＡＢＣ是 公 正三棱 众 锥，所以 号 球心 ： Ｏ必在 高 该棱锥 考 的高所 试 在直线 卷 上， 君
１
即在过点Ｂ与平面ＡＢＣ垂直的直线上，（１３分）
１
所以设Ｏ（２，０，ｔ），球Ｏ的半径为Ｒ，
由ＯＡ＝ＯＤ
１
得Ｒ２＝２２＋０２＋ｔ２＝（２＋１）２＋（０－３槡３） ２＋（ｔ－４）２，
解得ｔ＝６，Ｒ２＝４＋３６＝４０，（１５分）
所以球Ｏ的表面积为４πＲ２＝１６０π．（１７分）
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