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专题 09 锐角三角函数（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在 中， 是斜边 上的高， ，则
下列比值中等于 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A． =cosA，不符合题意；
B． =tanA，不符合题意；
C． =cos∠DBC=cosA，不符合题意；
D． =sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．
2．(本题4分)（2022·四川乐山·九年级期末）在Rt ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA=( )
△
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理计算出AC长，再利用余弦定义可得答案．
【详解】解：如下图．∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 的余弦，
记作 ．
3．(本题4分)（2022·山西·九年级专题练习）如图，在 ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D为BC的中点，
DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AD，由 ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，
可证得AD⊥BC，再利用△勾股定理，求得AD的长，那么在直角 ABD中根据三角函数的定义求出
tan∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是△tan∠BDE=tan∠BAD．
【详解】解：连接AD，
∵△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD BC＝6，
∴AD ，
∴tan∠BAD ．
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90°，∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠BAD，
∴tan∠BDE=tan∠BAD ，
故选：C．
【点睛】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．
此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
4．(本题4分)（2022·湖南永州·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值对各选项进行逐一判断即
可．
【详解】解：A、 原计算错误，该选项不符合题意；
B、 正确，该选项符合题意；
C、 原计算错误，该选项不符合题意；
D、 原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、算术平方根及特殊角的三角函数值，熟记相关运算法则及
公式是解答本题的关键．5．(本题4分)（2021·内蒙古包头·九年级期末）已知水库的拦水坝斜坡的坡度为 ，则这个拦水坝的坡
角为（ ）度．
A．30 B．45 C．60 D．90
【答案】A
【分析】根据坡度是坡角的正切值，利用特殊角的三角函数值求出坡角的度数
【详解】解：∵水库的拦水坝斜坡的坡度为1: ，
∴坡角的正切值就是1: ，即 ，
∴坡角的度数为30度，
故选A
【点睛】本题考查了坡度的意义，熟记特殊角三角函数值是解题关键
6．(本题4分)（2021·山东东平东原实验学校九年级阶段练习）若cos∠1=0.8，则∠1的度数在（ ）范围
内．
A．0°＜∠1＜30° B．30°＜∠1＜45° C．45°＜∠1＜60° D．60°＜∠1＜90°
【答案】B
【分析】 ， ，由此判断得到正确答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴
故选：
【点睛】本题考查根据锐角三角函数的数值，判断角度的取值范围，牢记特殊三角函数值是关键．
二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（2022·山东临沂·一模）设α是锐角，如果tanα＝3，那么cotα＝_____．【答案】
【分析】根据三角形函数间的关系即可求得．
【详解】解：∵tanα•cotα＝1，tanα＝3，
∴cotα＝ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角函数间的关系，熟练掌握和运用三角函数间的关系是解决本题的关键．
8．(本题5分)（2022·河南南阳·九年级期末）平面直角坐标系内有点 ，若 与x轴的锐角夹角为
，则 的值为__________．
【答案】
【分析】根据题意作出图形，过点 作 轴于点 ，勾股定理求得 的长，根据正弦的定义即可求
解．
【详解】解：如图，过点 作 轴，于点 ，
∵点 ， 轴，
∴ ，
，
∴ ，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了角的正弦值，勾股定理，坐标与图形，理解正弦的定义是解题的关键．
9．(本题5分)（2022·广东·二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=2，tan∠OAC= ，图中阴影部
分的面积为_______．（结果保留π）
【答案】
【分析】利用正切函数求得OC ，利用阴影部分的面积=扇形OAB的面积- AOC的面积，即可求解．
△
【详解】解：在Rt AOC中，OA=2，tan∠OAC= ，
△
∴ ，即 ，
∴OC ，
∴扇形OAB的面积为 ，
AOC的面积为 ×2× = ，
△
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正切函数，扇形的面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．(本题5分)（2022·广东·佛山市南海区南海实验中学一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A＝ ，若
AB＝5，则△ABC的面积是 _____．
【答案】6
【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．
【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=5cm，
∴sin∠A＝ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·云南曲靖·一模）如图， ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，
BE=EC，过点D的切线交AC的延长线于点F．△
(1)求证：BC∥DF；
(2)若sin∠BAD= ，AB=4 ，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得到AD⊥BC，根据切线的性质得到AD⊥DF，根据平行线的判定定理即可得
到结论；
（2）连接CD，根据三角函数的定义得到CE=BE=4，根据勾股定理得到AE=8，根据三角函数的定义即可
得到结论．
(1)
证明：∵AD为⊙O的直径，BE=CE，
∴AD⊥BC，
∵DF是⊙O的切线，∴AD⊥DF，
∴BC∥DF；
(2)
解：连接CD，
∵sin∠BAD= ，AB=4 ，
∴CE=BE=4，
∴AE= =8，
∵AD⊥BC，
∴AC=AB=4 ，
∵cos∠CAD= ，
∴ ，
∴AD=10，AF=5 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角函数的定义，平行线的判定，正确地作出辅助线是解题
的关键．
12．(本题10分)（2022·北京·九年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】利用绝对值的性质、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简
即可得出答案．
【详解】解：原式 ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值与实数的运算，熟练掌握运算法则和特殊的三角函数值是解本题
的关键．零指数幂的运算法则： ；负整数指数幂的法则： ．
13．(本题12分)（2021·上海·八年级期末）如图，在 中， ， ， ，求： 的面
积和 的度数．
【答案】 ；
【分析】根据勾股定理解答即可求出 的面积，利用三角函数求出 的度数．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，设BD=x，DC=8-x，
由勾股定理可得：
即
解得:x=
∴AD=
∴△ABC的面积= BC·AD=
在Rt△ACD中，
∵sinC=
∴∠C=60°答： 的面积为 ， 为60°．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理得出AD的长．
14．(本题12分)（2019·全国·九年级单元测试）已知：如图， ， 、 是 上的两点，
．
（1）求证： ；
（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．
【答案】（1）证明见解析；（2）增大．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义进行比较即可；
（2）由（1）可总结出规律．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ 和 均为直角三角形，
∴ ， ，
∴ ；
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性.
15．(本题12分)（2022·湖北鄂州·二模）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝
BF．连接DE，AF交于点G．(1)求证：DE⊥AF；
(2)若点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为 ．过点B作BH⊥AF于点H，求线段
GH的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】(1)根据正方形的性质，运用互余的性质，证明 DAE≌△ABF，后利用互余性质证明即可．
(2)根据正方形的性质，利用三角函数，平行线分线段成△比例定理求解即可．
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠DAE=∠ABF=90°，
∵ AE=BF，
∴ DAE≌△ABF（SAS），
∴△∠EAG=∠ADG，
∵∠EAG+∠GAD=90°，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
∴∠AGD=90°，
∴DE⊥AF．
(2)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA=BC，∠DAE=∠ABF=90°，
∵点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为 ．
∴AE=BF= ，
∴ DAE≌△ABF（SAS），
△∴∠EAG=∠ADG，
∵∠EAG+∠GAD=90°，
∴∠ADG+∠GAD=90°，
∴∠AGD=90°，
∴DE⊥AF，
∴tan∠ADE=tan∠EAG= .，
∴ ，
解得AG=2，
∵BH⊥AF，
∴EG∥BH，
∴ ，
∵AE=EB，
∴GH=AG=2.．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，平行线分线段成比例定理，熟
练掌握正方形的性质，灵活运用三角函数，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
