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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.1有理数的有关概念12大考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训
练）
【目标导航】
【知识梳理】
一、正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面
的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的
数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包
含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
二、有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小
数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化
成分数形式，因而不属于有理数．
3、有理数的分类：
三、数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
四、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除 0外，互
为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，
结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相
反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用
小括号．
五、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
（3）绝对值的非负性
任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一项
都必须等于0．
根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．
六、科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，
n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n
为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位
数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用
此法表示，只是前面多一个负号．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
1 5
【例1】（2021·四川·荣县一中七年级阶段练习）在−1 ，−1.2，−2，+ ，0中，负数
2 6
的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据负数的定义判断即可．
1
【详解】解：−1 ，−1.2，−2是负数，有3个，
2
故选：B．【点睛】本题考查了负数的定义，熟知比0小的数叫做负数是解题的关键．
【变式1.1】（2021·湖南·常德市第二中学七年级期中）如果把向东走3km记作+3km，那
么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
【答案】B
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：向东走3km记作+3km，那么-2km表示向西走2km，
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什
么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一
个就用负表示．
【变式1.2】（2022·全国·七年级课时练习）下列各组数中，具有相反意义的量是( )
A．盈利40元和运出货物20吨 B．向东走4千米和向南走4千米
C．身高180 cm和身高90 cm D．收入500元和支出200元
【答案】D
【分析】根据相反意义的量依次进行判断即可．
【详解】解：A．盈利40元和运出货物20吨，不是相反意义的量，盈利对应亏损，不符合
题意；
B．向东走4千米和向南走4千米，不是相反意义的量，向东对应向西，不符合题意；
C．身高180 cm和身高90 cm，不是相反意义的量，不符合题意；
D．收入500元和支出200元，是相反意义的量，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相反意义的量，注意常用的有盈利和亏损，向东和向西，向南和
向北，收入和支出，这类相反词．
【变式1.3】（2022·浙江·七年级专题练习）规定：（↑30）表示零上30°C，记作+30，
（↓5）表示零下5°C，记作（ ）
1 1
A．+5 B．−5 C．+ D．−
5 5
【答案】B
【分析】先明确“正”和“负”所表示的意义，然后根据题意作答即可．
【详解】解：规定：（↑30）表示零上30摄氏度，记作+30；则（↓5）表示零下5摄氏度，
记作﹣5．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义，弄清题意、知道“正”和“负”所表示的
意义是解答本题的关键．
【考点2】有理数
【例2】（2021·甘肃·白银市平川区第二中学七年级期中）在-3.5，227，0，π，0.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，有理数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循
环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在-3.5，227，0，π，0.6161161116…（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，
有理数的个数为-3.5，227，0，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的定义是解题的关键．
【变式2.1】（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学七年级阶段练习）下列说法中，正确的
是（ ）．
A．有理数分为正数、0和负数 B．有理数分为正整数、0和负数
C．有理数分为分数和整数 D．有理数分为正整数、0和负整数
【答案】C
【分析】根据“整数和分数统称为有理数”即可求解．
【详解】解：A. 有理数分为正有理数、0和负有理数，故选项A不正确；
B. 有理数分为正整数、0和负数不正确，故选项B不正确；
C. 有理数分为分数和整数，故选项C正确；
D. 整数分为正整数、0和负整数，故选项D不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查有理数的概念，熟记有理数分为整数和分数即可．
π
【变式2.2】（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在下列六个数中：0， ，
2
22
− ，0.101001，-10%，5.21˙3˙，分数的个数是（ ）
7
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，解答即可．
22
【详解】解：分数有− ，0.101001，-10%，5.21˙3˙，共4个．
7
故选：C
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握一切有理数都可以化成分数的形式，且
π
不是有理数是解答本题的关键．
2
5 7
【变式2.3】（2022·全国·七年级期中）在下列各数：− ,+1,6.7,3,0, ,−5,25%中，属
6 22
于整数的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据有理数的分类，即可求解．
【详解】解：整数有+1,3,0,−5，共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
【考点3】“0”的 意义
【例3】（2022·全国·七年级课时练习）课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位
同学共说了下列四句话：
①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；
③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】分别依据整数的定义、0的性质、和0的意义进行判断即可．
【详解】解：自然数中包括0，当然0也是整数，所以①③都不正确；
0既不是正数也不是负数，所以②正确；
而在实际生活中0具有实际的意义，如0℃，所以④不正确；
故正确的只有②，
故选：D．
【点睛】本题主要考查对0的理解，解题的关键是知道0是整数，也是自然数；0既不是正
数也不是负数；0具有实际的意义．
【变式3.1】（2021·黑龙江·密山市教师进修学校期末）下列说法正确的是（ ）
A．一个数不是正数就是负数 B．0是正数
C．0不是自然数 D．自然数中除0外都是正数
【答案】D
【分析】根据有理数的概念，有理数的分类逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 一个数不是正数就是负数或0，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0既不是正数也不是负数，故该选项不正确，不符合题意；
C. 0是自然数，故该选项不正确，不符合题意；
D. 自然数中除0外都是正数，故该选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握0的意义，以及有理数的分类是解题的关键．
【变式3.2】（2021·天津南开·七年级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．整数一定是正数 B．有这样的有理数，它既不是正数，也不是
负数
C．零是最小的整数 D．有这样的有理数，它既是正数，也是负数【答案】B
【分析】根据正数、负数、整数的定义和特点，“0”的特点选择即可．
【详解】A．整数不一定是正数，如-1，故该选项错误，不符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，故该选项正确，符合题意；
C．-1也是整数比0小，故该选项错误，不符合题意；
D．没有即是正数又是负数的数，故该选项错误，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查有理数的意义，掌握正数、负数、整数的定义和特点，熟记0是整数，
但不是正数，也不是负数是解答本题的关键．
【变式3.3】（2022·全国·七年级课时练习）下列说法错误的是（ ）
A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数
C．0°C是零上温度和零下温度的分界线 D．海拔高度是0米表示没有高度
【答案】D
【分析】根据有理数0的特殊性质解答．
【详解】解：A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意，
B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意；
C、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意，
D、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查0这个数的知识点，①既不是正数，也还是负数；②是整数；③是
最小的自然数；④是正数和负数分界．
【考点4】数轴
【例4】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上表示整数的点称为整点，某数
轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2007cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是
（ ）
A．2005或2006 B．2006或2007 C．2007或2008 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据线段的位置分为两种：起点在整点、不在整点两种，分别得到整点的个数即
可．
【详解】依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2008个数（因为相邻两个数之间的距
离为1cm，可以参考图1）；
②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2007个数（可以参考图2）．
故选：C．【点睛】本题主要考查了利用数轴确定有理数的个数，正确理解题意利用数形结合和分类
讨论的思想求解是解题的关键．
【变式4.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）如图，数轴上点M所表示的数可
能是（ ）
A．1.5 B．−1.6 C．−2.6 D．−3.4
【答案】C
【分析】根据数轴上的点表示数的方法得到点M表示的数大于-3且小于-2，然后分别进行
判断即可．
【详解】解：∵点M表示的数大于-3且小于-2．
∴A、B、D三选项错误，C选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了数轴：数轴有三要素，原点左边的点表示负数，右边的点表示正数．
【变式4.2】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）数轴上两点M，N表示的数分别为
2，n，若MN＝3，则n＝（ ）
A．﹣1或5 B．1或一5 C．﹣1 D．1
【答案】A
【分析】
依据M与N在数轴上的位置关系分类列式计算即可
【详解】（1）若M在N的左侧，则MN=n -2=3
解得：n=5
（2）若M在N的右侧，则MN==2-n=3
解得：n=-1
综上：n=-1或n=5
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间距离的表示，分类求解是解题注意点也是解题关键．
【变式4.3】（2022·河南·延津县清华园学校七年级阶段练习）正方形纸板ABCD在数轴上
的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方
向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2022对应的点是（ ）A．D B．C C．B D．A
【答案】C
【分析】分析出前几次点对应的数值，找到规律，即可求解．
【详解】由图可知，A−1、D−0
旋转一次：B−2
再旋转一次：C−3
再旋转一次：D−4
再旋转一次：A−5
依次循环
发现：A、B、C、D四个点依次循环，
∵2022=4×505+2
∴2022对应的点为B
故选：C．
【点睛】此题主要考查数轴上点的规律探索，解题的关键是理解题意并找到点的运动轨迹．
【考点5】相反数
【例5】（2021·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（
）
A．+（﹣2）和﹣|﹣2| B．﹣5和﹣（﹣5）
1
C．+（﹣3）和﹣3 D．﹣ 和2
2
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数是相反数，可判断互为相反数两个数．
【详解】解：+（﹣2）=﹣2，﹣|﹣2|=﹣2，故A不符合题意；
﹣（﹣5）＝5，5和﹣5互为相反数，故B符合题意；
+（﹣3）=﹣3，故C不符合题意；
1
﹣ 和2不是互为相反数，故D不符合题意；
2
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，理解﹣（﹣5）＝5是解题关键．
【变式5.1】（2022·黑龙江哈尔滨·期末）下列关于相反数的说法中，不正确的是（ ）．
A．两个数的和为零，这两数为互为相反数
B．数轴上在原点两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数
C．两个数的商为-1，则这两个数互为相反数D．符号不相同的两个数为互为相反数
【答案】D
【分析】根据“只有符号不同的两个数是互为相反数”，逐个判断得结论．
【详解】解：A．若两个数的和为零，则这两个数互为相反数，选项正确，不符合题意；
B．数轴上在原点两旁，到原点距离相等的两个点所表示的两个数是互为相反数，选项正
确，不符合题意；
C．若两个数的商为﹣1时，则这两个数互为相反数，选项正确，不符合题意；
D．符号不相同的两个数如+2和﹣3，它们不互为相反数，选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解决本题的关键．
【变式5.2】（2021·江苏淮安·七年级期中）如图，若代数式2a的相反数是－1，则表示a
的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【分析】根据相反数的定义求得a的值，进而结合数轴即可求解．
【详解】解：∵代数式2a的相反数是－1，
∴2a=1，
1
∴a= ，
2
1
∵0< <1，
2
则表示a的值的点落在段②，
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，数轴上的点表示数，数形结合是解题的关键．
【变式5.3】（2022·全国·七年级单元测试）如图，在不完整的数轴上，点A，B分别表示
数a，b，且a与b互为相反数，若AB＝8，则点A表示的数为（ ）
A．－4 B．0 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，可知A，B两点到原点的
距离相等，进而可求出B点表示的数，进而可求出A点表示的数．
【详解】解：因为AB＝8，且点A，B分别表示数a， b互为相反数，
所以A，B两点到原点的距离相等，则B点表示的数为：8÷2=4，
则A点表示的数为：﹣4，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的几何意义，数轴上两点之间的距离，能够熟练掌握数形结合思
想是解决本题的关键．
【考点6】绝对值
【例6】（2022·甘肃·民勤县第六中学七年级期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置
如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（ ）
A．a B．b C．c D．无法确定
【答案】B
【分析】直接利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的几何意义得出答案．
【详解】解：∵a与c互为相反数，
∴原点在a，c的中间，
∴b距离原点最远，
∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是b．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴，绝对值，相反数，正确得出原点位置是解题关键．
【变式6.1】（2022·黑龙江大庆·期末）−|−6|的相反数是（ ）
1 1
A．－6 B． C．− D．6
6 6
【答案】D
【分析】先化简绝对值，然后根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：∵−|−6|=-6
∴-6的绝对值为6．
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值化简、相反数的定义等知识点，掌握相反数的定义成为解
答本题的关键．
【变式6.2】（2022·甘肃·民勤县第六中学七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．有理数的绝对值一定比0大
C．若两个数的绝对值相等，则这两个数相等D．有理数的相反数一定比0小
【答案】A
【分析】根据绝对值和相反数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、互为相反数的两个数的绝对值相等，正确，符合题意；
B、因为有理数0的绝对值等于0，所以有理数的绝对值一定比0大错误，不符合题意；
C、若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，所以此选项说法错误，不符合题意；
D、因为小于0的有理数的相反数大于0，所以此选项说法错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数和绝对值，属于基础题型，注意对基础概念的理解是解此类题的
关键．
【变式6.3】（2022·河南郑州·七年级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置
如图所示，化简|a−c|+|a+b|−|b−c|=（ ）
A．2b B．−2a C．2a−2c D．−2b−2c
【答案】B
【分析】根据数轴，得a<b<0<c；a−c<0，a+b<0，b−c<0，根据绝对值的性质，即
可．
【详解】∵a<b<0<c且a−c<0，a+b<0，b−c<0
∴|a−c|=−(a−c)；|a+b|=−(a+b)；|b−c|=−(b−c)
∴|a−c|+|a+b|−|b−c|
=−a+c−a−b−(c−b)
=−a+c−a−b−c+b
=−2a
故选：B．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题的关键是掌握一个负数的绝对值是它的相反数，
绝对值的几何意义．
【考点7】绝对值的非负性
【例7】（2022·河北唐山·七年级期末）已知|a+3|+(b−2) 2=0，则(a+b) 2019的值为
（）
A．2019 B．−2019 C．−1 D．1
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计
算即可．
【详解】解：∵|a+3|+(b−2) 2=0
∴a+3=0，b-2=0，
∴a=−3，b=2，
∴(a+b) 2019=(−3+2) 2019=−1．
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．
【变式7.1】（2022·全国·七年级课时练习）若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（ ）
A．a与b不相等 B．a与b互为相反数 C．a与b互为倒数 D．a=b=0
【答案】D
【分析】根据绝对值的非负性求解即可得．
【详解】解：∵|a|+|b|=0且|a|≥0，|b|≥0，
∴|a|=|b|=0，
∴a=b=0，
故选：D．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性，理解绝对值的非负性是解题关键．
|1 | 1
【变式7.2】（2022·全国·七年级课时练习）如果 a =− a，则a的值为 （ ）
3 3
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】根据题意，结合绝对值的性质分析，即可得到答案．
|1 | 1
【详解】解：∵ a =− a，
3 3
1
∴ a≤0，
3
∴a≤0，即a是非正数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，解题的关键是理解并掌握绝对值和不等式的性质．
【变式7.3】（2022·河北·模拟预测）若−|−a|＜0，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a≠0 D．a为任意实数
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质可得，当a≠0，|−a|始终大于0，则此时符合题意−|−a|＜
0．
【详解】解：∵−|−a|＜0，∴−|−a|≠0，
又∵|−a|始终大于0，∴a≠0．
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．
【考点8】科学记数法
【例8】（2021·四川绵阳·二模）时至今日，云计算已经取代了传统的IT设备，成为大数
据时代的基础，我国铁路部门的订票网站12306就运用云计算分担其数据处理量最大的查
询业务，基于云计算架构的支持让12306网站经受住了高峰日1490亿次的网络点击访问量
而保持稳定，若将1490亿用科学记数法表示应是（ ）A．0.149×1012 B．1.49×1012 C．14.9×1011 D．1.49×1011
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤| a |<10，n为整数，确定n的值
时要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当
原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1490亿=149000000000=1.49×1011
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤| a |<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【变式8.1】（2022·云南·模拟预测）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度
大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
【答案】A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，且比
原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：21500000=2.15×107．
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形
式为a×10n，其中1≤|a|<10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
【变式8.2】（2022·辽宁鞍山·中考真题）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十
年”“1＋1”系列新闻发布会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人
数超过44300000人．将数据44300000用科学记数法表示为_________．
【答案】4.43×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：44300000＝4.43×107．
故答案为：4.43×107．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式8.3】（2022·全国·七年级专题练习）一个整数6250…0用科学记数法表示为
6.25×109，则原数中“0”的个数为______．
【答案】7
【分析】把用科学记数法表示的大数还原，即可得出结果.
【详解】用科学记数法表示为6.25×109的原数为6250000000，所以原数中“0”的个数为7，
故答案为：7
【点睛】此题考查了科学记数法，把用科学记数法表示的大数还原是解答此题的关键.
【考点9】近似数
【例9】（2021·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）用四舍五入法将3.695精确到
0.01，所得到的近似数为______．
【答案】3.70
【分析】根据千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】将3.695精确到0.01，所得到的近似数为3.70．
故答案为3.70．
【点睛】本题考查了求近似数．注意小数点后面保留两位小数，因此不能把最末尾的0去
掉．
【变式9.1】（2021·吉林·长春吉大附中力旺实验中学七年级期中）用四舍五入法把1.30302
精确到百分位得到的近似数是___．
【答案】1.30
【分析】近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，
应当对下一位的数字进行四舍五入．
【详解】解：1.30302精确到百分位得到的近似数是1.30．
故答案为：1.30．
【点睛】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．经过四
舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．近似数的最
后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数
字进行四舍五入．
【变式9.2】（2022·江苏南京·八年级期末）用四舍五入法取近似数，2.026≈_______（精确
到百分位）．
【答案】2.03
【分析】把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】2.026≈2.03（精确到百分位），
故答案为：2.03．
【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．
【变式9.3】（2022·江苏·八年级专题练习）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔
总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程——8848.86米，把8848.86精确到百
位的近似数是______．
【答案】8.8×103
【分析】先用科学记数法表示8848.86，然后把十位上的数字4进行四舍五入即可．
【详解】解：8848.86=8.84886×103≈8.8×103（精确到百位）．
故答案为：8.8×103．【点睛】本题考查了科学记数法和近似数，用科学记数法表示数是解题的关键．
【考点10】有理数的分类综合问题
【例10】（2021·广西·梧州市第十中学七年级阶段练习）把下列各数填在相应的横线上：
3 10 1
，（－1）3，0.86，−|−2|，－（－2），0，− ，1 ，－3.14
4 3 4
正分数： ；
负分数： ；
非负数： ．
【答案】见解析
【分析】根据正分数、负分数和非负数的定义，即可得到答案．
【详解】∵正分数：大于零的分数
3 1
∴正分数： ，0.86，1 ；
4 4
∵负分数：在正分数前面加一个“-”（负号）的数，叫负分数，小于零；
10
∴负分数：− ，－3.14；
3
∵非负数：就是不是负数的数，也就是零和正数；
3 1
∴非负数： ，0.86，－（－2），0，1 ．
4 4
【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握正数、负数和非负数的定义．
【变式10.1】（2021·广西·梧州市第十中学七年级期中）把下面的有理数填在相应的横线
上，将各数用逗号分开：
1 1
15，− ，0，-30，-0.15，-128， ，+20，-2.6，0.333 3…
2 4
正数： ；
负数： ；
整数： ；
非负数： ．
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类逐项填写即可．
1
【详解】解：正数：15， ，+20，0.333 3…；
4
1
负数：− ，-30，-0.15，-128，-2.6；
2
整数：15，0，-30，-128，+20；
1
非负数：15，0， ，+20，0.333 3…．
4
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．
【变式10.2】．（2021·江苏·南通市海门区中南中学七年级阶段练习）请你把下列各数填入表示它所在的数的集合内：
3
﹣2，20%，﹣0.13，﹣7 ，0， 4.7， |−3| 4 ,−(−2) 5,−62,|−0.5|
4
正有理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}．
自然数集合：{ …}．
【答案】正有理数集合：{20%，4.7， |−3| 4 ,−(−2) 5,|−0.5|…}；整数集合：{﹣2，0，
3
|−3| 4 ,−(−2) 5,−62…}；负分数集合：{﹣0.13，﹣7 ，…}．自然数集合：{0，
4
|−3| 4 ,−(−2) 5…}．
【分析】根据有理数分成整数，分数；整数又分成正整数，负整数和0；分数分成正分数
和负分数，即可求解．
【详解】解：|−3| 4=81,−(−2) 5=32,−62=−36,|−0.5|=0.5，
正有理数集合：{20%，4.7， |−3| 4 ,−(−2) 5,|−0.5|…}；
整数集合：{﹣2，0，|−3| 4 ,−(−2) 5,−62…}；
3
负分数集合：{﹣0.13，﹣7 ，…}．
4
自然数集合：{0，|−3| 4 ,−(−2) 5…}．
【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数分成整数，分数；整数又分成正
整数，负整数和0；分数分成正分数和负分数是解题的关键．
【变式10.3】（2021·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）把下列各数填入相应的括号
2
内：−4，+5，−2.6，0，3.8，− ，3%，π．
9
有理数集合{ …}；
整数集合{ …}，
分数集合{ …}，
非负整数集合{ …}，
非负有理数集合{ …}．
【答案】见解析
【分析】按照有理数的分类填写即可．有理数分为整数和分数，整数包括正整数、零、负
整数；分数包括正分数与负分数，有理数也可分为正有理数、负有理数和零，正有理数包
括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数．
2
【详解】解：有理数集合{−4，+5，−2.6，0，3.8，− ，3%…}；
9
整数集合{−4，+5，0…}，2
分数集合{−2.6，3.8，− ，3%…}，
9
非负整数集合{+5，0…}，
非负有理数集合{+5，0，3.8，3%…}．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握整数、分数、正有理数、负有理数、非负整数、
非负有理数的定义特点是关键．特别注意零是整数，但零既不是负数，也不是正数．
【考点11】绝对值与相反数综合问题
【例11】（2022·全国·七年级课时练习）a，b，c在数轴上的位置如图所示：
|a| |b| |c|
(1)求 + + =_______
a b c
(2)a 、b、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：|a+c|−|a−b|+|c−a|；
(3)求|x−a|−|x−b|的最大值，并求出此时x的范围．
【答案】(1)-1
(2)−a−b
(3)b-a，x≥b
【分析】（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果；
（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得．
（1）
解：由数轴可知：a＜b＜0＜c，
|a| |b| |c|
+ + =−1−1+1=−1；
a b c
（2）
∵a＜b＜0＜c，
∴|a+c|−|a−b|+|c−a|
=−a−c+a−b+c−a
=−a−b
（3）
当x＜a时，
|x−a|−|x−b|=a−x+x−b=a−b＜0，
当a≤x≤b时，
|x−a|−|x−b|=x−a+x−b=2x−a−b，
∴a−b≤x≤b−a，当x＞b时，
|x−a|−|x−b|=x−a−(x−b)=b−a＞0，
综上：|x−a|−|x−b|的最大值为b−a，
此时x的范围是：x≥b．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，
同时更好的理解题意，将困难的问题分开讨论．
【变式11.1】（2022·全国·七年级）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应
点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3
(1)a＝ ，b＝ ．
5
(2)写出大于﹣ 的所有负整数；
2
5
(3)在数轴上标出表示﹣ ，0，﹣|﹣1|，﹣b的点，并用“＜“连接起来．
2
【答案】(1)2，﹣3
(2)﹣2，﹣1
5
(3)见解析，﹣ ＜﹣|﹣1|＜0＜﹣b
2
【分析】（1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可；（2）根据有理数的大小比
较法则即可得出答案；（3）先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可．
(1)
∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3，
∴a＝2，b＝0﹣3＝﹣3，
故答案为：2，﹣3；
(2)
5
大于﹣ 的所有负整数是﹣2，﹣1；
2
(3)
﹣|﹣1|＝﹣1，﹣b＝3，
5
﹣ ＜﹣|﹣1|＜0＜﹣b．
2
【点睛】本题考查有理数的比较大小，相反数，数轴，绝对值等知识点，能熟记有理数的
大小法则是解题的关键．【变式11.2】（2022·江苏·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0．
(2)化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【答案】(1)<，<，>
(2)−2b
【分析】（1）根据数轴可知a<0<b<c，且|a|>|b|，然后问题可求解；
（2）根据（1）可进行求解．
(1)
解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
(2)
解：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义、有理数的大小比较及化简绝对值，熟练掌握绝对值
的意义、有理数的大小比较及化简绝对值是解题的关键．
【变式11.3】（2022·江西上饶·七年级期末）数学课上李老师说：咱们一起来玩儿一个找
原点的游戏吧！
(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．
①如果点A所表示的数是−5，那么点B所表示的数是_______；
②在图1中标出原点O的位置；
(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．
根据小敏提供的信息，标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是
____________；
(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上
标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB=1），且c−2a=8．①试求a的值；
②若点D也在这条数轴上，且CD=2，求出点D所表示的数．
【答案】(1)①5；②数轴见解析
(2)数轴见解析，点C表示的数是3
(3)①-2；②d=2或d=6
【分析】（1）①根据相反数的定义可得点B表示的数，②根据A、B的位置可得原点的位
置；
（2）根据A、B所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点C表示的数；
（3）①由数轴可得c-a=6，再结合c-2a=8可得a的值；②根据a的值可得c，根据点D的
位置可得答案．
(1)
解：①点A所表示的数是-5，点A、点B所表示的数互为相反数，
所以点B所表示的数是5，
故答案为：5；
②在图1中表示原点O的位置如图所示：
(2)
原点O的位置如图所示，
点C所表示的数是3．
故答案为：3；
(3)
解：①由题意得：AC=6，
所以c-a=6，
又因为c-2a=8，
所以a=-2；
②设D表示的数为d，
因为c-a=6，a=-2，
所以c=4，
因为CD=2，
所以c-d=2或d-c=2，所以d=2或d=6．
【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴的特点和两点间的距离公式是解题关键．
【考点12】数轴有关综合问题
【例12】（2022·全国·七年级专题练习）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣
10，B点对应的数为90．
(1)请写出与A，B两点距离相等的M点对应的数；
(2)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q
恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间2只电子蚂蚁在数轴上
相距35个单位长度？
【答案】(1)40
(2)13秒或27秒
【分析】（1）先求出A、B两点之间的距离：90-(-10)=100，再求出M点到A、B两点的距
离：100÷2=50，然后借助数轴即可求出M点；
（2）分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，相遇前：
(100-35)÷(2+3)=13(秒)，相遇后：(35+100)÷(2+3)=27(秒)．
（1）
解：90﹣（﹣10）＝100，100÷2＝50，
借助数轴可知，与A，B两点距离相等的M点对应的数为40；
（2）
相遇前：（100﹣35）÷（2+3）＝13（秒），
相遇后：（35+100）÷（2+3）＝27（秒），
则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是要分两种情况：相遇前和相遇
后．
【变式12.1】（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级）数轴上，点M表示−2，现从M
点开始先向右移动3个单位到达P点，再从P点向左移动5个单位到达Q点．
(1)点P、Q各表示什么数？
(2)到达Q点后，再向哪个方向移动几个单位，才能回到原点？
(3)一只蚂蚁从数轴上点M出发，爬了7个单位长度到点N，则点N表示的数是什么？
【答案】(1)点P是1，点Q是-4
(2)向右方向移动4个单位回到原点
(3)点N表示的数是-9或5【分析】（1）利用数轴上点的移动规律“左减右加”得出P，Q各表示什么数；
（2）根据得出Q点表示的数与原点的位置，即可解答；
（3）分向左和向右两种情况解答即可．
（1）
解：∵点M表示-2，
∴P点表示−2+3=1，Q点表示1-5=-4．
答：点P是1，点Q是-4．
（2）
解：∵点Q是-4，-4在原点的左边，距离原点4个单位，
∴向右移动4个单位，才能回到原点．
答：点Q向右方向移动4个单位回到原点．
（3）
解：因为点M表示-2
当向左爬了7个单位长度到点N，其所表示的数为-2-7=-9，
当向右爬了7个单位长度到点N，其所表示的数为-2+7=5，
答：点N表示的数是-9或5．
【点睛】本题考查的知识点是数轴，利用数轴上点的移动规律“左减右加”是解答本题的
关键．
【变式12.2】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列
的三个点，分别对应的数为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0
对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
(1)在图1的数轴上，AC＝ 个长度单位；在图2中，AC＝ cm；数轴上的一个长
度单位对应刻度尺上的 cm；
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数．
【答案】(1)9，5.4，0.6；
(2)−2；
(3)1或−11．
【分析】（1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案；
（2）求出AB在数轴上的距离，即可得出答案；
（3）求出AQ＝6，然后分情况求解即可．（1）
解：由图1可得AC＝4﹣（﹣5）＝9，由图2可得AC＝5.4cm，
5.4
∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为： =0.6cm，
9
故答案为：9，5.4，0.6；
（2）
由图2得：AB＝1.8cm，
1.8
∴AB在数轴上的距离为 =3个单位长度，
0.6
∴在数轴上点B所对应的数b＝﹣5+3＝﹣2；
（3）
∵AQ＝2AB，AB＝3，
∴AQ＝6，
∵点A所表示的数为﹣5，
∴点Q表示的数为－5＋6＝1或－5－6＝－11．
【点睛】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键．
【变式12.3】（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）如图，已知A，B两点在数轴
上，点A表示的数为－10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．
点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）
(1)数轴上点B对应的数是______．
(2)经过几秒，点M、点N重合？
【答案】(1)30
(2)10
【分析】（1）根据点A表示的数为－10，OB＝3OA，可得点B对应的数；
（2）点M、点N重合时，即点M追上点N，此时两点在数轴上的运动路程之差为10，以
此列式即可求出．
（1）
解：OB＝3OA＝30．
故B点对应的数是30．
（2）
点M、点N重合时，此时两点在数轴上的运动路程之差为10，
设时间为t秒，则有
3t－2t＝10
解得：t＝10故经过10秒，点M、点N重合．
【点睛】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
