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专题1.25 有理数的除法（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
2. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
3. 培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
知识要点一、.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
特别说明：
(2) 0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4).互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
知识要点二、 有理数除法法则：
1
aba (b0)
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 b .
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0
的数，都得0.
特别说明：
（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
知识要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确
定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如
有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的除法运算
1.计算：（1） ； （2） ．
【答案】（1）﹣4；（2） ．
【分析】根据有理数除法法则，除以一个数等于乘上这个数的倒数，转化成有理数的
乘法进行运算，即可得到答案．
解：（1） ；
（2） ．
【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解决本题的关
键．
举一反三：
【变式1】 计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ．
【答案】（1） ；（2）9；（3） ；（4）0；（5） ；（6）3．
【分析】
原式利用除法法则计算即可得到结果，除以一个数等于乘以这个数的倒数，两数相除，
同号为正，异号为负，并把绝对值相除．
解：（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
【点拨】本题考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解本题的关键．
【变式2】（1） ； （2） ；（3） ； （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】
（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
．
【点拨】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以
一个数等于乘以这个数的倒数．
【变式3】 计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）0
【分析】
根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【点拨】本题考查了有理数的除法，熟知有理数的除法运算法则是解题的关键．
类型二、有理数加减乘除混合运算
2．计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)1 (2)-27 (3)-2 (4)9
【分析】
（1）把小数化分数，同分母相加，再计算减法即可；
（2）先确定积的符号，把带分数化为假分数，计算乘法，再加法即可；
（3）先确定积的符号，把带分数互为假分数，然后化除为乘，最后计算乘法即可；
（4）利用乘法分配律简算，再计算乘法，最后加法即可．
(1)解： ，
= ，
= ，
=1；(2)解： ，
= ，
=-36+9，
=-27；
(3)解： ，
= ，
=- ，
=-2；
(4)解： ，
= ，
= ，
=9．
【点拨】本题考查有理数加减乘除混合运算，掌握有理数加减乘除混合运算法则，先
乘除，再加减，注意括号的运用是解题关键．
举一反三：
【变式1】计算：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1）-1；（2）9；（3）192；（4）
【分析】
（1）把减法变加法，然后从左向右依次计算即可．（2）根据加法交换律、加法结合律计算即可．
（3）根据乘法结合律计算即可．
（4）根据乘法分配律计算即可．
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数四则运算的运算方法、运算律
及混合运算的运算顺序是解题关键 ．
【变式2】 计算（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先将带分数化为假分数，再利用有理数的乘除法法则计算即可；
（2）利用乘法分配律计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查有理数的混合计算，掌握有理数乘除法的法则以及乘法分配律是解
题的关键．
【变式3】计算：
（1） ． （2） ．
【答案】（1）0；（2）1．
【分析】
（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可求解．
解：（1）原式 ；
（2）原式 ．【点拨】本题考查了有理数的加减混合运算、乘除混合运算，在进行有理数的加减混
合运算时，先把减法转化为加法，再运用加法运算律计算可以简化运算；在进行有理数的
乘除混合运算时，先将除法转化为乘法运算，再运用乘法运算律计算可以简化运算．
类型三、用简便方法运算
2．简便运算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】
（1）先去括号，然后根据有理数加法的交换律求解即可；
（2）根据有理数乘法的分配律求解即可；
（3）根据有理数乘法的交换律求解即可；
（4）根据有理数乘法的结合律求解即可．
(1)解：
；
(2)解：；
(3)解：
；
(4)解：
．
【点拨】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】用简便方法计算：（1） ； （2）
．
【答案】（1） ； （2）
解：（1）（2）
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行简便运算，掌握乘法分
配律是解题的关键．
【变式2】 能简算的要简算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）25；（2）11110；（3） ；（4）10
【分析】
（1）先把小数化为分数，然后根据乘法的结合律进行计算求解即可；
（2）先把分数部分和整数部分分别相加然后得到
由此求解即可；
（3）直接根据分数的混合计算法则进行求解即可；
（4）先把小数化为分数，然后根据分数的混合计算法则进行求解即可．
解：（1）
；
（2）；
（3）
；
（4）
．
【点拨】本题主要考查了分数与小数的混合计算，分数的混合计算，解题的关键在于
能够熟练掌握相关计算法则．
类型四、巧用乘除“转化思想”解题
4、数学老师布置了一道思考题“计算： ”．小明仔细思考了一
番，用下列方法解答了这个问题．小明的解答：原式的倒数为 ，所以
．
(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若
不正确，请说明理由．
(2)计算： ．
【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；(2)﹣
【分析】
（1）正确，利用倒数的定义判断即可；
（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
(1)解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2)解： 的倒数为 ，
＝
＝
＝﹣8+4﹣9
＝﹣13，
则 ＝﹣
【点拨】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】请你认真阅读下列材料：
计算：解法一：因为原式的倒数=
．
所以原式 ，
解法二：原式
．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？
（2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： ．
【答案】（1）解法二错误，因为除法没有分配律；（2）
【分析】
（1）根据除法没有分配律即可识别解法二错误；
（2）先求原数的倒数，再利用乘法分配律简算求出结果，然后求出其倒数求出原数即
可．
解：（1）解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配率进行计算肯定出现
错误．
（2）因为原式的倒数为
，
，
，
，
，所以原式 ．
【点拨】本题考查除法的巧算，倒数，乘法分配律等知识，熟练掌握上述知识，灵活
运用所学知识解决问题是关键．
【变式2】数学老师布置了一道思考题“计算 ”．小明仔细思考了一
番，用了一种不同的方法解决了这个问题：原式的倒数为
，所以 ．
（1）请你通过计算验证小明的解法的正确性；
（2）由此可以得到结论：一个非零数的倒数的倒数等于______；
（3）请你运用小明的解法计算： ．
【答案】（1）见分析；（2）这个数本身；（3）-3
【分析】
（1）按小明的解法计算，检查结果是否正确即可；
（2）根据题意得出结论即可；
（3）仿照已知的方法计算即可．
解：（1）
∴小明的解法的正确
（2）一个非零数的倒数的倒数等于这个数本身
（3）
∴
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3】阅读下列材料：
计算：50÷（ ）．解法一：原式＝ ＝50×3﹣50×4＋50×12＝550
解法二：原式＝50÷（ ）＝50÷ ＝50×6＝300
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 解法是错误的，在学习正确
的解法后，请你解答下列问题：
（1）计算：（﹣ ）÷（ ）；
（2）在材料中，原式的倒数为（ ）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣ ）÷
（ ）的解吗？请写出具体解题过程．
【答案】一；（1） ；（2） ，见详解.
【分析】
（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案；
（2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，注意最后要还原
成倒数.
解：因为没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一；
（1）（﹣ ）÷（ ）
；
（2）故（﹣ ）÷（ ）= .
【点拨】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有
理数的除法，同时注意没有除法分配律．
类型五、有理数除法的应用
5、一次体育课上，全班男生进行了百米测验，规定的达标成绩为17秒．下面是
第一组6名男生的成绩记录：（正数表示超过17秒的秒数，负数表示低于17秒的秒数）
0
(1)这个小组男生的达标率为______%；
(2)求这个小组男生的平均成绩为多少秒？【说明：若不能进行整除，请保留一位小
数】
【答案】(1)50%(2)16.9秒
【分析】
（1）根据题意得：达标的有3人，然后用3除以6乘以100%，即可求解；
（2）表格中的数据的和除以6，再加上17，即可求解．
解：(1)根据题意得：达标的有3人，
所以这个小组男生的达标率为
(2)这个小组男生的平均成绩为
（秒）．
【点拨】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解
题的关键．
举一反三：【变式1】大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：
A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；
B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八
折优惠．
（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？
（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购
买，只需要付款多少元？能节省多少元？
【答案】（1）他应付钱674元；（2）王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节
省22元．
【分析】
（1）根据780元＞500元，分两部分计算500元九折+超过部分八折计算即可；
（2）先求出两次构买物品的标价，将两次物品标价求和，再按一次性购物计算500元
九折+超过部分八折，再计算王阿姨两次购物付款总和-一次性付款即可．
解：（1）∵李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，780元＞500元，
∴他应付钱为：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去该超市购物付款198元，该物品标价为198÷0.9=220元，
第二次去该超市购物付款554元，554-450=104，
450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
两次购物标价为220+630=850元，
∴王阿姨应付钱为：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，
王阿姨一次性购买，只需要付款730元，能节省22元．
【点拨】本题考查商品打折问题，掌握分类计算标准和计算方法是解题关键．
【变式2】某公司去年1～3月份平均每月盈利2万元，4～6月份平均每月亏损 万
元，7～10月份平均每月亏损 万元，11～12月份平均每月盈利 万元(假设盈利为正，
亏损为负)．
（1）该公司去年一年是盈利还是亏损？
（2）该公司去年平均每月盈利(或亏损)多少万元？
【答案】（1）该公司去年一年是盈利的．（2）该公司去年平均每月盈利0.2万元．
【分析】
（1）把一年盈利与亏损的相加，由和为正数或是负数可得结论；（2）把一年的总盈利或总亏损除以12即可得到结论.
解：（1）根据题意，得2×3＋ ×3＋ ×4＋ ×2＝ (万元)．
答：该公司去年一年是盈利的．
（2） (万元)．
答：该公司去年平均每月盈利0.2万元．
【点拨】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加减运算，乘法运算，除法运算
的实际应用，理解题意列出正确的运算式是解题的关键.
