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专题 1.2 有理数的运算
目录
有理数的加法运算.............................................................................................................................1
有理数的加法应用.............................................................................................................................2
有理数加法综合运用.........................................................................................................................3
有理数的减法运算.............................................................................................................................4
有理数的混合运算.............................................................................................................................5
有理数混合运算应用.........................................................................................................................6
有理数混合运算应用.........................................................................................................................6
有理数的乘法.....................................................................................................................................8
倒数.....................................................................................................................................................8
有理数相乘的正负问题.....................................................................................................................9
有理数的乘法运算律.........................................................................................................................9
有理数乘法综合运用.......................................................................................................................10
有理数的除法法则...........................................................................................................................10
有理数除法与绝对值.......................................................................................................................11
乘方的概念.......................................................................................................................................11
乘方与非负性...................................................................................................................................12
用科学记数法...................................................................................................................................13
有理数综合运算...............................................................................................................................13
乘方综合运用...................................................................................................................................14
有理数的加法运算
（1）有理数加法法则：
同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
（2）相关运算律
交换律: ； 结合律 .
【例1】计算 ，结果正确的是
A．2 B． C．8 D．
【变式训练1】 的计算结果是A．8 B． C．4 D．
【变式训练2】温度由 上升 是
A． B． C． D．
【变式训练3】计算：
A．4 B． C．10 D．
【例2】计算： ．
【变式训练1】计算： ．
．
【变式训练2】计算：
（1）
（2）
有理数的加法应用
【例3】如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批
发价格为2.7元 斤）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与前一天
的价格涨
跌情况
（元
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元 斤？本周哪天该农产品的批
发价格最低，批发价格是多少元 斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【变式训练1】某集团公司对所属甲、乙两分厂上半年经营情况记录如下：（其中“ ”表
示盈利，“ ”表示亏损，单位：亿元）
月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份甲厂 0
乙厂 0
（1）计算二月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？
（2）分别计算甲、乙两个工厂上半年平均每月盈利或亏损多少亿元？
【变式训练2】下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京
时间早的时数），如北京时间的上午 时，东京时间的10点已过去了1小时，现在已
是 ．
（1）如果现在是北京时间 ，那么现在的纽约时间是多少？
（2）此时（北京时间 小明想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？为什么？
（3）如果现在是芝加哥时间上午 ，那么现在北京时间是多少？
城市 时差 时
纽约
巴黎
东京
芝加哥
列式写答案：
【变式训练3】某自行车厂计划平均每天生产自行车200辆，但是由于种种原因，实际每天
生产量与计划量有出入．下表是该厂某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减
（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？
有理数加法综合运用
【例4】如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把 到 这6个连续整数分别填入
图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和 都相等，那么 的最小值是
A． B． C． D．
【变式训练1】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆“游戏，现在
将 、12、 、14、15、 、 、13分别填入图中的圆圆内，使横、竖以及内外两围上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中 的值为
A．12或 B． 或13 C．12或 D． 或11
【变式训练2】如图，四个有理数 ， ， ， 在数轴上对应的点分别为 ， ， ，
，若 ，则 ， ， ， 四个数中负数有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3】在一次数学活动课上，老师将 共十个整数依次写在十张不透明的卡片
上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面
朝下）．他先打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随
机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结
果分别是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊根据以上信息，判断错误的是
A．丙同学的两张卡片上的数字是7和8
B．戊同学的两张卡片上的数字是8和10
C．丁同学的两张卡片上的数字是2和4
D．甲同学的两张卡片上的数字是5和7有理数的减法运算
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：
【例5】 的值是
A．1 B． C．2021 D．
【变式训练1】计算
A．0 B． C．5 D．
【变式训练2】计算 的结果等于
A． B．2 C． D．6
【变式训练3】计算：
A． B． C．13 D．3
【例6】计算： ．
【变式训练1】计算： ．
【变式训练2】计算： ．
【变式训练3】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．有理数的混合运算
【例7】计算 的结果等于
A． B．11 C．5 D．2
【变式训练1】能与 相加得0的是
A． B． C． D．
故选： ．
【变式训练2】算式 之值为何？
A． B． C． D．
【变式训练3】下列运算错误的是
A． B． C． D．
【例8】计算：
（1） ；
（2） ．
【变式训练1】计算：（能简算的要简算）
（1） ；
（2） ．
【变式训练2】计算：
（1） ．
（2） ．
【变式训练3】计算：（1）
（2）
有理数混合运算应用
【例9】在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负
数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是 的计算过程，则图2表示的过
程是在计算
A． B．
C． D．
【变式训练1】实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观
测点的相对高度如 为90米表示观测点 比观测点 高90米），然后用这些相对高
度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得
是 米．
90米 80米 米 50米 米 40米
A．210 B．130 C．390 D．
【变式训练2】一个热气球在200米的空中停留，然后它依次上升了15米， 米， 米
这个热气球此时停留在 米．【变式训练3】庄河十二月份某天上午10时气温为 ，过4小时后气温上升了 ，又过
了3小时气温又下降 ，则此时的气温是 ．
有理数混合运算应用
【例10】一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记
录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数．
停靠 起点站 中间 中间 中间 中间 中间 中间 终点
站 第1站 第2站 第3站 第4站 第5站 第6站 站
上下车 0
人数 0
（1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人；
（2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车；
（3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人；
（4）从表中你还能知道什么信息？
【变式训练1】如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产
品的批发价格为2.7元 斤）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与前一天
的价格涨
跌情况
（元
注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌．
（1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元 斤？本周哪天该农产品的批
发价格最低，批发价格是多少元 斤？
（2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？
【变式训练2】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一
辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以 为标准，多于
的记为“ ”，不足 的记为“ ”，刚好 的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
0
路程
（1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？（2）若每行驶 需用汽油4升，汽油价6.8元 升，计算小亮家这7天的汽油费用大约
是多少元？
【变式训练3】小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若
干股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单
位：元）．
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元
（1）星期五收盘时，该股票每股多少元？
（2）这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？
有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数
决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相
乘，有一个因数为0，积就为0．
【例11】计算 的结果是
A． B．3 C． D．12
【变式训练1】计算 的结果是
A．6 B． C．5 D．
【变式训练2】计算 的结果等于
A．4 B． C． D．21
【变式训练3】计算 的结果是
A．8 B． C．2 D．倒数
（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．
一般地， ，就说 的倒数是
【例12】 的倒数是
A． B． C． D．
【变式训练1】2022的倒数是
A． B．2022 C． D．
【变式训练2】下列互为倒数的是
A．3和 B． 和2 C．3和 D． 和
【变式训练3】 的倒数是
A． B． C． D．6
有理数相乘的正负问题
【例13】已知两个有理数 ， ，如果 且 ，那么
A． ，
B． ，
C． 、 同号
D． 、 异号，且正数的绝对值较大
【变式训练1】 ， ，则有
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】有这样三个数，它们的积是负数，它们的和是正数，则这三个数中负数的个
数为A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．2个
【变式训练3】若 ， ，那么这两个数
A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定
有理数的乘法运算律
【例14】用简便方法计算：
（1）
（2）
【变式训练1】计算：
（1） ；
（2） ．
【变式训练2】用简便方法计算
（1）
（2）
【变式训练3】用简便方法计算：
（1） ；
（2） ．
有理数乘法综合运用
【例15】若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值为2
（1）直接写出 ， ， 的值；
（2）求 的值．
【变式训练1】设 和 互为相反数， 和 互为倒数， 的倒数等于它本身，试化简：
．
【变式训练2】已知 和 互为相反数， 和 互为倒数， 是绝对值等于2的数，求式子．
若 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的绝对值等于 2，则关于 的方程
的解是多少？
有理数的除法法则
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即
【例16】计算 的结果是
A． B．2 C．18 D．
【变式训练1】计算 的结果等于
A． B．3 C． D．
【变式训练2】计算：
A．2 B． C．18 D．
【变式训练3】计算 的结果等于
A． B． C．7 D．
【例17】计算： ．
【变式训练1】计算： ．
计算： ．
有理数除法与绝对值
【例18】已知 、 为有理数，且 ，则 的值是A．3 B． C． D．3或
【变式训练1】 的值是
A． B． C． 或 D．3或1
【变式训练2】 的值为
A． B． C． 或 D．以上都不对
【变式训练3】已知 ， 都是非零数，则 的值为
A． 或3 B．1 C． D． 或
乘方的概念
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an
看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂
是正数；0的任何正整数次幂都是0．
【例19】计算 的结果是
A．1 B． C．2 D．4
【变式训练1】 等于
A． B．2 C． D．4
【变式训练2】下列计算结果最小的是
A． B． C． D．
【变式训练3】计算：
A． B． C．1 D．2【例20】
A． B． C． D．
【变式训练1】 表示的意义是
A． B．
C． D．
【变式训练2】计算 个
A．81 B． C． D．
【变式训练3】计算
A． B． C． D．
乘方与非负性
【例21】若 与 互为相反数，则 的值是
A． B．1 C．2021 D．
【变式训练1】若 与 互为相反数，则 的结果为
A．16 B． C．8 D．
【变式训练2】若 ，则 的值为
A．1 B． C．0 D．2
【变式训练3】若 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2022用科学记数法
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，
n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
【例22】2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记
数法表示为
A． B． C． D．
【变式训练1】2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数
超过 78400000 人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将
“78400000”用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
【变式训练2】根据世界卫生组织的统计，截止 10月28日，全球新冠确诊病例累计超过
4430万，用科学记数法表示这一数据是
A． B． C． D．
【变式训练3】2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器
成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000
公里．数字192000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．有理数综合运算
【例23】计算： ．
【变式训练1】计算 ．
【变式训练2】计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【变式训练3】计算：
【变式训练4】计算：
【变式训练5】计算
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【变式训练6】计算题
（1）
（2）
（3）（4）
【变式训练7】计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
乘方综合运用
【例24】已 知 ： ， 互 为 相 反 数 ， ， 互 为 倒 数 ， 的 绝 对 值 是 2 ， 求
的值．
【变式训练1】已知 、 互为相反数且 ， 、 互为倒数， 的绝对值是最小的正
整数，求 的值．
【变式训练2】若 ， 互为相反数， ， 互为倒数， ，求 的值．
【变式训练3】若 、 互 为 相 反 数 ， 、 互 为 倒 数 ， 的 绝 对 值 为 2 ， 求
的值．
1．若 、 、 、 是正整数，且 ， ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
2．
A． B． C．1 D．5
3．已知 ， ，且 ，则 的值是A． B． C． 或 D． 或3
4．计算 的结果是
A． B．1 C． D．3
5．北方某地区冬季某日最高气温 ，最低 ，则最高气温比最低气温高
A． B． C． D．
6．某地一天早晨的气温是 ，中午温度上升了 ，半夜比中午又下降了 ，则半
夜的气温是
A． B． C． D．
7． 的倒数是
A． B． C． D．
8． 的倒数是
A． B． C． D．
9．已知 ， ，且 ，则 ．
10．已知 ， ， 是三个互不相等的整数，且 ，则 的最小值等于 ．
11．已知 ， ，且 ，则 ．
12．如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高
度相差 ．13．若两个有理数 、 满足 ，则称 、 互为“吉祥数”．如5和3就是一对
“吉祥数”．回答下列问题：
（1）求 的“吉祥数”；
（2）若 的“吉祥数”是 ，求 的值；
（3） 和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
14．计算： ．
15．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算： ．
解：原式
．
上述这种方法叫做拆项法．
请仿照上面的方式计算： ．
