文档内容
第 01 讲 图形的相似
课程标准 学习目标
1. 掌握相似图形的概念，并能够熟练的判断相似图形。
①相似图形 2. 掌握成比例线段的基本概念与性质，并能够熟练的进行应
②成比例线段 用。
③相似多边形的性质 3. 掌握相似多边形的性质，并能够数量的运用其解决相关题
目。
知识点01 相似图形
1. 相似图形的概念：
我们把 形状 相同的图形称为相似图形。
或若两个多边形的边数 相同 ，角 对应相等 ，边 对应成比例 ，则这两个多边形是相
似多边形。
相等的角是 对应角 ，成比例的边是 对应边 。
【即学即练1】
1．下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的概念即可作出判断．
【解答】解：由相似图形的概念知，选项B中的两个图形不相似；
故选：B．
知识点02 成比例线段
1．线段的比：
两条线段的比，就是它们的 长度 的比。
2. 线段成比例：
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比 相等 ，
则我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
在判断线段是否成比例线段时，将线段从小到大排列，若前面两条线段的比值等于后面两条线段的比
值，则这四条线段就是比例线段。
3. 比例的性质：
若 ，则 。
①和比性质：若 ，则 。
②等比性质： ，则
【即学即练1】
2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8
C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出
答案．
【解答】解：A、∵3×7≠4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8≠4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵8×15＝10×12，∴四条线段成比例．
故选：D．【即学即练2】
3．若 ，则 ＝（ ）
A． B．1 C．﹣1 D．
【分析】由题意易得a＝2b，然后代入进行求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴a＝2b，
∴ ；
故选B．
【即学即练3】
4．如果 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由 ，根据比例的性质，即可求得 的值．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ．
故选：C．
知识点03 相似多边形的性质
1．相似多边形的概念：
两个边数相等的多边形，如果它们的角分别 相等 ，边成 比例 ，那么这两个多边形叫做相
似多边形。
2. 相似比：
相似多边形 对应边 的比叫做相似比。
3. 相似多边形的性质：
相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，周长的比等于 相似比 ，面积的比值等
于 相似比的平方 。
【即学即练1】
5．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝80°，∠B＝70°，∠C'＝90°，则∠D的度数为（ ）A．70° B．80° C．110° D．120°
【分析】根据相似多边形的性质求出∠C，再根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠C'＝90°，
∴∠C＝∠C'＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
【即学即练2】
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，截去矩形ABFE，若剩下的矩形DEFC与矩形ABCD相似，
则DE等于（ ）
A．2 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】由相似多边形的对应边成比例可得 ，代入数据计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴AD＝BC＝8，AB＝EF＝CD＝6，
∵矩形DEFC与矩形ABCD相似，
∴ ，即 ，
解得DE＝4.5，
故选：D．
题型01 判断相似图形
【典例1】下列每组图形是相似图形的为（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．
【解答】解：选项B中两个五角星是相似图形．
故选：B．
【变式1】观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【解答】解：A．两圆的形状相同，故是相似图形；
B．正方形和长方形的形状不同，故不是相似图形；
C．正六边形和正八边形的形状不同，故不是相似图形；
D．两图形形状不同，故不是相似图形；
故选：A．
【变式2】下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可
【解答】解：A．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个圆一定相似，本选项符合题意；
C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
故选：B．
题型02 判断是否构成比例线段
【典例1】在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A．1，3，20，30 B． ， ，2
C．1，2，3，4 D． ，10，10，
【分析】根据线段成比例的定义，依次进行判断即可．
【解答】解：因为1：3≠20：30，
所以A选项不符合题意．
因为1： ≠ ：2，
所以B选项不符合题意．
因为1：2≠3：4，
所以C选项不符合题意．
因为4 ：10＝10：5 ，
所以D选项符合题意．
故选：D．
【变式1】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm
【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴这一组线段成比例．
B、∵4：6≠3：5，∴这一组线段不成比例．
C、∵1：2≠3：4，∴这一组线段不成比例．
D、∵3：4≠2：5，∴这一组线段不成比例．
故选：A．
【变式2】下列各组线段中，成比例线段的一组是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，6cm
C．1cm，3cm，5cm，7cm D．2cm，4cm，6cm，8cm
【分析】利用成比例线段的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A．因为1：2≠3：4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例线段，所以A选项不符合题意；
B．因为2：3＝4：6，所以2cm，3cm，4cm，6cm成比例线段，所以B选项符合题意；
C．因为1：3≠5：7，所以1cm，3cm，5cm，7cm不成比例线段，所以C选项不符合题意；
D．因为2：4≠6：8，所以2cm，4cm，6cm，8cm不成比例线段，所以D选项不符合题意．
故选：B．
题型03 根据比例线段求值
【典例1】若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝6cm，c＝3cm，求线段d的长是（ ）
A．10cm B．9cm C．12cm D．1cm
【分析】根据比例线段的定义列出算式，求解即可．【解答】解：∵a、b、c、d是成比例线段，
∴ ，
∴ ，
∴d＝9cm，
故选：B．
【变式1】已知 ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质即可求得答案，
【解答】解：∵ ＝ ＝ （b+c≠0），
∴a＝ b．d＝ c，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故选：C．
【变式2】已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质 可得 ， ，再代入计算可得答案．
【解答】解：由题意可得： ， ，
∴ ，
故选：B．
【变式3】若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ ，
∴设x＝10k，y＝7k，∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
【变式4】若 ，则 的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ ，
∴设x＝2k，则y＝3k，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
题型04 根据相似多边形的性质求线段
【典例1】已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB：A′B′＝2：5，若CD＝6，则C′D′的长
为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．15
【分析】由相似多边形的性质推出AB：A′B′＝CD：C′D′，代入有关数据，即可求出C′D′的值．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB：A′B′＝2：5，
∴AB：A′B′＝CD：C′D′＝2：5，
∵CD＝6，
∴ ＝ ，
∴C′D′＝15．
故选：D．
【变式1】一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A B C D 最短边为8．则四
1 1 1 1
边形A B C D 的最长边长为（ ）
1 1 1 1
A．12 B．14 C．16 D．20
【分析】设四边形A B C D 最长边长为x，根据相似多边形的性质列得2：8＝5：x，从而求出x．
1 1 1 1
【解答】解：设四边形A B C D 最长边长为x，
1 1 1 1
∵四边形ABCD相似四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴2：8＝5：x，
解得x＝20，
故选：D．【变式2】有一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为
8cm，那么这个多边形的周长是（ ）
A．12cm B．18cm C．32cm D．48cm
【分析】先根据两多边形相似求出其相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答．
【解答】解：∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边
为8cm，
∴两个相似多边形的形似比＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得C＝32cm．
故选：C．
【变式3】两个相似多边形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【解答】解：相似多边形的周长的比是1：4，
周长的比等于相似比，因而相似比是1：4，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：16；
故选：D．
题型05 根据相似多边形的性质求角
【典例1】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠D的度数为（
）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【分析】根据相似多边形的对应角相等求解∠F＝∠B＝70°，进一步可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠F＝∠B，
∵∠F＝70°，
∴∠B＝70°，
∵∠A＝80°，∠C＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠B＝360°﹣80°﹣90°﹣70°＝120°，
故选：D．【变式1】如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，若∠B＝50°，∠C＝80°，∠A'＝100°，则∠D'＝ 130 °
．
【分析】根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为360度求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠A＝∠A'＝100°，
又∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣100°﹣50°﹣80°＝130°，
故答案为：130°．
【变式2】如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ＝ 83 ° ．
α
【分析】根据相似多边形的性质得出∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，再由四边形的内角和等于
360°即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，
∵∠D′＝140°，
∴ ＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°．
故答案为：83°．
α
1．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，以选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；C、形状不同，不符合相似定义，故此选项符合题意；
D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意．
故选：C．
2．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝6cm，c＝9cm，则线段d的长为（ ）
A．2cm B．18cm C．24cm D．17cm
【分析】根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解．
【解答】解：根据最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积分情况讨论可得：
当c＝9cm是最长线段时，则有ac＝bd，
∴ ，舍去；
当d是最长线段时，则有ad＝bc，
∴ ，符合题意；
故选：B．
3．已知 ，那么下列等式中不正确的是（ ）
A． B．3x＝2y C． D．
【分析】根据题意可设x＝2k，y＝3k（k≠0），据此把x＝2k，y＝3k（k≠0）代入到四个选项中求解判
断即可．
【解答】解：由 可设，x＝2k，y＝3k（k≠0），
∴3x＝6k，2y＝6k，
∴ ， ， ，
∴3x＝2y， ，
∴四个选项中只有D选项中的式子不正确，符合题意，
故选：D．
4．如图，在矩形ABCD中，M和N分别为AB和CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形MNCB，那么它们的
相似比为（ ）
A． B． C．2：1 D．1：1【分析】设AD＝b，AB＝a，根据相似多边形的性质得到 ，代入求解即可．
【解答】解：设AD＝BC＝b，AB＝CD＝a，
∵矩形ABCD∽矩形MNCB，M和N分别为AB和CD的中点，
∴NC＝ a，
∴ ，即 ，
∴b2＝ a2，
∴ ，
∴ ，即 ．
故选：A．
5．已知a、b是不等于0的实数，4a＝5b，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质进行求解即可．
【解答】解：A、由 ＝ 得，5a＝4b，故本选项不符合题意；
B、由 ＝ 得，9（a﹣b）＝a+b，整理得，4a＝5b，故本选项符合题意；
C、由 ＝ 得，5（a﹣b）＝b，整理得，5a＝6b，故本选项不符合题意；
D、由 ＝ 得，5（a+b）＝9b，整理得，5a＝4b，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．如图在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝AB，在AO上截取OP＝OC，
OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出OB，进而求出OC的长即可解答．
【解答】解：∵∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，∴ ，
∵BC＝AB＝1，
∴ ，
∴ ，
∴P点对应的实数是 ．
故选：A．
7．若 ，则 ＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据 ，可知a＝﹣2b，c＝﹣2d，将a和c的值代入求值的代数式化简即可．
【解答】解：∵ ，
∴a＝﹣2b，c＝﹣2d，
∴ ＝ ＝﹣2．
故选：A．
8．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 a与全身b的高度比值接
近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.236米 B．0.764米 C．1.412米 D．1.632米
【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴ ≈0.618，
∵b为2米，
∴a约为1.236米．
故选：A．
9．如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3，BC＝5，EF＝6，则FG的长为（ ）A． B．10 C．11 D．12
【分析】根据相似多边形的性质得 ，进行计算即可得．
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴ ，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝5，EF＝6，
∴ ，
∴FG＝ ＝10，
故选：B．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩
形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（ ）
A．16 B． C． D．
【分析】由相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴ ＝ ＝ ，
∵矩形ABCD的面积＝6×4＝24，
∴矩形BFEA的面积＝ ．
故选：C．
11．一个四边形ABCD各边长为2、3、4、5，另一个和它相似的四边形A B C D 最长边为15，则四边形
1 1 1 1
A B C D 最短边长为 6 ．
1 1 1 1【分析】根据对应边成比例可得相似比为 ，由此即可求解．
【解答】解：∵一个四边形ABCD各边长为2、3、4、5，
∴四边形ABCD的最长边为5，
∵另一个和它相似的四边形A B C D 最长边为15，
1 1 1 1
∴相似比为 ，
∴四边形A B C D 最短边长为2×3＝6，
1 1 1 1
故答案为：6．
12．如图，四边形ABCD和A B C D 相似，已知∠A＝120°，∠B＝85°，∠C ＝75°，则∠D ＝ 8 0 °．
1 1 1 1 1 1
【分析】根据相似图形的性质得出∠A＝∠A ＝120°，∠B＝∠B ＝85°，即可解答．
1 1
【解答】解：∵四边形ABCD和A B C D 相似，∠A＝120°，∠B＝85°，
1 1 1 1
∴∠A＝∠A ＝120°，∠B＝∠B ＝85°，
1 1
∵∠C ＝75°，
1
∴∠D ＝360°﹣∠A ﹣∠B ﹣∠C ＝360°﹣120°﹣85°﹣75°＝80°，
1 1 1 1
故答案为：80．
13．已知 ，则 的值为 ．
【分析】由 ，根据比例的性质，即可求得 的值．
【解答】解：∵ ，
∴b＝7a，
∴ ，
故答案为： ．
14．一个三角形三条边长度的比是3：4：5，这个三角形的周长为24cm，则这个三角形中最短的一条边长
是 6 cm．
【分析】设这个三角形的三条边的长度分别为 3x cm、4x cm、4x cm，根据周长为24cm列出方程并求
得x的值，即可得出答案．
【解答】解：设这个三角形的三条边的长度分别为3x cm、4x cm、5x cm，则：3x+4x+5x＝24，
解得x＝2，
所以这个三角形中最短的一条边长是3×2＝6（cm）．
故答案为：6．
15．已知a，b，c为△ABC的三边，且 ，则k的值为 1 ．
【分析】依据 ，即可得出2（a+b+c）＝2k（a+b+c），再根据a、b、c为△ABC的
三边，可得a+b+c≠0，进而得到k＝1．
【解答】解：∵ ，
∴2a＝k（b+c），2b＝k（a+c），2c＝k（a+b），
可得2（a+b+c）＝2k（a+b+c），
∴（k﹣1）（a+b+c）＝0，
∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
故答案为：1．
16．如图，已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且它们的相似比是4：3，已知AB＝3，BC＝5．求
A′B′和B′C′的长．
【分析】根据相似多边形的性质求解即可得．
【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，且它们的相似比是4：3，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝5，
∴ ，
解得 ， ．
17．已知 ，求代数式 的值．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：设 ＝ ＝ ＝k，
∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，∴ ＝ ＝ ＝2．
18．（1）用配方法解方程：x2﹣12x﹣9＝0；
（2）如图，已知四边形ABCD∽四边形A B C D ，求x，y和 的值．
1 1 1 1
α
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣12x﹣9＝0，
x2﹣12x＝9，
x2﹣12x+36＝9+36，
（x﹣6）2＝45，
，
解得： ；
（2）∵四边形ABCD∽四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴ ，
∵AB＝20，A B ＝5，A D ＝7，C D ＝6，
1 1 1 1 1 1
∴ ，即y＝28，
∴ ，即x＝24，
∵∠ ＝∠C，∠B＝∠B ＝130°，∠A＝∠A ＝70°，∠D＝∠D ＝85°，
1 1 1
∴∠
α
＝∠C＝360°﹣∠A
1
﹣∠B
1
﹣∠D
1
＝75°．
α
19．已知线段a、b满足 ，且a+2b＝16．
（1）求a、b的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【分析】（1）利用a：b：＝2：3，可设a＝2k，b＝3k，则2k+2×3k＝15，然后解出k的值即可得到a、
b的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．【解答】解：（1）设 ，
则a＝2k，b＝3k，
所以，2k+2×3k＝16，
解得k＝2，
所以，a＝2×2＝4，
b＝3×2＝6；
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴x2＝ab＝6×4＝24，
∴线段 ．
20．已知a、b、c是△ABC的三边长，且 ，求：
（1） 的值．
（2）若△ABC的周长为18，求各边的长．
【分析】（1）设 ，从而用t表示出a、b、c，再代入 化简即可得解；
（2）根据△ABC的周长为18，即a+b+c＝18，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解．
【解答】解：（1）设 ，
∴a＝2t，b＝3t，c＝4t，
∴ ；
（2）∵a+b+c＝18，
∴2t+3t+4t＝18，
∴t＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝8．
