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专题1.47 《有理数》全章复习与巩固（巩固篇）（专项练
习）
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）．
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃
C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示
2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果 ，那么下列结论正
确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各对数中，是互为相反数的是（ ）
A．﹣（+7）与+（﹣7） B．﹣ 与+（﹣0.5）
C． 与 D．+（﹣0.01）与
4． （ ）
A．2022 B． C． D．
5．若a≠0，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．±1 D．0或2
6．已知a、b、c为有理数，且a＋b＋c＝0，b≥﹣c＞|a|，则a、b、c与0的大小关系
是（ ）
A．a＜0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＜0
C．a≥0，b＜0，c＞0 D．a≤0，b＞0，c＜0
7．下面算式与 的值相等的是（ ）
A． B．C． D．
8．实数 ， ， 在数轴上对应点的位置如图所示，如果 ，下列结论中错误的
是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各式的运算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．计算 的结果是（ ）
A．9 B． C．2 D．
11．2022年1月13日，国家电网召开了年度工作会议，计划2022年电网投资金额为
5012亿元．此次电网投资额首次突破5000亿元，创历史新高．数据“5012亿”用科学记
数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若
其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上 记做 ，若气温零下 ，则记作
_________ ．
13．如图，数轴上有一点C，满足 则C表示的数是______（用含m
的式子表示）．14．已知 _______．
15．|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为_____．
16．若|a|=3，|b|=4，且a，b异号，则|a+b|=______．
17．绝对值小于4的所有整数的和为_______．
18．众所周知，公元纪年中没有公元零年．历史的长河就像一条如图的“缺零数轴”
一样．比如阿基米德出生于公元前287年，公元前287年就可以用“缺零数轴”中的﹣287
表示，那么，公元a年和公元前b相差的年数为_____．
19．若x的相反数是 ， ，且 ，则 的值为______．
20．a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：3的差倒数是 ＝﹣
，﹣ 的差倒数是 ＝ ，已知a＝2，a 是a 的差倒数，a 是a 的差倒数，a 是
1 2 1 3 2 4
a 的差倒数，…．依此类推，则a＝___；a+a+a+a+…+a ＝___．
3 4 1 2 3 4 2023
21．如图是一块花圃，花农将它分割成两块长方形和一块“L”形，分别种上三种不同
的花，若三块花圃的面积都相等，则“L”形花圃的周长为_______m．
22．有理数5.6149精确到百分位的近似数为 ____．
三、解答题
23．（1）把下列各数填入相应的集合里：﹣4， ，﹣0.7，200%，0，π
整数集合：{ …}
分数集合：{ …}
非负数集合：{ …}
（2）在数轴上分别表示下列各数：1，﹣（+2），﹣|﹣3|， ，并把它们用“＞”连
接起来．
24．计算：
(1)(-2)+(+3)+(+4)+(-3)+(+5)+(-4)； (2) .
25．计算：
（1） ； （2） ．
26．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所
以当 时 ，当 时 ，根据以上阅读完成：
________．计算： ．
27．2021年国庆档电影《长津湖》以抗美援朝为背景，讲述了中国人民志愿军在极端
严酷惨烈的环境下，凭借钢铁意志最终取得了长津湖战役的胜利，该电影也再次扻起了全
民爱国热潮，国安民才安，有国才有家！据猫眼数据，截止10月8日，《长津湖》累计票
房超过60亿，成为2021年全球票房冠军！该电影9月30日在莱芜的票房为6.7万元，接
下来国庆假期7天的票房变化情况如下表（正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前
一天减少的票房）．
10月1 10月2 10月3 10月4 10月5 10月6 10月7
日期
日 日 日 日 日 日 日
票房（万
+7.6 +2.7 +2.5 +4.7 +2 -0.6 -13.8
元）
(1)国庆假期7天中，10月4日的票房收入是______万元；
(2)国庆假期7天中，票房收入最多的一天是10月______日；
(3)国庆假期7天中，求票房收入最多的一天比最少的一天多多少万元？28．阅读下面一段文字：
在数轴上点A，B分别表示数a，b.A，B两点间的距离可以用符号 表示，利用有
理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离 .
例如：当a=2，b=5时， =5-2=3；当a=2,b=-5时， = =7；当a=-2，b=-5
时， = =3.综合上述过程，发现点A、B之间的距离 = (也可以表示为
).
请你根据上述材料，探究回答下列问题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是 ；
（2）表示数a和-2的两点间距离是6，则a= ；
（3）如果数轴上表示数a的点位于-4和3之间，求 的值.
（4）是否存在数a，使代数式 的值最小？若存在，请求出代数式的
最小值，并直接写出数a的值或取值范围，若不存在，请简要说明理由.参考答案
1．C
【分析】
根据有理数的概念和性质判断即可．
解：∵0既不是正数，也不是负数，
∴A正确，不符合题意；
∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃，
∴B正确，不符合题意；
∵正方向可以自主确定，
∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的，
∴C不正确，符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．
2．B
【分析】
由图可知， ，由 ，可得 ， ，则 ， ，
，进而可判断A，C，D的对错；由 ，可得 ，进而可判断B
的正误．
解：由图可知， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴A，C，D错误；故不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴B正确，故符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于从数轴上
得出 ．
3．C
【分析】
根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
解：A、−（＋7）＝−7，＋（−7）＝−7，故这对数不互为相反数，故本选项错误；
B、﹣ 与+（﹣0.5）不互为相反数，故本选项错误；
C、 ，与 互为相反数，故本选项正确；
D、＋（−0.01）＝−0.01， ＝−0.01，故这对数不互为相反数，故本选项错
误；
故选：C．
【点拨】本题考查了相反数的知识，解答本题的关键是掌握相反数的定义．
4．A
【分析】
直接利用绝对值的性质分析得出答案．
解： 2022．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
5．D
【分析】
对 的大小进行分类讨论去绝对值即可．解：当 时， ；
当 时， ；
故选：D．
【点拨】本题考查求一个数的绝对值，①当a是正数时， ；②当a是负数时，
．
6．D
【分析】
由b≥﹣c＞|a|可确定b为正，c为负，且b+c≥0；再由a＋b＋c＝0，可得a≤0，从而可
确定答案．
解：∵b≥﹣c＞|a|，
∴b＞|a|，﹣c＞|a|，
∴b＞0，c＜0；
∵b≥﹣c，
∴b+c≥0，
又∵a+b+c＝0，
∴a≤0，
∴a≤0，b＞0，c＜0．
故选：D
【点拨】本题考查了有理数的加法运算，理解加法的符号法则是解题的关键．
7．C
【分析】
直接计算每个算式，对比答案即可．
解： ；
A、 ；
B、 ；C、 ；
D、 ，
故选：C
【点拨】本题考查了有理数的加减运算，熟记有理数的加减混合运算的法则是解题的
关键．
8．B
【分析】
根据|a|=|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴，有理数的运算法则即可解答．
解：∵|a|=|b|，
∴原点在a，b的中间，
如下图，
由图可得：|a|＜|c|，a＜0，b＞0，c＞0，
∴A、a+c＞0，此选项正确，故不符合题意；
B、a−b＜0，此选项错误，故此选项符合题意；
C、 b+c＞0，此选项正确，故此选项不符合题意；
D、ac＜0，此选项正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了数轴，绝对值，有理数的乘法、加法、减法，解题的关键是确定
原点的位置．
9．C
【分析】
根据有理数的混合计算法则求解判断即可．
解：A、 ，计算正确，不符合题意；
B、 ，计算正确，不符合题意；C、 ，计算错误，符合题意；
D、 ，计算正确，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
10．B
【分析】
根据乘方的逆运算进行计算．
解：原式=
故选B
【点拨】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键．
11．A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解： 5012亿=501200000000=5.012×1011．
故选：A．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．-3
【分析】
根据零上为正，则零下为负，若气温零上 记做 ，若气温零下 ，记作- ．
解：∵气温零上 记做 ，
∴气温是零下 记作-3℃．
故答案为 ．
【点拨】本题考查正了数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
13． 或【分析】
分两种情况讨论，当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，或当点C在点A的右侧时，
在点B右侧时，再根据题意解答．
解：设点C表示的数为x，分两种情况讨论，
当点C在点A的左侧时，
；
当点C在点A的右侧时，在点B左侧时，
；
当点C在点A的右侧时，在点B右侧时，；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查数轴与实数，是重要考点，掌握用分类讨论法表示两点间的距离是
解题关键．
14．-2
【分析】
根据相反数的定义解答即可．
解：∵x=-2，
∴-（-x）= =-2，
故答案为：-2．
【点拨】本题考查了符号的化简，解题的关键是熟练掌握相反数的概念．
15．3
【分析】
根据绝对值的性质，分x≤2、25三种情况分别进行去绝对值化简，然后根据
x的取值即可得到结果．
解：当x≤2时，原式=5－x＋2－x=7－2x，
此时，|x﹣5|+|2﹣x|≥3；
当25时，原式=x－5＋x－2=2x－7．
此时，|x﹣5|+|2﹣x|>3．
综上所述，|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为3．
【点拨】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．
16．1
【分析】
根据题意可得：a=±3，b=±4，根据a、b异号可得：当a=3时，b=-4，a+b=-1；当a=
－3时，b=4，则a+b=1.
解：∵|a|=3，|b|=4，
∴a=±3，b=±4，∵a、b异号，
∴当a=3时，b=-4， ；
当a=-3时，b=4， .
故答案为1
【点拨】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值等于同一个正数的数有两个，它们互为
相反数，正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，是解此类问题的关键．
17．0
【分析】
找出绝对值小于4的所有整数，求和即可．
解：绝对值小于4的所有整数有：0，±1，±2，±3，之和为0．
故答案为：0．
【点拨】此题考查了有理数的加法和绝对值的意义，确定绝对值小于4的所有整数是
解本题的关键，熟练掌握互为相反数的两个数为0．
18． ．
【分析】
根据公元1年与公元前1年相差1年，公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，公元a
年和公元前b相差的年数为 即可．
解：∵公元前b用“缺零数轴”中的﹣b表示，
∴公元a年和公元前b相差的年数为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查“缺零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法计算，掌握“缺
零数轴”表示相反意义的数，利用有理数减法列式时与有0数轴相差1计算是解题关键．
19．
【分析】
根据x的相反数是−3，|y|＝5，xy＜0，可求出x、y的值，再代入求值即可．
解：∵x的相反数是 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查绝对值、相反数以及有理数的加法和乘法，掌握有理数的加法、乘
法的计算法则和绝对值、相反数的意义是解决问题的前提．
20． 2 1013
【分析】
根据差倒数的定义计算即可求出a；再通过计算发现循环规律，计算求解即可．
4
解：根据题意可知：
a＝2，a＝ ＝﹣1；a＝ ＝ ；a＝ ＝2；
1 2 3 4
…．依此类推，
发现2，﹣1， ..三个数为一个循环，
∴2023÷3＝674…1，
∵2﹣1 ＝ ，
则a+a+a+a+…+a ＝674× +2＝1013．
1 2 3 4 2023
故答案为：2，1013．
【点拨】本题考查数字的变化规律，能够通过计算，找到数字的循环规律是解题的关
键．
21．
【分析】
如图，可将原花圃补全为边长是15m的正方形，从而计算出总面积为225m2，花圃面
积为180m2，每一部分为60m2，从而可得“L”形花圃的边长，进一步可得结论．
解：如图，∵正方形的面积为： ，右上角缺口的面积为
∴花圃的面积为：
∵三块花圃的面积都相等，
∴每块花圃的面积为：
图形①分为两个长方形，其中一个长方形的长为6m，宽为5m，另一个长为9m，
宽为
“L”形花圃的周长为
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了图形的面积，正确进行分割是解答本题的关键．
22．5.61
【分析】
把千分位上的数字4进行四舍五入即可．
解：5.6149精确到百分位，得到的近似数为5.61．
故答案为5.61．
【点拨】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度
表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
23．（1）答案见分析；（2）数轴表示见分析，【分析】
（1）根据有理数的分类方法求解即可；
（2）先化简多重符号和绝对值，然后在数轴上表示出这些有理数，再根据数轴上点表
示的数左边小于右边进行求解即可．
解：（1）﹣4是整数，是负数； 是分数，是非负数；﹣0.7是负数，是分数；
200%=2是整数，是非负数；0是整数，是非负数；π是非负数；
∴整数集合：{-4，200%，0…}；分数集合：{ ，-0.7…}；非负数集合：{ ，
200%，0，π…}
（2）﹣（+2）=-2，﹣|﹣3|=-3， ，
数轴表示如下所示：
∴ ．
【点拨】本题主要考查了有理数的分类，用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的
大小，化简多重符号和化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．（1）3；（2）－4
【分析】
（1）按照加法的交换律和结合律把互为相反数的结合；
（1）按照加法的交换律和结合律把同分母的结合；
解：(1) 原式=[(-2)+(+5)]+[(+3)+(-3)]+[(+4)+(-4)]=(+3)+0+0=3.
(2) 原式= .
【点拨】本题考查了有理数的加法法则，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把
绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对
值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数. 也考查了加法的交
换律和结合律.25．（1）0；（2）-8
【分析】
根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算
方法．
26． ；（2）0.9.
【分析】
（1）因为3.14﹣π＜0，所以根据当a≤0时，|a|=﹣a，直接写出结果即可．
（2）先根据当a≥0时，|a|=a；当a≤0时，|a|=﹣a，计算绝对值，再进行加减运算．
解：（1）|3.14﹣π|=π﹣3.14．
（2）原式= +…+ .
= ．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，注意读懂题意，是解决本题的关键．
27．(1)24.2(2)5(3)票房收入最多的一天比最少的一天多14.4万元
【分析】
（1）根据正数、负数的意义以及有理数的加法法则计算即可；
（2）分别求出国庆假期7天中每天的收入，再比较大小即可；（3）票房收入最多的一天减去最少的一天即可．
(1)解： 10月4日的票房收入是：6.7＋7.6＋2.7＋2.5＋4.7＝24.2（万元），
故答案为：24.2；
(2)解：10月1日票房收入为：6.7＋7.6＝14.3（万元），
10月2日票房收入为：14.3＋2.7＝17（万元），
10月3日票房收入为：17＋2.5＝19.5（万元），
10月4日票房收入为：19.5＋4.7＝24.2（万元），
10月5日票房收入为：24.2＋2＝26.2（万元），
10月6日票房收入为：26.2−0.6＝25.6（万元），
10月7日票房收入为：25.6−13.8＝11.8（万元），
故国庆假期7天中，票房收入最多的一天是10月5日．
故答案为：5；
(3)解：26.2−11.8＝14.4（万元），
故票房收入最多的一天比最少的一天多14.4万元．
【点拨】此题考查有理数的意义，正数、负数的意义，加有理数的加减，明确正数、
负数所表示的意义是正确解答的关键．
28．（1）2；（2）4或-8；（3）7；（4）2.
【分析】
（1）根据数轴的特点即可求解；
（2）根据题意得到 =6，即可求解；
（3）根据A，B两点之间的距离 即可求解；
（4）根据数轴上两点距离公式求出a的取值，即可求解.
解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是3-1=2
故填：2；
（2）根据题意得到 =6，
即 =6
∴a+2=±6
解得a=4或a=-8，
故填：4或-8；（3）∵表示数a的点位于-4和3之间，
∴ =a+4， =3-a.
∴ = a+4+3-a=7.
（4）代数式的值存在最小，
表示a到1,2,3的距离之和，
故当a=2时， =1+0+1=2.
所以，最小值是2.
【点拨】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知数轴上的点之间距离的特点.
